Статистические методы анализа и обработки наблюдений

142 §6. ОЦЕНКА р е з у л ь т а т о в НАБЛЮДЕНИЙ

при одностороннем критерии. Напомним, что в оценках

дительность некоторого завода (с установившимся произ­ водственным процессом) в дневную и ночную смены. Средне­

месячная (п= 30) выработка дневной смены х=62,7 тыс. руб., ночной смены #=62,4 тыс. руб., дисперсии соответственно

Различие между дисперсиями оказывается незначимым, поэтому можно применять /-критерий. Найдем средне­ взвешенную дисперсию

Мы видим, что х—#=0,3>0,15. Значит, при 5%-ном уровне значимости разницу между производительностями дневной и ночной смены нужно считать значимой.

Заметим, что мы здесь рассматривали односторонний кри­ терий, так как средние данные позволяют предполагать, что в ночную смену производительность ниже. Если бы мы не делали этого предположения и применили двусторонний критерий, то пришлось бы взять /О)975=2,00. Читателю не­ трудно убедиться, что и при двустороннем критерии рас­ хождение средних производительностей является значимым.

Рассмотрим теперь общий случай, когда генеральные дисперсии <з\ и о\ не равны между собой. Полученные выше точные критерии оказываются в этом случае непригодными. Существует несколько приближенных критериев, позволя­ ющих проверять гипотезу о равенстве генеральных средних

с той или иной точностью. Приведем один, наиболее рас­ пространенный и удобный в работе.

Пусть, как и прежде, s? и есть дисперсии первой и второй выборок и пусть первой дисперсии соответствуют !\= пх—1, а второй /2=/г2—1 степеней свободы. Вычислим отношения

Нулевая гипотеза ах=аг отклоняется, если окажется, что

\х—у \> Т Заметим, что сформулированный критерий является двусторонним и превращается в односторонний

при замене —■на р.

Рассмотрим в качестве примера результаты опытов, проделанных в начале нашего столетия английским физи­ ком Рэлеем. Он сравнивал вес одного и того же объема азота, полученного после тщательнейшей химической очистки из азотистых соединений (в дальнейшем обознача­ ется через х) и из воздуха (обозначается через у). Измере­ ния проводились при неизменных условиях (15° С и 760 мм pm. cm.), результаты измерений приведены в таб­

Таким образом, получается, что, несмотря на тщательнейшую очистку, азот воздуха почти на ^1 тяжелее азота,

полученного из соединений.

Величина 10,69 невелика по сравнению с самими х и у, поэтому можно предположить, что она связана с неточно­ стью измерений, с недостаточной очисткой азота и другими случайными причинами. Имея данные Рэлея, мы можем

проверить, действительно ли расхождение \х—у 1 слу­ чайно или оно значимо. В качестве уровня значимости возь­ мем самый низкий из имеющихся в таблице III Приложения, т. е. р = 0,001. Этот уровень позволяет считать значимыми (неслучайными) примерно в 50 раз меньше событий, чем общепринятый уровень 0,05. Благодаря такому выбору уровня значимости мы будем максимально застрахованы от ошибки первого рода (п. 5.3) — возможности отвергнуть гипотезу о равенстве средних, в то время как она верна.

и значит, \х—у\> Т Гипотезу о равенстве средних нужно отбросить (ее вероятность меньше р= 0,001).

Из проведенного сравнения средних вытекает, что рас­ хождение между весом азота из воздуха и из соединений не является случайным. Это заставило ученых более внима­ тельно исследовать азот, полученный из воздуха, и вскоре было показано, что в нем содержится небольшое количество газа, более тяжелого, чем азот,— аргона.

Нам осталось рассмотреть вопрос о сравнении несколь­ ких средних. Попарное сравнение здесь невозможно по тем же соображениям, что и при сравнении дисперсий (см. предыдущий пункт). Сравнение средних в целом являет­ ся довольно трудоемкой задачей. Мы будем его проводить лишь в предположении, что дисперсии соответствующих выборок незначимо отличаются друг от друга (в целом); сравнение этих дисперсий можно произвести по критерию Бартлета или Кохрана.

Обозначим сравниваемые средние через хи х2, . xk, соответствующие выборочные дисперсии — через sf, si, ..., s£. Числа степеней свободы обозначим через flt /2, ., fk (как обычно, = —1, где п{— объем соответствующей выборки). Всем выборкам, по условию, соответствует единая генеральная дисперсия а2; в качестве ее оценки можно взять средневзвешенную дисперсию

2fisf

i= 1

h ,

<=1

которой соответствует f степеней свободы.

