Дискретная математика & математическая логика
..pdf
Помимо элеровых графов существуют и гамильтоновы графы.
Уильям Роуэн Гамильтон (William Rowan Hamilton, 1806–1865) –
выдающийся ирландский математик – рис. 1.23.
Рис. 1.23. Уильям Роуэн Гамильтон
В математической логике известна операция «стрелка Пирса».
Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914) – рис. 1.24.
Рис. 1.24. Чарльз Сандерс Пирс
Сформулировал идею логицизма, т.е. направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом ко-
21
торого является утверждение о «сводимости математики к логике»,
Фридрих Людвиг Готлоб Фреге – рис. 1.25.
Рис. 1.25. Фридрих Людвиг Готлоб Фреге
Фридрих Людвиг Готлоб Фреге (Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848–1925) – немецкий логик, математик и философ. Представитель школы аналитической философии.
XX век
С именем Бертрана Рассела (1872–1970) – рис. 1.26, связан знаменитый парадокс (антиномия) теории множеств.
Бертран Рассел – английский математик, философ и общественный деятель. «Логицист» Рассел считал, что математика может быть выведена из логики.
Были сформулированы основные положения так называемых оснований математики, метаматематики, основанных на аксиоматике. Это была попытка создания своего рода теории теорий, таких чётких правил, которые бы давали гарантию избежать парадоксов типа парадокса Рассела. Такое стремление к порядку, педантичности не могло не проявиться у немецких математиков. Бертран Рассел определил множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое.
22
Рис. 1.26. Бертран Рассел
Возможно косвенное определение множества через аксиомы теории множеств.
Часто встречаются обозначения следующих числовых множеств:
–N – множество натуральных чисел,
–Z – множество целых чисел,
–Q – множество рациональных чисел,
–R – множество действительных чисел,
–C – множество комплексных чисел.
Множество может пустым и полным (универсальным), счётным и несчётным, конечным и бесконечным, упорядоченным и неупорядоченным. Более того, как в наивной, так и в формальной теории множеств любой объект обычно считается множеством.
Теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий. В 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело.
Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (нем. Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871–1953) – рис. 1.27 – немецкий математик,
внёсший значительный вклад в теорию множеств и создание аксиоматических оснований математики.
23
Рис. 1.27. Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело
В настоящее время теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную – аксиоматической теорией множеств.
Георг Кантор определил множество как единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством. Эти объекты он назвал элементами множества. Множество объектов, обладающихсвойством A (x), Кантор обозначил
{x | A(x)}.
Если некоторое множество
Y = {x | A(x)},
то A (x) называется характеристическим свойством множества Y. Эта концепция привела к парадоксам, в частности к парадоксу
антиномии Рассела. Антиномия (др.-греч. αντι- – против и νόµος – закон) – это противоречие в законе или противоречие закона самому себе. Антиномия Рассела формулируется следующим образом: пусть K – множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?
Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K: противоречие. Если нет – то, по определению K, оно должно быть элементом K – вновь наблюдаем противоречие.
24
Мы должны вспомнить и Джузеппе Пеано– рис. 1.28, с его именем связаны аксиоматика Пеано, формальная арифметика Пеано, задачаформализации математических теорий.
Рис. 1.28. Джузеппе Пеано
Но, к сожалению, а может быть, и к счастью, Курт Фридрих Гёдель (нем. Kurt Friedrich Gödel, 1906–1978) – рис. 1.29, доказал,
что такая задача глобальной формализации неразрешима.
Рис. 1.29. Курт Фридрих Гёдель
25
Курт Фридрих Гёдель – австрийский логик, математик и философ математики, наиболее известный сформулированной и доказанной им теоремой о неполноте, широко известна также гёделевская нумерация алгоритмов.
Далее мы вспомним учёных, чьи труды во многом сформировали современные математические основы информатики.
Это прежде всего Клод Элвуд Шеннон – рис. 1.30 (англ. Claude Elwood Shannon, 1916–2001) – американский математик и электротехник, один из создателей математической теории информации, в значительной мере предопределивший своими результатами развитие общей теории дискретных автоматов, которые являются важными составляющими кибернетики.
Рис. 1.30. Клод Элвуд Шеннон
Это Ричард Хэмминг – рис. 1.31 (1915–1998) – американский математик, работы которого в сфере теории информации оказали существенное влияние на компьютерные науки и телекоммуникации. Основной его вклад – так называемый код Хэмминга, а также расстояние Хэмминга.
Дэвид Хаффман (1925–1999) – американский математик, информатик – рис. 1.32. Дэвид Хаффман известен своим алгоритмом кодирования, а также методом синтеза автоматов.
26
Рис. 1.31. Ричард Хэмминг. Кот Хэмминга – не код Хэмминга
Рис. 1.32. Дэвид Хаффман
Стефан Коул Клини (англ. Stephen C Kleene, 1909–1994) –
рис. 1.33 – американский математик и логик. Внёс важный вклад втеориюконечных автоматов (теорема Клини, «звёздочка» Клини *).
Основателем теории алгоритмов может по праву считаться
Алан Матисон Тьюринг – рис. 1.34.
27
Рис. 1.33. Клини Стефан Коул
Рис. 1.34. Алан Матисон Тьюринг
Машина Тьюринга – это абстрактная модель вычислительного устройства. В годы войны с гитлеровской Германией Алан Тьюринг много сделал для расшифровки сообщений с немецких подводных лодок (у фашистов была шифровальная машинка «Энигма»), что спасло много жизней, в том числе советских моряков.
В теории алгоритмов известна и машина Поста. Эмиль Леон Пост (1897–1954) – рис. 1.35. Большое значение имеет и теорема Поста о функциональной полноте.
28
Рис. 1.35. Эмиль Леон Пост
Большой вклад в теорию алгоритмов внёс Алонзо Чёрч (англ. Alonzo Church, 1903–1995) – рис. 1.36.
Рис. 1.36. Алонзо Чёрч
Известен так называемый тезис Чёрча. В терминах вычислимости по Тьюрингу тезис гласит, что для любой интуитивно вычислимой функции существует вычисляющая её значения машина Тьюринга. Физический тезис Чёрча – Тьюринга: любая функция, которая может быть вычислена физическим устройством, может быть вычис-
29
лена машиной Тьюринга. Сильный тезис Чёрча – Тьюринга (тезис Чёрча – Тьюринга – Дойча): любой конечный физический процесс, не использующий аппарат, связанный с непрерывностью и бесконечностью, может быть вычислен физическим устройством.
Чарльз Энтони Ричард Хоар (р. 1934) – рис. 1.37, известен как создатель алгоритмической логики.
Рис. 1.37. Чарльз Энтони Ричард Хоар
Лотфи Заде (р. 4 февраля 1921 г. – Баку, Азербайджан) – рис. 1.38, основатель новой нечёткой логики.
Рис. 1.38. Лотфи Заде
30