m1012

дано еще в опытах Винера в конце XIX в.), то впредь, описывая световую волну, будем иметь в виду лишь напряженность электрического поля Е. Более того, будем полагать, что все световые волны поляризованы в одном направлении, и учитывать поэтому будем только одну компоненту этого вектора, т.е. векторной природой электрического поля пренебрегаем и для ее описания будем использовать скалярную величину.

Тогда из уравнений Максвелла для волн, распространяющихся в свободном пространстве, получают волновое уравнение [16]:

цию о пространственной структуре световых волн, существенную для дальнейшего анализа.

Процесс регистрации световых волн, их распространение через однородное пространство, оптические элементы, голограмму и т.д. будем рассматривать в рамках теории линейных, простран- ственно-инвариантных оптических систем [28, 47, 67, 79] не в координатной, а в пространственно-частотной области.

Этот подход не является общепринятым ни в оптике, ни в механике деформируемого твердого тела и шире применяется в теории связи и системах обработки оптической информации.

Однако операция, связывающая координатную и частотные области, – преобразование Фурье – отражает физическую сущность действия оптических систем и позволяет (в отличие от рассмотрения в координатной области) с единой точки зрения рас-

31

смотреть методы голографической интерферометрии, муара, спекл-интерферометрии.

Двумерная функция, описывающая распределение комплексной амплитуды монохроматической световой волны, несущей информацию об исследуемом объекте, может быть представлена в виде:

ление амплитуд в некоторой плоскости может быть представлено в виде суммы плоских волн, распространяющихся в разных направлениях и имеющих разные амплитуды [47, 67]. Величины fx , f y называются пространственными частотами и позволяют

определить направления распространения этих плоских волн по направляющим косинусам:

Регистрируемая в плоскости голограммы выходная функция b(x, y) , соответствующая входной a(x, y), имеет спектр B( fx , f y ), определяемый произведением спектра входной функции на ча- стотно-передаточную функцию оптической системы H ( fx , f y ) :

т.е. суммой всех ее фурье-компонент.

32

Поэтому в линейной оптической системе для понимания основных принципов достаточно рассмотреть условия регистрации

ивосстановления одной из фурье-компонент (плоской волны). Результат для произвольной волны на основании принципа суперпозиции получают простым суммированием. С этих позиций

ирассмотрим основные этапы проведения экспериментов, перечисленные выше.

2.3. Регистрация информации

Регистрация информации об объекте осуществляется с помощью какого-либо двумерного фотодетектора – фотопластинки или фотопленки. Действие световой волны в этом случае определяется усредненным по времени значением плотности потока

и называют интенсивностью.

Степень воздействия света на фотодетектор пропорциональ-

от фазы. Поэтому все известные фотодетекторы, включая и глаз человека, называют квадратичными.

Для того чтобы сведения о фазе сигнала не были потеряны, они кодируются в голографии в виде амплитудных изменений на фотодетекторе при интерференции объектной волны (волновой

вектор которой K0 ) с когерентной ей опорной – волновой вектор

KR (рис. 2.1, а).

произвольно ориентированная относительно осей координат, имеет фазу, определяемую скалярным произведением

Если объектная волна также плоская с волновым вектором,

34

Типичная для галоидосеребряных сред кривая зависимости амплитудного пропускания обработанной фотоэмульсии от экспозиции на среднем участке может быть аппроксимирована прямой [42]. Если регистрации интерференционной картины соответствует линейный участок (линейная регистрация), то амплитудное пропускание фотопластинки будет линейно связано с интенсивностью I(x, y). Тогда результат интерференции двух плоских волн a0

и aR после фотообработки можно представить в виде транспаранта, функция амплитудного пропускания которого равна t:

Этот транспарант, содержащий информацию о фазовых соотношениях в виде распределения функции амплитудного пропускания, и есть голограмма.

В общем случае произвольную волну можно представить в виде множества плоских, которые вместе с опорной волной интерферируют в плоскости регистрации. В результате получаемая голограмма представляет собой транспарант с более сложным амплитудным пропусканием, однако механизм его формирования тот же.

2.4. Восстановление объектной волны

Если процесс записи голограммы основан на интерференции объектной и опорной волны, то ее восстановление – это дифракция опорной волны на записанном транспаранте. Направим плоскую опорную волну на записанный транспарант под тем же углом ( ky k sin R ), что и при записи (рис. 2.1, б):

Считая, что голограмма расположена в плоскости z = 0, найдем распределение комплексных амплитуд непосредственно за голограммой с амплитудным пропусканием (2.14):

где kp k(sin R sin 0 ) .

35

Из этого выражения следует, что за голограммой образуется три волны, фазы которых меняются линейно по координате y. Подобное распределение фаз в плоскости, перпендикулярной оси z, характерно для плоских волн, распространяющихся под некоторыми углами к оси z. Пусть эти углы равны 0, –, + так, что

Учитывая (2.16), находим углы, под которыми распространяются образовавшиеся плоские волны (см. рис. 2.1, б):

Одна из волн – продолжение падающей aR, вторая – с волно-

ранте указанный процесс позволяет восстановить все плоские волны его формирующие, а следовательно, и саму сложную волну, являющуюся суперпозицией этих плоских волн.

