m1012
.pdfПривлечение априорной информации о функции и ее эффективное использование может существенно повысить точность реконструкции без увеличения числа проекций, что существенно снижает трудоемкость экспериментальных исследований. В качестве априорной информации могут быть использованы сведения о знаке функции, геометрии объекта исследования, характере изолиний распределения, энергетические критерии, уравнения равновесия и т.д.
4.2. Windows-приложение Fantom
Существует целая совокупность различных методов анализа радоновских образов исследуемых распределений. Наиболее подходящий метод для каждого конкретного случая определяется структурой и точностью полученных данных, их объемом. Выбор метода должен обеспечить достаточную точность и чувствительность при реконструкции распределения. Причем при анализе погрешностей, как правило, стремятся ответить на ряд вопросов [76]:
1.Какова наибольшая возможная ошибка реконструкции?
2.Какие ошибки на самом деле имели место?
3.Какова погрешность в зонах экстремальных значений определяемой функции?
4.Насколько задача чувствительна к ошибкам в исходных данных?
Прямой анализ ошибок и их априорных границ почти всегда дает завышенный, весьма песcимистичный и малопригодный для практического использования ответ на первый вопрос. Поскольку истинное распределение, как правило, неизвестно, то и на второй вопрос, в лучшем случае, можно дать ответ только при решении тестовых задач. На третий вопрос ни один метод оценки погрешностей вообще не дает ответа. Дать универсальный ответ на четвертый вопрос, не определив заранее хотя бы класс исследуемых функций, тоже не представляется возможным: даваемые авторами оценки дисперсии алгоритмов реконструкции [31, 222], как правило, завышены. Кроме того, несмотря на то что эти оценки отличаются в несколько раз, при тестировании, тем не менее, они нередко дают практически одинаковые результаты [53, 180].
Поэтому, как было отмечено еще Ч. Вестом [17], наиболее надежный способ при выборе метода реконструкции – проверить
81
несколько методов, испытав их на известных функциях, подобных ожидаемой в эксперименте, а затем сравнить их с точки зрения точности и чувствительности к случайным ошибкам. Подобный подход предполагает наличие библиотеки тестовых распределений и возможность получения их точных радоновских образов.
С целью создания такой библиотеки в рамках комплекса программ по обработке оптической информации OPTICA было создано Windows-приложение Fantom. Оно позволяет (при заданных пьезооптических свойствах и геометрии объекта) для имеющихся в библиотеке приложения задач получать, хранить, представлять для анализа (в том числе и в графической форме) преобразование Радона от функции, являющейся в каждой точке сечения объекта линейной комбинацией компонент тензора напряжений.
Таким образом, полностью моделируется информация, получаемая как в методах голографической интерферометрии фазовых объектов, так и в методе интегральной фотоупругости. Полученные радоновские образы распределений хранятся в виде текстовых файлов, включающих информационную и содержательную части. Информационная содержит сведения об объекте и параметрах регистрации, содержательная часть – матрица размером Np K – представляет собой преобразование Радона заданной пользователем комбинации компонент тензора напряжений для выбранного сечения.
Библиотека приложения включает в себя несколько скалярных распределений, а также тензорные, удовлетворяющие общим уравнениям механики (условиям равновесия, совместности деформаций) задачи о различном силовом воздействии на границу полупространства: задача Буссинеска (сосредоточенная сила), задача Герца (параболический штамп) и задача Штейхера (плоский, круглый в плане штамп). Геометрия объекта, величина и зона приложения силового воздействия могут изменяться пользователем. Приложение допускает расширение библиотеки используемых распределений. На рис. 4.5 представлена часть интерфейса приложения.
Частью приложения Fantom является программа по реконструкции осесимметричных распределений и их графическому представлению Abel. Для реконструкции асимметричных распределений использован пакет TOPAS-Micro Института теоретической и прикладной механики СО РАН [68, 69].
82
а)
б)
Рис. 4.5. Интерфейс Windows-приложения Fantom: получение проекций (а) и реконструкция (б)
83
4.3. Реконструкция осесимметричных распределений
Как уже отмечалось ранее, использование априорной информации о восстанавливаемой функции способствует эффективной реконструкции без увеличения числа проекций. Самым распространенным примером использования априорной информации о восстанавливаемой функции является информация о характере ее изолиний, например, об их осевой симметрии. В этом случае интегральное преобразование Радона сводится к преобразованию Абеля, имеющему аналитическое обращение, – инверсия Абеля
[13, 17, 88].
