8.ПЛАНЫ ВТО РО ГО ПОРЯДКА

8.1.Центральное композиционное планирование

Процесс оптимизации часто приводит в область факторного про­ странства, где кривизна поверхности отклика велика и вследствие этого не может быть описана многочленом первого порядка. Для адекватного ма­ тематического описания в этом случае требуется многочлен более высоко­ го порядка. В настоящее время наиболее широко для описания области, близкой к экстремуму, применяют полиномы второго порядка.

y = b0 + bxxx+ b2x2 +... + bnxn +b]2x]x2 +... + bk_]kxk_xxk +

Это объясняется следующим:

-имеются хорошо разработанные планы второго порядка;

-поверхности второго порядка легко под даются систематизации и, следовательно, определению экстремальной точки;

-дальнейшее возрастание порядка полинома приводит к значитель­ ному увеличению числа опытов.

Для описания поверхности отклика полиномами второго порядка не­ зависимые факторы в планах эксперимента должны принимать не менее трех разных значений. Трехуровневый план, в котором реализованы все возможные комбинации из к факторов на трех уровнях, представляет со­

бой полный факторный эксперимент 3* Полный факторный эксперимент 3* требует слишком большого числа опытов, намного превышающего чис­ ло определяемых коэффициентов / уравнения регрессии уже для к > 2 (табл. 8 . 1).

Таблица 8.1

Количество опытов N и коэффициентов уравнения регрессии / при различном числе факторов

Сократить число опытов можно, если воспользоваться композици-

к

онным планированием. Ядро таких планов составляет ПФЭ 2 при к < 5 или полуреплика от него при к> 5. Затем к нему добавляют 2к звездных

точек, расположенных на координатных осях факторного пространства, и увеличивают число экспериментов в центре плана. Отсюда и произошло название метода - центральное композиционное планирование (ЦКП). Пример матрицы планирования эксперимента второго порядка для двух факторов приведен в табл. 8.2.

где 2к- число опытов, образующих полный факторный эксперимент (ядро плана); 2к - число так называемых звездных точек в факторном простран­ стве, имеющих координаты (± а, О, 0, ..., 0); (0, ± а , 0, ..., 0); ...; (0, О,

± а ); по - опыты в центре плана, т.е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, ..., 0). Здесь а - величина, называемая звездным пле­ чом. Геометрически план второго порядка для двух факторов можно пред­ ставить следующим образом (рис. 8.1).

Различают два вида композиционного планирования - ортогональ­ ное и ротатабельное.

Рис. 8.1. Композиционный план 2-го порядка для к = 2

8.2.Ортогональный план второго порядка

Вобщем виде композиционные планы второго порядка не ортого­ нальны, но они легко приводятся к ортогональным выборам соответст­

вующего звездного плеча а . Значения звездного плеча а для ортогональ­ ного композиционного плана приведены в табл. 8.3.

Выбрав из табл. 8.3 значение а = 1(при к = 2 и «о = 1) получим орто­ гональный план второго порядка для двух факторов (табл. 8.4) (с целью упрощения все последующие примеры приведены также для двухфактор­ ного эксперимента).

Уравнение регрессии при центральном ортогональном композици­ онном планировании ищут в следующем виде:

Благодаря ортогональности матрицы планирования все коэффициен­ ты регрессии определяются независимо друг от друга по формулам

Входящие в таблицу 8.4 и уравнения (8.3 -8 .4) вспомогательные пе­

ременные х* определяются по формуле

Расчет вспомогательных переменных производится с целью приве­ дения матрицы к ортогональному виду. Для того чтобы получить уравне­ ние регрессии в обычной форме

Рассчитав дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность полученного уравнения.

Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые при помощи орто­ гональных планов второго порядка, определяются с разной точностью. Для к < 5 имеем:

к; u * j

Значимость коэффициентов регрессии определяется по критерию Стьюдента аналогично плану первого порядка (см. раздел 6.3).

Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помо­ щью критерия Фишера, как и в случае полного факторного эксперимента.