Статистические методы анализа и обработки наблюдений

ходить, зная распределение основной случайной величины Рассмотрим вначале среднее выборки, равное сумме ре­

зультатов отдельных наблюдений, деленной на п. Если рассматривать всевозможные выборки, то результат пер­ вого наблюдения окажется совершенно случайным; то же самое верно для второго наблюдения, третьего и т. д. Сле­ довательно, каждому по счету наблюдению соответствует своя случайная величина: первому — р1( второму — |и2

ит. д. Все эти величины имеют то же распределение, что

иосновная величина £ — ведь именно ее мы наблюдаем всякий раз. Поэтому они имеют одинаковые математиче­ ские ожидания Мр,1=Мр,2= ... = Мр.п = М£, одинаковые дис­ персии D ii^D iio^... = Djj,„=D£. Среднее выборки выражает­

ся через результаты отдельных наблюдений по формуле

“ _ Ш+ Ра+ • • • + Р„

п

Следовательно, в силу свойств математического ожидания и дисперсии любой случайной величины

Сравним теперь случайные величины £ и х. Обе эти вели­ чины имеют одинаковые математические ожидания, т. е. наблюдения над ними соответствуют одному и тому же ис­ тинному результату. Благодаря этому, вместо величины £

можно изучать величину х. Правда, каждое наблюдение над

величиной х в п раз труднее, чем наблюдение над £ (нужно сначала получить всю выборку и лишь потом сумму эле­

ментов поделить на п), но зато у величины х в п раз мень­ ше дисперсия.

Перейдем к рассмотрению дисперсии D |;j. Считая, так же как и выше, каждое наблюдение случайной величиной,

В практических вычислениях для дисперсии s2 часто удоб­ на формула

легко вытекакЛцая из (4.1).

Величина s (корень квадратный из выборочной диспер­ сии) называется средним квадратичным отклонением вы­ борки или выборочным стандартом.

Тот факт, что для получения несмещенной оценки дис­ персии D£ в знаменателе выборочной дисперсии пришлось п заменить на п—1, непосредственно связан с тем, что вели­

чина х, относительно которой берутся отклонения, сама зависит от элементов выборки. Если бы в формуле выбо­ рочной дисперсии были две такие величины, то п нужно было бы заменить на п—2 и т. д. (со значительным уменьше­ нием знаменателя выборочной дисперсии нам еще придется столкнуться в регрессионном анализе, п. 9.2).

Каждая величина, зависящая от элементов выборки и участвующая в формуле выборочной дисперсии, называется связью. Оказывается (это можно строго доказать), знаме­ натель выборочной дисперсии всегда равен разности между объемом выборки и числом связей, наложенных на эту вы­ борку. Эта разность фактически показывает, какое коли­ чество элементов выборки можно произвольно изменять, не нарушая связей, поэтому она называется числом степеней свободы выборки. Число степеней свободы участвует не только в формуле выборочной дисперсии, но и в формулах всех случайных величин, так или иначе связанных с этой дисперсией.

Математическое ожидание М£ и дисперсию D£ самой случайной величины £ называют обычно генеральным сред­ ним и генеральной дисперсией. Применяя различные мето­ дики испытаний, мы будем получать различные случайные величины, даже исследуя один и тот же объект; соответствен­ но будут меняться и D£. Следовательно, генеральное среднее и генеральную дисперсию можно использовать для характеристики методик испытаний. При этом нужно хорошо представлять себе, что генеральное среднее и гене­ ральная дисперсия, взятые по отдельности, слабо характе­ ризуют методику испытаний. Так, методика с большой

94 § 4. НАБ Л ЮД ЕН И Я

дисперсией (малой точностью) может из-за отсутствия систе­ матических ошибок дать лучшее приближение к истинному результату, чем методика с малой дисперсией, но с систе­ матической ошибкой.

Итак, среднее и дисперсия характеризует две различные важные стороны применяемой методики испытаний: среднее характеризует результат, даваемый методикой, а диспер­ сия — точность этого результата, точность методики.

На этом «разделении ролей» среднего и дисперсии основана обработка так называемых «текущих измерений», к изло­ жению которой мы и перейдем.

Как уже указывалось, генеральное среднее и генеральная дисперсия оцениваются средним и дисперсией выборки тем точнее, чем больше объем выборки. В практической работе, однако, не всегда есть возможность провести достаточно большое число наблюдений; если же такая возможность есть, то на проведение большой серии наблюдений потре­ буется много времени, в течение которого результат или точность методики могут измениться. В то же время в руках исследователя часто имеются большие совокупности наб­ людений, в которых неизменна только дисперсия или только среднее. Например, состав неизвестного вещества одновре­ менно исследуется в нескольких лабораториях, в силу чего точность методики (дисперсия) по всем наблюдениям не бу­ дет одинакова, но среднее всех наблюдений (при отсутствии систематических и грубых ошибок) одно и то же. Часто встречается и такая ситуация, когда для различных изме­ рений с различными средними применяется одна и та же методика, одни и те же приборы, и значит, дисперсия по всем наблюдениям не изменится.