В случае осесимметричных распределений I1(x, y, z) зависит для каждого заданного z (z – ось симметрии) только от радиуса r: I1 = I1(r), т.е. задача становится одномерной. Для таких радиально-симмет- ричных распределений порядок интерференционной полосы N для луча с длиной волны, распространяющегося параллельно оси y на расстоянии x от нее (рис. 4.6), определяется интегральным уравнением Абеля:
|
I (r)rdr |
|||||
N (x) 2C |
||||||
|
1 |
|
|
1/ 2 , |
||
(r |
2 |
x |
2 |
|||
y |
|
|
) |
|||
|
|
|
|
|
||
которое имеет аналитическое обращение:
|
|
|
( N / x)dx |
|
|||||
I (r) |
|
. |
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
1/ 2 |
||||
1 |
C |
(x |
r |
|
|||||
|
r |
|
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4.11)
(4.12)
Поскольку распределение N(x) задается не аналитически, а в виде экспериментальных кривых, то для решения удобнее использовать численные методы. Для этого можно воспользоваться численным приближением любого из уравнений (4.11) или (4.12). В обоих случаях поперечное сечение объекта разбивается на коль-
84
цевые зоны с постоянным шагом r, а затем определяется I1(r, ) в каждой из них по известным из эксперимента значениям N(x).
Методы, основанные на аппроксимации уравнения (4.11), приводят к решению системы линейных алгебраических уравнений. При этом задаются они законом изменения искомого распределения внутри кольцевой зоны. Тогда для луча, проходящего через i-ю зону, разрешающее уравнение примет вид:
|
I 1 |
N |
|
|
|
|
C |
A I (r) |
i |
2r |
, |
||
|
||||||
|
ki 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
k i |
|
|
|
|
(4.13)
где С = С1 С2 – коэффициенты Максвелла–Неймана; Ni – порядок интерференционной полосы для луча, проходящего через i-ю зону.
Коэффициенты матрицы А зависят от вида аппроксимации: при ступенчатой аппроксимации Пирса [70]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1/ 2 |
|
|
|
|||
A |
|
|
|
(k 1) |
i |
|
|
|
|
(k |
i |
|
|
, |
(4.14) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||||||||||||
|
ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при линейной аппроксимации [184] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A |
|
(k i)[(k 1) |
2 |
i |
2 |
1/2 |
k(k |
2 |
i |
2 |
1/2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
] |
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||
ki |
|
|
k 1 [(k 1) |
|
|
i |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.15) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
2 |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
(k |
2 |
i |
2 |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача определения I1(r) сводится к решению системы линейных уравнений типа (4.13), в которой коэффициенты Aki образуют треугольную матрицу. Внешний элемент расположен так, что I1(R) = 0. Каждое последующее значение функции вычисляется поочередно, от внешнего кольца до центра.
Матрица А плохо обусловлена, причем степень ее обусловленности растет с увеличением числа кольцевых зон и, соответственно, числа измерений N(x). Устойчивое решение системы линейных алгебраических уравнений получают с использованием методов регуляризации [143].
В методах инверсии, основанных на аппроксимации уравнения (4.12), для получения устойчивых решений выполняют предварительно сглаживание экспериментальных данных (с учетом уровня шумов) и их интерполяцию.
85
Поскольку точность определения фиктивных деформаций (как было показано в гл. 3), а в конечном итоге и напряженнодеформированного состояния, существенно зависит от точности восстановления I1(r), то рассмотрим для начала возможности процедуры восстановления этой функции на тестовых задачах.
4.3.1. Одноосное сжатие цилиндра
Рассмотрим простейший случай – напряженно-деформиро- ванное состояние цилиндра при его однородном, аксиальном сжатии. В этом случае распределение изменений показателя преломления, а следовательно, и первого инварианта тензора напряжений (деформаций) по всему объему будет постоянным.
Расчет фантома такого распределения для цилиндра и последующая инверсия по программе Abel (при числе кольцевых зон Imax = 20) дали по всему поперечному сечению отклонения от равномерного распределения для I1(r) при погрешности задания порядка интерференционных полос 1/100 и 1/20 цены полосы соответственно: менее 0,3 и 1,1 %.
Те же данные, что и в программе Fantom, были получены экспериментально для цилиндра из полиметилметакрилата ОНС. Параметры цилиндра: диаметр D = 40 мм, высота – 120 мм. Цилиндр помещался в иммерсионную ванну и просвечивался коллимированным объектным пучком перпендикулярно его аксиальной оси. Интерферограмма абсолютной разности хода приведена на рис. 4.7, а.
а) б)
Рис. 4.7. Реконструкция распределения I1(r) методом Пирса при однородном, аксиальном сжатии цилиндра
86
Реконструкция первого инварианта тензора напряжений I1(r) по этой интерферограмме была выполнена для того же числа
кольцевых зон, что и для фантома: Imax = 20 (рис. 4.7, б).
В средней части цилиндра, на удалении от его торцов (z = 60 мм), распределение I1(r) практически равномерно – разброс значений в диапазоне ~1 % – и зависит в основном от погрешности определения порядка интерференционных полос N. Среднее значение I1(r) в этом сечении отличается от расчетного, полученного с использованием фантома, менее чем на 1,5 %. Это отклонение обусловлено погрешностями определения нагрузки и пьезооптической постоянной.
