Дискретная математика & математическая логика
..pdf
Рис. 1.6. Аль-Хорезми, как его представил советский художник в 1983 г.
Только через 300 лет эта арифметика дошла до Европы. Это случилось благодаря Леонардо Пизанскому – рис. 1.7 (лат. Leonardo Pisano, Пиза, ок. 1170 – ок. 1250) – первому крупному математику средневековой Европы. Его отец был купцом и часто посещал Северную Африку, где и познакомился с арабскими (индийскими) цифрами, в том числе с нулём. До этого использовалась не очень
Рис. 1.7. Леонардо Пизанский
11
удобная для торговых вычислений римская система счисления. Леонардо более известен под прозвищем Фибоначчи (Fibonacci), что в переводе с итальянского означает аббревиатуру «хороший сын родился» (Figlio Buono Nato Ci).
Итак, Леонардо Пизанский – это числа Фибоначчи, рекурсия, введение арабских (индийских) цифр, нуля.
Новое время
Прошло ещё 300 лет… В Англии родился Френсис Бэкон –
рис. 1.8 (англ. Francis Bacon, 1561–1626) – английский философ,
историк, политический деятель.
Рис. 1.8. Френсис Бэкон
Знаменитое изречение Бэкона– « Знание – сила». Известен также шифр Бэкона. Однако, будучи на государственной службе, Бэкон был уличён в коррупции и осуждён. После этого, очевидно, Бэкон занялся исключительно наукой(наука– дело чистое).
Работы Ф. Бэкона являются основанием и популяризацией индуктивной методологии научного исследования, часто называемой методом Бэкона.
Свой подход к проблемам науки Бэкон изложил в трактате «Новый органон» (напомним, у Аристотеля – книга «Органон»),
12
вышедшем в 1620 году. Это было дальнейшим развитием логики Аристотеля. Бэкон провозгласил целью науки обретение власти человека над природой. «Не будем ждать милости от природы!» – говорилось в советское время, наверное, не без подачи Бэкона.
Индуктивно человек получает знание из окружающего мира через эксперимент, наблюдение и проверку гипотез. Такие методы тогда использовались алхимиками. Бэкон пришел к выводу о том, что Бог не запрещал познание природы, как, например, утверждают некоторые теологи. Наоборот, Бог дал человеку ум, который жаждет познания Вселенной. Люди только должны понять, что существуют два рода познания: 1) познание добра и зла, 2) познание сотворенных Богом вещей. Познание добра и зла людям запрещено, нравственный закон Бог дает через Библию. А познавать сотворенные вещи человек, наоборот, должен – с помощью своего ума.
Много сделали для дискретной математики французские учёные. Декартовы координаты своим появлением обязаны Рене Декарту
(фр. Renе Descartes, 1596–1650) – рис. 1.9.
Рис. 1.9. Рене Декарт
Комбинаторика, связанная с тогдашним увлечением игрой в кости, треугольник Паскаля – это Блез Паскаль (фр. Blaise Pascal,
1623–1662) – рис. 1.10.
13
Рис. 1.10. Блез Паскаль
С азартных игр началась и теория вероятности, но это отдельная история.
Не будем забывать и бином Ньютона. Исаак Ньютон
(1642–1727) – рис. 1.11.
Рис. 1.11. Исаак Ньютон
С комбинаторикой связано и имя Джеймса Стирлинга (James Stirling, 1692–1770) – шотландского математика – рис. 1.12.
14
Рис. 1.12. Джеймс Стирлинг
Известна формула Стирлинга – асимптотическая формула для вычисления факториала.
Среди немецких математиков выделяется, как жемчужина,
имя Леонарда Эйлера – рис. 1.13 (нем. Leonhard Euler, 4 (15) апреля
1707, Базель – 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург).
а |
б |
Рис. 1.13. Леонард Эйлер: а – портрет; б – марка, выпущенная в ГДР
С него и началась, собственно, теория графов (задача о кенигсбергских мостах), эйлеровы графы. Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 году Петербургская академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое
15
астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить её за три дня – и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и ослеп на правый глаз. Учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду
отвлекаться от занятий математикой», – |
философски заметил он. |
Готфрид Лейбниц (1646–1716) – |
рис. 1.14 – первым предрёк |
великолепную будущность нулю и единице.
Рис. 1.14. Готфрид Лейбниц
Лейбниц первый попытался математизировать силлогистику Аристотеля, используя простые числа.
В комбинаторике используется преобразование Фурье. Жан
Батист Жозеф Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830),
французский математик и физик – рис. 1.15.
Начало создания теории бесконечных множеств – Бернард Больцано– рис. 1.16 (чеш. Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano; 1781–1848) – чешский математик, философ.
Теория алгебраических систем, многие современные методы кодирования, шифрования обязаны Эваристу Галуа – рис. 1.17.
Эварист Галуа (фр. Еvariste Galois, 25 октября 1811 г. – 31 мая 1832 г.) –
выдающийся французский математик, основатель современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, он был
16
Рис. 1.15. Жан Батист Жозеф Фурье
Рис. 1.16. Бернард Больцано
Рис. 1.17. Эварист Галуа
17
застрелен на дуэли в возрасте двадцати лет. Согласно легенде, в душную майскую ночь перед дуэлью написал всего около 60 страниц – своего рода «математическое завещание», и до настоящего времени математиками якобы понята только треть этого текста. Эварист Галуа – это группы подстановок Галуа, поля Галуа…
Примерно в то же время в Норвегии в области алгебры творил такой же молодой математик – Нильс Абель (норв. Niels Henrik
Abel, 1802–1829) – рис. 1.18.
Рис. 1.18. Нильс Абель
В дискретной математике рассматриваются так называемые абелевы группы.
Благодаря трудам английского, ирландского математика и логика Джорджа Буля (1815–1864) – рис. 1.19, логика, наконец, получила первую математическую «одежду». С его именем связаны булева алгебра, булеан, булевы функции и пр.
Джордж Буль – предтеча современной математической логики, в которой большое значение имеет закон де Моргана.
Огастес (Август) де Морган (англ. Augustus de Morgan, 1806–1871) – шотландский математик – рис. 1.20.
18
Рис. 1.19. Джордж Буль
Рис. 1.20. Август де Морган
Джон Венн – рис. 1.21 (англ. John Venn, 1834–1923) – анг-
лийский логик и философ. Он известен своими диаграммами – диаграммами Венна, которые используются во многих областях, таких как теория множеств, теория вероятности, логика, статистика и информатика.
В отличие от диаграмм Эйлера, у Венна рассмотрен «общий» случай – все варианты пересечения множеств, т.е. булеан.
Немецкий математик Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845–1918) – рис. 1.22, считается основоположником теории множеств.
19
Множество – один из ключевых объектов математики, в частности теории множеств и логики. «Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)» (Георг Кантор, «К обоснованию учения о трансфинитных множествах»).
аб
Рис. 1.21. ДжонВенниегодиаграмма: а– портрет; б– мемориальное окно вКембридже – диаграмма Венна
Рис. 1.22. Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор
20