Дискретная математика & математическая логика

Автомат В:

Рис. 5.2. Некоторый автомат В

В то же время оказывается, что их реакции на входную цепочку aabbabb одинаковы:

ψ* (y , aabbabb) = ψ* (y , aabbabb) = 0001001.

A 0A B 0B

Однако перебрать все входные цепочки невозможно – их бесконечно много, поэтому проблема эквивалентности автоматов нетривиальна.

Существует метод решения этой проблемы. Он основан на понятии прямого произведения автоматов.

Прямое произведение автоматов [11]

Определение. Прямым произведением автоматов

A= < X A , YA , Z A , y0A , φA , ψA >,

B= < X B , YB , Z B , y0B , φB , ψB >

содинаковым входным алфавитом Х называется автомат А В

A B = < X , YA YB , Z A ZB , (y0A , y0B ), φA B , ψA B >,

171

где

(ψA (yA , x), ψB (yB , x))],

т.е. в качестве состояний автомата А · В получаем пары состояний (yA , yB ), начальное состояние – пара состояний (y0A , y0B ), выходной

алфавит – множество пар выходных символов [(ψA (yA , x), ψΒ (yB , x)].

Получаем параллельно работающие на одном входе автоматы

(рис. 5.3):

Рис. 5.3. Прямое произведение автоматов А и В = А · В

Теорема Мура. Два конечных автомата

A = < X A , YA , Z A , y0A , φΑ , ψA >,

B= < X B , YB , ZB , y0B , φB , ψB >

содинаковым входным алфавитом эквивалентны тогда и только тогда, когда для любого достижимого состояния (yA , yB ) в их пря-

мом произведении А · В функции выходов одинаковы:

172

( x X )[ψ(yA , x=) ψ(yB , x)].

Умножим автомат А на автомат В. Получаем вначале 6 вершины (рис. 5.4):

Рис. 5.4. Вершины автомата А · В

Если есть петли в обеих вершинах – она остаётся и в вершине графа произведения автоматов (b/1,1) – вверху, в числителе – входной символ, в знаменателе – выходные через запятую.

Дуги проводим так же (рис. 5.5):

Рис. 5.5. Начало получения дуг А · В

173

В результате получаем граф переходов А · В (рис. 5.6):

Рис. 5.6. Граф прямого произведения автоматов А и В – автомат А · В

Удалим недостижимые состояния (рис. 5.7):

Рис. 5.7. Прямое произведение А · В с исключёнными недостижимыми состояниями

174

Видно, что для каждого состояния выполняется выдача пар одинаковых выходных сигналов. Следовательно, автоматы А и В эквивалентны.

5.2. МИНИМИЗАЦИЯ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ

Итак, разные автоматы могут функционировать одинаково, даже если у них разное число состояний.

Важной задачей теории автоматов является нахождение минимального автомата, реализующего заданное автоматное отображение.

Эквивалентные состояния [11]

Два состояния называются эквивалентными тогда и только тогда, когда их нельзя различить никакими входными последовательностями (экспериментами).

Два состояния p и q конечного автомата A = < X , Y , Z , y0 , φ, ψ > называются эквивалентными (будем обозначать p ≈ q ) тогда и только тогда, когда

( α X * )[ψ* (p, α=) ψ* (q,α)].

Пусть даны два автомата, рассмотренных нами далее – произведение А × В (см. рис. 5.7). Состояния q0 и q2 эквивалентны: любая входная цепочка, поданная на автомат, находящийся в состоянии q0, даст такую же реакцию и в случае, когда автомат находился вначале в состоянии q2.

Эти два состояния можно объединить в одно (рис. 5.8):

175

Эквивалентные состояния объединяются в классы, эти классы и являются состояниями нового автомата. Если определить на множестве состояний автомата минимально возможное разбиение (меньше двух у автомата с памятью не бывает), то получим минимальный автомат, эквивалентный исходному.