2.5. Дифракция плоских волн на периодических и квазипериодических структурах

Рассмотрим важный для дальнейшего анализа случай дифракции плоской волны, падающей по нормали на транспарант с периодическим пропусканием.

Если пропускание транспаранта по оси y носит синусоидальный характер (2.14), то, положив в (2.16) ky 0 ( R 0), получим

т.е. синусоидальная амплитудная решетка делит падающую на нее плоскую волну на три отдельных плоских волны (рис. 2.1, б): первая распространяется по тому же направлению, что и падаю-

36

щая, и не несет никакой информации о пространственном распределении пропускания транспаранта, а две другие распростра-

Вслучае произвольного пропускания его можно представить

ввиде суммы фурье-компонент. Тогда прошедшая такой транспарант волна имеет вид:

т.е. является суммой плоских волн, имеющих пространственные частоты, кратные пространственным частотам транспаранта fx , f y .

Спектр функции a(x, y) можно наблюдать в задней фокальной плоскости линзы, формирующей действительное изображение транспаранта (рис. 2.2). Этот спектр является в общем случае непрерывной функцией ( fx , f y ); если пропускание транспаран-

та – периодическая функция x, y, то спектр дискретный.

Рис. 2.2. Схема наблюдения изображения при изменении спектра сигнала: G – объект; Л – линза; Н – изображение

Различные фурье-компоненты, прошедшие через линзу, складываясь, дают в плоскости изображения копию решетки. Помещая в фокальную плоскость различные диафрагмы, можно, удаляя отдельные спектральные компоненты, сознательно воздействовать на регистрируемый спектр изображения [28].

37

На рис. 2.3 представлены спектры исходной сетки и ее изображения при различных положениях и размерах диафрагмы.

Когда диафрагма представляет собой узкую вертикальную щель, то через нее проходит только один ряд спектральных компонент. Соответствующее изображение содержит лишь горизонтальную структуру решетки. Отсюда следует, что только эти компоненты (вертикальные) формируют горизонтальную структуру сетки (см. рис. 2.3, а). Если эту же диафрагму повернуть на 90 , то горизонтальные компоненты, пропускаемые диафрагмой, сформируют вертикальную структуру сетки (см. рис. 2.3, б). При изменении положения диафрагмы возможно формирование изображения с частотой, кратной частоте сетки, а также с изменением ее ориентации (рис. 2.3, в, г, д).

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 2.3. Объект при различных положениях и размерах диафрагмы, помещенной в фокальную плоскость линзы

38

Отметим еще раз, что компонента «нулевой частоты» не содержит никакой информации о пространственных частотах сетки. Ее отсутствие приводит только к обращению контраста изображения.

2.6. Получение интерферограмм

Как уже отмечалось выше, процесс записи голограмм можно рассматривать как результат интерференции множества плоских волн, несущих информацию об объекте, с опорной волной. Восстанавливаются они независимо от времени регистрации, что позволяет записывать на голограмму несколько состояний исследуемого объекта. В методе двух экспозиций, записывая на голограмму два состояния объекта, и, сравнивая эти два состояния при восстановлении голограммы, определяют изменения, произошедшие с объектом. Остальные методы принципиально не отличаются от него.

Пусть объектная волна регистрируется дважды – до и после деформирования исследуемого объекта. Таким образом, после обработки голограмма будет представлять собой сумму двух транспарантов, каждый из которых восстановит свою объектную волну. Если в результате деформирования пространственная ча-

Поскольку f f y , то последнее выражение можно интер-

щениями U(x, y), V(x, y), W(x, y) или с деформациями (x, y) является основной задачей при расшифровке интерферограмм в методах голографической интерферометрии.

Сама связь между fx , f y и деформациями x , y может быть получена на основании теорем о преобразовании Фурье.

39

Если интерферограмма зарегистрировала оба состояния объекта, имеющего амплитуды a(x, y) и a(mx x, my y), фурье-образы

то при восстановлении в соответствии с результатами, найденными ранее при наличии фильтрации (п. 2.5), получим восстановленные волны с амплитудами, промодулированными соответственно с частотами fx , f y , равными разности пространствен-

ных частот этих состояний:

Таким образом, частота интерференционных полос в этом случае пропорциональна деформациям и пространственной частоте регистрируемой световой волны по соответствующему направлению.

Отсюда следует, что для повышения чувствительности метода к внутриплоскостным деформациям необходимо увеличить пространственную частоту регистрируемой световой волны.

Все вышеизложенное справедливо и при неоднородном деформировании, так как в достаточно малой области значений можно считать деформации однородными. Тогда выводы остаются прежними, только масштабные коэффициенты

my (x, y) уже нельзя считать постоянными, а следовательно, непостоянны и частоты fx (x, y), f y (x, y).

40