Основы создания полимерных композитов

Аналогично рассмотренным выше случаям получим дифферен­ циальное уравнение шестого порядка:

Отсюда, с учетом свободного опирания торцов, аналогично пре­ дыдущему, получим:

или в развернутом виде:

312

Следовательно:

^кр GXy 1 + 4 -

h J

или, переходя к относительному содержанию арматуры, т.е. предпо­ ложив, что 2h*/3h = \ - F a/Fa .получим:

(3 - F a) 6Fa( \ - F a)

Рассмотрим теперь четырехслойную систему.

Пусть толщины стержней (Л) равны между собой. Допустим, что в формуле (5.58) h2 = h,h\ = 2h + А*. Следовательно:

в 2 = УгЕ„ЬИ3 , В, = yE J b h & h + h 'f

Рассмотрим наконец случай, когда многослойная система со­ стоит из п одинаковых слоев, причем нагружены только крайние слои. Тогда, предположив в формуле (5.58)

Л2 = Л и Ai = hi(n - 2) + h*(n - 3) » (п - 2)(А + Л*),

получим:

В, =УпЕа- г Ь - ь,,> =yn Babh(h+ h ' ) 4 n - 2 ? h + n

313

Переходя далее к относительному содержанию арматуры, имеем:

при п > 4

Следовательно, окончательно получим:

(5.60)

ч’ ( l - F j " - 2 + 2 F j -

Рассмотрим теперь случай симметричной формы потери устой­ чивости. Объект исследования - трехслойная модель. Как и ранее, полагаем, что Л0 = h2 ф А,, В0 = В2 ф 2?,, D0 = D2 ф Д , = qyk = 0;

N0 = N 2 = - N , N{ =0.

В случае симметричной формы потери устойчивости имеем:

С учетом полученных значений система дифференциально-раз­ ностных уравнений (5.9) после упрощений примет следующий вид:

где В = 2?0 , И= Л0, Z) = ЗД, Д /2Z)0 + Д

Совершенно аналогично предыдущему, опуская промежуточные выкладки, получим следующее дифференциальное уравнение вось­ мого порядка:

где

а, = у - а , а2 = Ък2, аъ = с2/ - сок2, а4 = с2к1 ,

314

волокна устойчивы и, следовательно, имеет место сжатие материала. Рассмотрим первый случай, который имеет наибольшее практи­ ческое значение. При определении максимальных напряжений сжатия многоармированных систем, каковыми являются реальные компози­ ционные материалы, будем исходить из вероятностных представле­ ний, так как армирующие элементы располагаются в полимерной матрице не регулярно, а хаотично, причем неравномерность струк­

туры усугубляется разбросом в величинах диаметра наполнителя.

С этой целью можно было бы, рассматривая композицию как стохастически армированный материал, механические характери­ стики которого являются случайными функциями координат про­ странства, представить напряжения, деформации и упругие постоян­ ные в виде суммы математических ожиданий и флуктуаций, т.е.

= ( ° > )'+ <r%. £jk= (£jk) + 4 ’ Ejk= (Ejk)+ E%и Т-Д-

Вследствие статистической однородности полей crjk, ejk, Ejki стати­ стические средние (сг, е и Е) в этих формулах будут постоянными.

Далее, подставив значения (jjk, ejk и Ejk в уравнения равновесия и совместности деформаций, можно было бы получить уравнение отно­ сительно флуктуаций перемещений (которое в общем случае будет статистически нелинейным, т.е. будет содержать произведения слу­ чайных функций), решение которого ищется в виде моментальных функций.

Таким образом, используя стандартный метод решения стати­ стической краевой задачи теории упругости стохастически армиро­ ванных сред, можно было бы решить поставленную задачу. Однако в силу громоздкости этого метода с целью получения обозримых фор­ мул, удобных для инженерного применения, остановимся на не­ сколько более простом выводе формулы для прогнозирования проч­ ности композита при сжатии.

Итак, пусть есть некоторое сечение ориентированного стекло­ пластика. С известным допущением в нем всегда можно выделить две группы волокон. Одна часть волокон расположена столь компактно, что образует структуру в виде сплошных пластинок, расположенных так близко друг к другу, что может считаться монолитной системой. Другая группа волокон представляет собой некоторую дискретную структуру, в которой волокна расположены не столь компактно, об­ разуя слой с отчетливым чередованием армирующих элементов и свя­ зующего. Первую структуру условно назовем сплошной, а вторую - дискретной.

В силу того, что реальные стеклопластики являются существенно многоармированными (например, в 1 см2 сечения располагается 3105 волокон с d = 20 /у и 3-107 волокон с d = 2 //), нагрузка, приложенная к ним, носит неизбежно локальный характер, т.е. она не может быть

316

одновременно приложена ко всем армирующим элементам, а лишь к части волокон, остальные же вовлекаются в работу через связующее.

Тогда, если нагрузка приложена к одному из элементов сплош­ ной структуры, ее можно считать равномерно распределенной между всеми элементами, так как сплошная система монолитна. В случае же дискретной структуры при приложении нагрузки к каким-либо двум элементам модели другие элементы, расположенные между непосред­ ственно нагруженными, вовлекаются в работу, вообще говоря, не­ равномерно, т.е. слои, расположенные ближе к нагруженным, вос­ принимают большую часть нагрузки, дальше - меньшую, а часть слоев, достаточно удаленная от крайних, - вообще не работает.