Мы не сможем перебрать все возможные цепочки, как и в случае выяснения эквивалентности двух автоматов. Но существует алгоритм последовательного разбиения состояний автомата на классы и определения максимального отношения эквивалентности.

Разбиение состояний автомата на классы эквивалентности

Алгоритм состоит в последовательном построении на множестве состояний автомата разбиений π0, π1, …, π∞, таких, что в один класс попадают k-эквивалентные состояния, т.е. те, которые неразличимы входными цепочками длиной k [11].

Такиесостояниябудемсчитатьвотношенииэквивалентности ≈ k .

Очевидно, что в любом автомате все состояния 0-эквива- лентны, поскольку при подаче пустой цепочки на вход автомата (цепочки длины 0) выходом является также пустая цепочка, независимо от того, в каком состоянии находится автомат.

Разбиения π0, содержащее один-единственный блок и π1, в каждом блоке которого объединены состояния, не различимые входными сигналами, являются исходными при построении последовательности разбиений π0, π1, …, π∞.

177

Как же строить следующее разбиение начиная с π1?

Теорема. Пусть p ≈ k q, k> 1.

Для выполнения p ≈ k +1 q необходимо и достаточно, чтобы

( x X )[φ(p, x≈ ) k φ(q, x)],

т.е. k-эквивалентные состояния под воздействием входных сигналов переходили бы в состояния, также являющиеся k-экви- валентными.

Действительно, для того чтобы цепочка длиной k + 1, например x0 , x1 , x2 , ..., xk +1 , не различала состояния p и q, нужно, чтобы из

этих состояний под воздействием сигнала x0 был переход в такие состояния, которые не различимы цепочкой x1 , x2 , ..., xk , т.е. чтобы φ(p, x) и φ(q, x) были k-неразличимы (рис. 5.10):

Рис. 5.10. Пояснение теоремы о k + 1 эквивалентности: x1, x2, …, xk – цепочка длиной k,

x0, x1, x2, …, xk – цепочка длиной k + 1

Пример минимизации автомата [11]

Дана таблица переходов-выходов в форме обобщённой таблицы (табл. 5.1):

178

Таблица 5 . 1

Переходы-выходы минимизируемого автомата с девятью состояниями, с двумя входными символами (сигналами) – а, b

Начальное разбиение – это один блок, включающий все состояния, поскольку входные цепочки длиной 0 (пустая цепочка ε) не различают состояний. Независимо от того, в каком состоянии находился автомат, при подаче пустой цепочки ε выходом также будет пустая цепочка ε.

π0 = {А0 = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>}.

Строим π1 – те состояния, которые не различаются цепочкой длины 1, т.е. символом либо а, либо b.

Видим, что состояния разбиваются на два блока – в первом реакции 1,0, во втором – 0,1:

π1 = {А1 = <1, 3, 5, 6, 8, 9>; В2 = <2, 4, 7>}.

Добавим к таблице переходов-выходов столбец для π1. Теперь смотрим, в какие блоки переходит автомат из блоков

π1 под воздействием символов а, либо b.

Строим таблицу переходов из блоков разбиения π1 (табл. 5.2).

179

Итак, в первой строчке под воздействием а осуществляется переход в состояние 3 – это блок А1, под воздействием b осуществляется переход в состояние 6, это тоже блок А1. Так и записываем.

Во второй строчке под воздействием а осуществляется переход в состояние 4 – это блок В1, под воздействием b осуществляется переход в состояние 6 – это блок А1.

Втретьей строчке под воздействием а осуществляется переход в состояние 1 – это блок А1, под воздействием b осуществляется переход в состояние 4 – это блок В1.

Вчетвёртой строчке под воздействием а осуществляется переход в состояние 7 – это блок В1, под воздействием b осуществляется переход в состояние 9 – это блок А1.

Действуя аналогично, получаем всю таблицу:

Строим таблицу переходов из разбиения π3. При его построении уже не нужно анализировать, в какой блок π2 переходит авто-

180