При приближении к торцам сказываются неравномерности в передаче нагрузки и наличие трения в контактной зоне – в сечении z = 3 мм отклонения от равномерного распределения достигают ~6 %.
4.3.2. Цилиндр под действием плоского, круглого в плане штампа
Предыдущий пример показывает, что реконструкция первого инварианта тензора напряжений в условиях однородного деформирования выполняется с хорошей точностью при вполне умеренном шаге дискретизации. В этом случае при определении внутренних деформаций отсутствуют и погрешности, связанные с рефракцией. Для оценки этого влияния в условия неоднородного деформирования рассмотрим тот же цилиндр при осесимметричном загружении плоским, круглым в плане штампом [51, 177] – рис. 4.8, а. Диаметр штампа 2a = 20 мм (a/R = 0,5).
Внутрь цилиндра, в его диаметральное сечение, вклеивался скрещенный растр частотой 0z / 0x = 40 / 40 мм-1. Вследствие осе-
вой симметрии в этом сечении x r , y ( x r , y ). Для определения напряженно-деформированного состояния
диаметрального сечения были получены три интерферограммы: первая – интерферограмма абсолютной разности хода при фильтрации только недифрагировавших лучей (т.е. лучей с нулевой пространственной частотой: 0 = 0), приведена на рис. 4.8, б. Она использовалась для реконструкции распределений I1(r) и I(r) методом Пирса. Результаты реконструкции I(r) для сечений z = 0,25a и z = a приведены на рис. 4.8, г, д.
87
а)
б) |
в) |
г) |
д) |
Рис. 4.8. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндра под действием плоского, круглого в плане штампа
Две другие интерферограммы, приведенные на рис. 4.8, в, были получены при фильтрации дифрагировавших в исследуемом сечении лучей с пространственными частотами z / x = = 120/280 мм-1. Они характеризуют, как было отмечено в гл. 3, рас-
пределение суммарных деформаций: соответственно Результаты расшифровки этих интерферограмм
( ) z
и
и (x ) .
определе-
( ) |
, |
( ) |
в сечениях z = 0,25a и z = a представлены на |
|||
ния z |
x |
|||||
рис. 4.8, |
г, д. Здесь же приведены результаты определения фик- |
|||||
|
|
|
( R) |
и |
( ) |
по распределениям I(r). |
тивных деформаций z |
x |
|||||
Деформации сечения |
z , |
x определялись как разность меж- |
||||
ду суммарными и фиктивными деформациями. Их распределения, а также распределение I(r) и y I z x в сечениях z = 0,25a и z = a представлены на рис. 4.9, а, 4.10, а.
88
На рис. 4.9, б, 4.10, б приведены результаты определения по полученным деформациям нормальных напряжений в этих двух сечениях (лежащих в диаметральной плоскости цилиндра) с использованием уравнений Ламе. Здесь же представлено аналитическое решение [59] и результаты реконструкции первого инварианта тензора напряжений I1(r), полученные для фантома. При расчете фантома распределение напряжений в сечениях z = const предполагалось соответствующим распределению в полупро-
странстве для r D / 2 |
и равным нулю при r D / 2. |
Значения I1(r), полученные при реконструкции фантома, меньше по модулю соответствующих значений в аналитическом решении, что в общем соответствует разнице в граничных условиях.
Наблюдается и некоторая разница в поведении отдельных компонент тензора напряжений в эксперименте и аналитическом решении. Часть из них связана с различием граничных условий, часть – с экспериментальными погрешностями.
а) б)
Рис. 4.9. Распределение деформаций (а) и напряжений под штампом в сечении z = 0,25а и сравнение напряжений,
полученных в эксперименте с аналитическим решением (б)
Смещение экспериментальных значений r , в сторону положительных значений (относительно аналитического решения)
89
соответствует разнице в граничных условиях, но их неравенство на оси симметрии – чисто экспериментальная погрешность; она составляет: 12,6 % при z = a; 23,1 % при z = 0,25a.
а) |
б) |
а) |
б) |
Рис. 4.10. Распределение деформаций (а) и напряжений под штампом в сечении z = а и сравнение напряжений, полученных в эксперименте с аналитическим решением (б)
Экспериментальное распределение напряжений |
z (r) |
не-
сколько сглажено по сравнению с аналитическим решением. Разница в экстремальных точках составляет:
в сечении z = 0,25a: в максимуме, на оси симметрии – 4,7 %,
в минимуме (r ~ 0,9a) |
– 8,7 %; |
|
в сечении z = a: |
в минимуме, на оси симметрии |
– 5,7 %. |
Вышеприведенная разница частично связана с отличием граничных условий в эксперименте и аналитическом решении.
Более точную оценку погрешности, хотя и интегральную, дают условия равновесия:
в сечении z = 0,25a – 4,3 %,
в сечении z = a |
– 2,8 %. |
Таким образом, даже вблизи концентратора (с учетом влияния рефракции) нормальные компоненты тензора напряжений могут быть определены экспериментально с приемлемой точностью.
90