Оказывается, изменение одного из чисел (среднее, дис­ персия) не мешает использовать все наблюдения для на­ хождения второго числа, если оно остается неизменным. Проще всего обстоят дела с вычислением среднего — здесь изменением дисперсии можно просто пренебрегать. При вы­ числении дисперсии нужно уже учитывать изменение сред­ него, что позволит найти общую дисперсию «текущих изме­ рений».

Для вычисления дисперсии все наблюдения разбивают на отдельные выборки, в каждой из которых среднее можно считать неизменным. Пусть эти частные выборки имеют

В нижних трех строчках таблицы 4.1 указаны резуль­ таты подсчета сумм данных каждой колонки, сумм квадра­ тов этих данных, а также объемы наблюдений по каждому образцу (число данных в колонке). Эти числа нужны для вычисления дисперсий s2 по формуле

Для вычисления общей дисперсии s2 нам понадобятся, од­ нако, не сами s2, а произведения

К — 1)«*

ni

По результатам первой колонки легко находим

При обработке наблюдений чаще всего приходится стал­ киваться с нормальным распределением. Для такого рас­ пределения математическое ожидание и дисперсия обозна­ чаются через а и а2. Во всех случаях, где это не может вызвать недоразумений, мы будем использовать эти обозначе­ ния и для любых других распределений: а — генеральное

98 § 4. Н АБ Л Ю Д Е Н И Я

обладает всеми свойствами обычной дисперсии; ее можно найти, если известны дисперсии а2 отдельных наблюдений х {. На практике чаще приходится иметь дело с выборочными дисперсиями s], по которым определяется некоторое число si фо\. При достаточно больших числах степеней свободы у дисперсий s] найденное s| оказывается близким к диспер­ сии косвенного измерения а|. Из соображений аналогии s\ называют обычно выборочной дисперсией косвенного изме­ рения г.

Чтобы найти si, разложим z в ряд Тейлора, ограничи­ ваясь членами первого порядка и предполагая, что отдель­ ные наблюдения x-t мало отличаются от своих истинных

Воспользовавшись тем, что дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий и что дисперсия постоянной величины равна нулю, найдем

Вчастности, если z зависит только от одного наблюдения

хпо закону г=ф(х), то

В заключение пункта отметим, что при неизвестном рас­ пределении наблюдаемой случайной величины генераль­ ное среднее а и генеральная дисперсия а2 представляют в основном лишь самостоятельную ценность (см. п. 7.2). Если же известно, что изучаемое распределение нормально, то числа а и а2 полностью определяют его, и следовательно, знание этих чисел является исчерпывающим знанием о ве­ личине

100 § 5- ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

функции распределения сводится к определению некоторых числовых параметров распределения. Эти параметры оп­ ределяются по выборке, разумеется, приближенно, однако нужная точность здесь достигается при гораздо меньших объемах выборки, чем при непосредственном использова­ нии теоремы Гливенко.

Большинство параметров определяется и для наблю­ даемой случайной величины £ (в этом случае они называются генеральными), и для эмпирической случайной величины (в этом случае они называются выборочными). С двумя важ­ нейшими параметрами мы уже встречались — это среднее

и дисперсия. В этом пункте мы укажем еще несколько важ­ ных параметров; случайная величина £ при этом все время предполагается непрерывной.

Формальное определение большинства параметров рас­ пределения дается с помощью функции распределения*). Если в таком определении заменить генеральную функцию распределения F (х) эмпирической функцией Fn(x), то из генеральных получатся соответствующие выборочные па­ раметры. Поэтому тот факт, что выборочные параметры стремятся к генеральным при увеличении объема выборки, обеспечивается уже теоремой Гливенко, хотя при этом, как правило, получается весьма грубая оценка погрешности. В результате возникает основная задача, связанная с па­ раметрами: используя специфические свойства каждого па­ раметра в отдельности, найти для него более удобную оценку.

Пусть изучается генеральный параметр а и пусть по выборке объема п определена некоторая величина а„ (не обязательно соответствующий выборочный параметр). Го­ ворят, что ап является состоятельной оценкой параметра а, если с вероятностью единица а л—хх при п-+оо. Используя теорему Гливенко, мы можем теперь сказать, что выбороч­ ные параметры являются состоятельными оценками своих генеральных параметров.

Оценка ап называется несмещенной, если при каждом фиксированном п математическое ожидание Мал= а . В част­

*) Такие определения используют, как правило, сложное понятие интеграла Стилтьеса. Поэтому в дальнейшем даются раздельные форму­ лы параметров: для генеральной совокупности через плотность распре­ деления, для выборки — через ее элементы.