Статистические методы анализа и обработки наблюдений

трудность — для каждых конкретных значений а и а нужно составлять свою таблицу. Этой трудности удается избежать, приводя все нормаль­ ные распределения к

пределение с матема­ тическим ожиданием, равным нулю, и стан­ дартом, равным еди­ нице, называется

стандартным. Его функция распределения имеет вид

Р° (Х) = 7 Ш ! r *,,d x -

График этой функции представлен на рис. 14. В некоторых статистических таблицах даются значения Е0(х) при изме­ нении х от —оо до оо. Однако такую таблицу можно сокра­ тить еще вдвое, используя следующее соображение. Сама функция FQ (л:) не обладает четностью или нечетностью,

ф (а:) достаточно составить лишь для х^О . А восстановить F0(x) по Ф (х) уже не представляет труда. Более того, мы постараемся все встречающиеся в дальнейшем формулы преобразовывать таким образом, чтобы в них вообще встре­ чалась только функция Ф (х).

Функция Ф (х) называется функцией Лапласа. Исполь­ зуя равенство

ее можно представить в виде

1

®{x) = F0(x) — F0(Q) = y = j e-*s/2 dx — y ~ ^e~*'*dx,

Таблица значений этой функции приводится в Приложении к настоящей книге (таблица I).

Случайная величина £0, имеющая стандартное распреде­

тельно, то для него функцию Лапласа вычисляют с исполь­ зованием свойства нечетности.

П р и м е р 1. Найти вероятность того, что нормирован-

Согласно общей формуле (3.1),

р { - К Е . < 4 ) = ф (4-)-Ф(-1).

По таблице I Приложения находим, что Ф (0,5)=0,1915. Значение —1 в таблице отсутствует, но мы знаем, что Ф (—1)= —Ф (1). Поэтому Ф (—1)= —0,3413. В результате

Р ] l < 1 о < 4 ) = 0 ’ 1915 + ° ’3413 = 0’5328*

Вычисления еще более упрощаются, если числа хг и х2 симметричны относительно математического ожидания а. С такой ситуацией приходится сталкиваться в задаче об абсолютном отклонении. Абсолютным отклонением назы­ вается разность между случайной величиной и ее матема­ тическим ожиданием, взятая по абсолютной величине:

Аъ — | £— |.

64 § 3. НОРМАЛЬНОЕ Р АСПР Е ДЕ Л ЕН И Е

Задача об абсолютном отклонении звучит так: найти вероят­ ность того, что абсолютное отклонение случайной величины не превзойдет некоторого заданного числа е. Эта задача сво­ дится к уже рассмотренной, так как неравенство Д£=^е рав­ носильно неравенствам М£—е ^ ^ м |+ е .

Для нормального распределения М £=а и, значит, Р { Д |< е} = Р {а — е < I < а + е}.

В частности, для нормированной случайной величины

Р{Л£о<е} = Р { - е < ? о < е } = Ф ( е ) - Ф ( - е ) .

ность попадания в мишень радиуса 2 (все данные в метрах). Как уже было доказано, рассеяние снарядов подчиняется

нормальному закону распределения со стандартом о = у = 1.

Значит, в нашем примере распределение точек попадания стандартное. Обозначим расстояние от точки попадания снаряда до центра мишени через Д£0. Тогда задача сведется

Перейдем теперь к рассмотрению общего нормального распределения с произвольными параметрами а и а. Преоб­

разуем заданную случайную величину по формуле £0 = ~ —

(такое преобразование называется нормировкой). Случай­ ная величина £0 будет нормированной. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии (см. п. 2.3), найдем

MS. = М ( Ь Н ) = ± № - а ) = 1 (а- а ) = 0.

Аналогично,

D|o = D ( ^ ) - > < 6 - « ) = > 6 = £ - 1 .

к новой величине. Получив с помощью формул нормаль­ ного распределения все необходимые результаты для г), мы затем можем снова вернуться к исходной случайной ве­ личине |.

Другой путь заключается в том, чтобы распределение заданной случайной величины заменить приближенно нор­ мальным (если это возможно). Второй путь особенно часто применяется при обработке экспериментальных данных, где обычно нет возможности установить распределение слу­ чайной величины с абсолютной точностью. Возможность приближенной замены одного распределения другим осно­ вана на следующем соображении. Вычисление вероятности на практике никогда не бывает самоцелью. Вероятность того или иного события нужна нам обычно лишь для того, чтобы в соответствии с ней выбрать дальнейший план дей­ ствий: принять или не принять гипотезу, удовлетвориться ли результатом, учитывать ли тот или иной фактор и т. п. В такого рода «психологическом» выборе небольшие раз­ личия между вероятностями не будут, конечно, играть роли. Следовательно, и функцию распределения незачем знать с особо высокой точностью.

Для того чтобы одну случайную величину можно было приближенно заменить другой, нужно, чтобы достаточно мало отличались их функции распределения. Если случай­ ные величины непрерывны, то можно сравнивать их плот­ ности. Разумеется, в каждом конкретном случае нужно уметь проверять, что погрешности перехода действитель­ но малы.

Приближенная замена одних распределений другими особенно эффективна при замене конечнозначных и дискрет­ ных величин непрерывными, так как аппарат интегрирова­ ния намного проще в работе, чем аппарат суммирования. В этом случае, однако, можно сравнивать лишь функции распределения случайных величин, ибо у дискретных и конечнозначных распределений нет плотности.

Последнее обстоятельство несколько огорчительно, так как сравнение плотностей удобнее непосредственного срав­ нения самих функций распределения. Оказывается роль плотности конечнозначной (или дискретной) величины, в не­ котором смысле, играет ряд распределения этой селпчи-

ны, т. е. совокупность ее значений и соответствующих ве­ роятностей. Покажем это на примере конечнозначной слу­ чайной величины принимающей только целочисленные значения &=0,1, 2, п\ вероятности этих значений обоз­ начим через рк.

Рассмотрим совокупность интервалов [&— -1,

для всех k. Эти интервалы, не перекрываясь, заполняют

промежуток от—у до /г+ у, и числа k=0, 1,2,..., п будут

серединами интервалов. Случайная величина £ может при­ нимать только одно значение из каждого такого интервала (как раз середину) с вероятностью рк для k-ro интервала. Поэтому можно сказать, что для случайной величины £

на рк.

Для того чтобы «превратить» конечнозначную случайную величину | в непрерывную величину г), нужно как бы «раз­ мазать» каждое значение величины £ по всему окружающему его интервалу; при этом желательно, чтобы вероятности по­ паданий в эти интервалы не изменились, или изменились незначительно. Подобное «размазывание» можно осуществ­ лять самыми различными способами, из которых наиболее употребительны способы гистограммы и полигона.

Отложим значения k —0, 1,2, ..., п на оси абсцисс ив каждой точке восставим перпендикуляр соответствующей длины рк (см. рис. 15). Мы получим точки М0, АД, •••, Мп\ совокупность этих точек называется огивой случайной величины |. Распространим теперь каждое значение рк на