Для создания приближенной теории устойчивости однонаправ­ ленных стеклопластиков ранее были рассмотрены обе предельные структуры и соответствующие им силовые схемы порознь. Теперь рассмотрим общий случай, в котором необходимо учесть вероятност­ ный характер фактической структуры однонаправленной системы.

Итак, выделим из некоторого сечения однонаправленного ком­ позита произвольную область Е, состоящую из части А - сплошной структуры - и части В - дискретной структуры. Области А и В могут быть как односвязными, так и многосвязными. Тогда Е = А + В .

Введем далее следующие обозначения: VA, VB - относительные объемные содержания областей А и В соответственно; f А , f А -

относительные объемные содержания арматуры (а) и связующего (с) в области A; f Bg , f B - относительные объемные содержания арма­

туры и связующего в области В\ Fa, Fc - относительные объемные содержания арматуры и связующего во всем сечении.

Имеем далее следующие очевидные соотношения:

Vл + = * > Fa +Fc =l ’ А + /в а = Fa > / 4 + /в е ~ Fc•

Поскольку число волокон и, следовательно, слоев велико, то их распределение в среднем можно считать равномерным по всему объ­ ему.

Следовательно, соотношения между объемными содержаниями арматуры и связующего во всем объеме и в любой его части прини­ маем одинаковым, т.е.

Д / / Л = /« ,//* , - F ' / F .

или

317

Для предельных сжимающих напряжений в областях А и В за­ пишем:

где ст, - предельные сжимающие напряжения арматуры в области А ,

<т2 - критическое напряжение при потере устойчивости в области В,

<те - прочность связующего.

Поскольку прочность связующего обычно ничтожно мала по сравнению с прочностью армирующих элементов (сг„ = 25 -г- 400; сгс= 5-г- 15 кг/мм2), то в дальнейшем значениями ос будем пренебре­ гать по сравнению с о;• (/ = 1,2).

Тогда получим:

a A =<r,Ffl, а в = c 2Fa .

В случае сплошной монолитной структуры А предельное напря­ жение составляет:

где М - коэффициент сплошности системы. В случае же структуры В имеем:

где Gxy - некоторый приведенный модуль сдвига композита, нахо­ дящегося между двумя крайними загруженными элементами.

Gxy существенным образом зависит от нерегулярности интерва­ лов между армирующими элементами [56], т.е.

Далее, так как области А и В неразрывны и, следовательно, имеют одинаковые деформации, то для всей области £ получим сле­ дующее значение максимального сжимающего напряжения:

Величина VAявляется случайной, так как она зависит от хаотич­ ного расположения волокон, режимов намотки и многих других фак­

318

торов. Следовательно, а - функция случайной величины VA, эмпири­ ческое определение которой очень сложно. Из уравнения (5.64) полу­ чим:

По определению VAимеет следующие пределы изменения:

0 < К , < 1 .

Но вероятность того, что VA= 0 или 1 исчезающе мала. Следова­ тельно:

0 <VA <\ .

Поскольку VAзависит от многих случайных факторов, которые в общем являются независимыми, то, как принято в подобных случаях, будем считать, что распределение VA близко к нормальному. Исходя из этого, предположим, что в единице объема элементарного слоя имеется область X = А + 5, где доля всех компактных волокон VAза­ ключена в интервале VA + dVA. Опуская известные выкладки, придем к следующему распределению Максвелла, нормированному на еди­

где а - const.

Найдем теперь, при каком значении VA величина P(VA) имеет максимальное значение, т.е. найдем наиболее вероятное значение

("МОДУ") VA.

Минимизируя P(VA) по VA, получим:

VA - W a

Далее, так как lim P(vA)=0, то а » \ , что видно, во-первых, из Ki-M

анализа уравнения (5.66) и, во-вторых, из того, что, если построить зависимость P(VA) - VA для разных значений а, то записанный пре­ дельный переход справедлив для тех кривых, у которых а » 1.

С другой стороны, из уравнения (5.65) видно, что VA является функцией отношения стд/сг^ , причем crAl<JB » 1 ,т . е . прочность мо­ нолитной системы значительно превышает прочность немонолитной

319

что, как будет показано ниже, найденные значения максимальных напряжений хорошо согласуются с данными экспериментов). Тогда распределение (5.66) удовлетворяет физическим условиям задачи. Следовательно:

Далее, используя уравнения (5.64) и (5.67), получим следующее наиболее вероятное значение максимального сжимающего напряже­ ния:

вующих в работе композиции.

Ранее экспериментально было показано [57], что в наименее прочных (немонолитных) образцах переход от 10 к 50 волокнам при­ водит к снижению прочности примерно на 20%, а от 50 к 180 волок­ нам - на 10%. Дальнейшее увеличение значения п не меняло результа­ та.

В наиболее прочных образцах, изготовленных на смоле, которая обеспечивала монолитность системы, снижение прочности при пере­ ходе от 10 к 50 волокнам составило лишь 5%, а дальнейшее увеличе­ ние значения п почти не меняло прочности системы.

Таким образом, если взять монолитную систему и рассмотреть две схемы нагружения (рис. 10), то "первые" 10 волокон несут 95% всей нагрузки, а остальные волокна практически не работают. По­ этому, считая систему монолитной, в первом приближении примем п = 10.

Рис. 10. Определение числа работающих волокон

320