Статистические методы анализа и обработки наблюдений

лучаем окончательную доверительную оценку генерального стандарта:

Если частичные выборки имеют различные объемы пь то можно снова пользоваться оценкой (6.7), но величина I определится теперь равенством

2w ‘yn,

/= .£=.J___ !_

где числа уп = ——также приведены в таблице VI При­

ложения.

6.3. Сравнение дисперсий. Одной из важнейших задач статистической обработки наблюдений является сравнение двух или нескольких выборочных дисперсий. Основной выясняемый вопрос при этом — можно ли считать сравни­ ваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии. С такой задачей, в частности, при­ ходится сталкиваться при вычислении дисперсии по «те­ кущим измерениям».

Начнем со сравнения двух дисперсий sj и s\, имеющих соответственно и /2 степеней свободы. Будем считать, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией о\у а вторая — из генеральной совокупности с дисперсией а\. Выдвигается нулевая гипотеза (п. 5.4) — гипотеза о равенстве o\=ol. Для того чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать значимость расхождения между s? и s2 при выбранном уровне значимости р. В качестве кри­ терия значимости обычно используется так называемое

распределение Фишера.

Распределением Фишера (или F-распределением) назы­ вается распределение случайной величины:

5*

/ ’-распределение может быть использовано непосредственно

Поэтому нарушиться может только правая часть неравен­

21,3. К стабилизатору температуры применено некоторое усовершенствование, после чего (на другом режиме) полу­ чены данные: 37,7; 37,6; 37,6; 37,4. Можно ли при уров­ не значимости р=0,05 считать усовершенствование эффек­ тивным?

Эффективность стабилизаторов температуры, очевидно, зависит отдаваемой ими дисперсии температур. Таким обра­ зом, задача состоит в том, чтобы сравнить генеральные дис­ персии данных выборок температур. Вычисляем выбороч­ ные дисперсии, уменьшив для удобства вычислений все данные на 21 в первом случае и на 37,5 — во втором:

Числа степеней свободы /^=5, /2= 3. Усовершенствование может лишь уменьшить дисперсию, поэтому применяем од­ носторонний критерий значимости. По таблице VII Приложс-

при заданном уровне значимости р; в противном случае различие между дисперсиями sj, s*, s| нужно считать значимым.

Нетрудно видеть, что всегда С>1. Поэтому вначале вычисляют только В и сравнивают его с Х?_р. Если окажет­

ся, что В^Х1_р, то нулевую гипотезу (гипотезу о равенстве g

Если же 5>Xi_p, то С придется вычислить, применяя затем критерий Бартлета полностью.

Формулы для вычисления В и С несколько упрощаются, если все /,• равны между собой. Однако в этом случае суще­ ствует более удобный (и более точный) критерий Кохрана. Кохран предложил рассматривать отношение максималь­ ной дисперсии к сумме всех остальных,

max sf

е= sj-l-s’ + . . . 4 s j ’

инашел распределение величины g. Оказалось, что это распределение зависит только от k и от числа f степеней свободы, по которым определена каждая дисперсия sf.

Втаблице VIII Приложения приведены квантили gl_p для р = 0,05 и 0,01. Если найденное по заданным дисперсиям значение g окажется больше, ч ем ^ .^ (для выбранного уров­ ня значимости), то нулевую гипотезу нужно отбросить и расхождение между дисперсиями считать значимым.

Рассмотрим следующий пример, связанный с обработ­ кой «текущих измерений» (наиболее типичный случай ис­ пользования критерия Бартлета). С помощью мостика из­ меряются электрические сопротивления нескольких про­ водников. У одних проводников сопротивление мало, у других велико; естественно опасаться, что на разных уров­ нях сопротивлений мостик обладает разной точностью. Поэтому дисперсии, полученные на разных проводниках, необходимо сравнить.

Данные измерений приведены в таблице 6.1. В этой

же таблице приведена часть расчетов для величин В и С.

течение длительного времени, мы должны проверять, ос­ тается ли при этом неизменным истинное значение изме­ ряемой величины. Другие примеры сравнения средних приводились в п. 5.4.

неральных совокупностей. Пусть генеральное среднее и генеральная дисперсия первой совокупности равны aj и

а?, второй — а2 и о\. Тогда среднее х первой выборки есть нормально распределенная случайная величина с парамет­

Более того, распределение величины б также является нор­ мальным в силу линейности нормального распределения (п. 3.3), поэтому Мб и D6 будут параметрами этого распре­ деления. Это позволяет дать оценку разности ах—а2 с помощью квантилей стандартного нормального распреде­ ления так, как это было сделано в п. 6.1. При доверитель­ ной вероятности 1—р мы получим двустороннюю довери­ тельную оценку: •

а , - а 2> х - у - и1_р у — + - ^

140 §6. ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Если высказывается гипотеза ах= а2 (нулевая гипотеза), то полученные оценки могут служить критериями проверки этой гипотезы. Действительно, если нулевая гипотеза вер­ на, то должны выполняться (с вероятностью 1—р) все за­ писанные выше неравенства, где вместо ах—а2 стоит нуль. Нарушение каждого такого неравенства имеет вероят­ ность р, в силу чего оно является значимым (неслучайным)

при двустороннем критерии или неравенство

при одностороннем критерии. Напомним, что односторон­ ний критерий применяется тогда, когда заранее известно,

что большему выборочному среднему (х или у) не может соответствовать меньшее генеральное среднее.

Указанные критерии просты и надежны, но они требуют знания а2 и а2, что не всегда возможно, особенно при обра­ ботке малых выборок. Если генеральные дисперсии а? и неизвестны и можно оперировать только выборочными дис­ персиями s? и s2, то приходится обращаться к распределе­ нию Стьюдента.

Предположим вначале, что а*=о2=о. Это равенство можно проверять по заданным st и s2 с помощью изложен­ ного в предыдущем пункте критерия Фишера. В этом слу­ чае генеральную дисперсию а2 можно оценивать средне­ взвешенной дисперсией

(Л| — l) s 2-f (/i2 — l ) s 2

пj + п2— 2

Число степеней свободы у s2 равно f= n x-\-n2—2. Дисперсия величины б имеет теперь простой вид

2 1