Если справедлива нулевая гипотеза о равенстве всех генеральных средних, то в качестве оценки этого единого генерального среднего а можно взять общее среднее всех элементов, как бы объединенных в одну выборку; обозна­

чим это среднее через х. Для дисперсии о2 можно теперь дать

другую оценку,

/? _

s2 =

F(k—1, f), т е. при доверительной вероятности 1—р должна быть справедлива оценка

Из сказанного немедленно вытекает критерий сравне­ ния средних. А именно, на уровне значимости р гипотезу о равенстве генеральных средних в совокупности нужно отклонить, если

£> F i - P( k - U f ) .

6.5.Проверка однородности наблюдений. Одним из важ­ нейших условий правильного применения статистических оценок является отсутствие грубых ошибок при наблюде­ ниях. Поэтому все грубые ошибки должны быть выявлены

иисключены из рассмотрения в самом начале обработки наблюдений.

Единственным достаточно надежным способом выявле­ ния грубых ошибок является тщательный анализ условий самих испытаний. При этом наблюдения, проводившиеся в нарушенных условиях, должны отбрасываться, независимо от их результата. Например, если при проведении экспе­ римента, связанного с электричеством, в лаборатории на некоторое время был выключен ток, то весь эксперимент обязательно нужно проводить заново, хотя результат, быть может, не сильно отличается от предыдущих измерений. Точно так же отбрасываются результаты измерений на фотопластинках с поврежденной эмульсией и вообще на любых образцах с обнаруженным позднее дефектом.

На практике, однако, не всегда удается провести подоб­ ный анализ условий испытания. Чаще всего приходится иметь дело с окончательным цифровым материалом, в ко­ тором отдельные данные вызывают сомнение лишь своим значительным отклонением от остальных. При этом сама «значительность» отклонения во многом субъективна — зачастую приходится сталкиваться со случаями, когда эк­ спериментатор отбрасывает не понравившиеся ему наблю­ дения как ошибочные только потому, что они нарушают уже созданную им в воображении картину исследуемого

процесса.

Строгий научный анализ готового ряда наблюдений мо­ жет быть проведен лишь статистическим путем, причем должен быть достаточно хорошо известен характер распре­ деления наблюдаемой случайной величины. Мы, как и рсюду в настоящем параграфе, будем исходить из нормаль­

где и1_р— квантиль стандартного нормального распреде­ ления.

Таким образом, зная параметры а и а, мы можем даже единственное наблюдение х считать грубо ошибочным (на уровне значимости р), если

Анализ выборки из нескольких элементов будет уже более сложным. Его нельзя проводить, исследуя каждый элемент выборки отдельно по формуле (6.10), так как при увеличении объема выборки увеличивается вероятность больших отклонений. Это обстоятельство хорошо знакомо многим экспериментаторам: пока серия наблюдений не­ велика, отдельные наблюдения хорошо согласуются друг с другом; если же наблюдений становится много, появля­ ются и большие расхождения между ними.

Указанное обстоятельство хорошо объясняется и теоре­ тически. Действительно, если вероятность неравенства (6.9) для одного элемента выборки равна 1—р, то вероят­ ность того, что все п элементов выборки удовлетворяют тому же неравенству, есть вероятность совместного осуществле­ ния п независимых событий и потому (см. п. 1.3) равна (1—р)п. Как бы ни был мал уровень значимости р, всегда (1—р)"-*-9 при /г->-оо. А это значит, что при достаточно большом объеме выборки станет весьма вероятным появле­ ние наблюдений, не удовлетворяющих неравенству (6.9), т. е. отклоняющихся от а больше, чем на и1_ро.

Пусть теперь х — крайний элемент выборки объема п. Тогда, по выше доказанному, доверительной оценке (6.9) соответствует вероятность

(1—р)"«1—пр

(в силу малости р). Поэтому доверительной вероятности 1—р соответствует оценка

\х — а\ < и i-p/nG.

Отсюда и вытекает критерий проверки крайнего элемента:

элемент х считается грубо ошибочным (на уровне значи­ мости р), если

\х — а\ > ц,_р/„ о.

Одновременное знание обоих параметров а и а редко встречается в экспериментальной практике. Если известен один параметр а (например, по предыдущим «текущим изме­ рениям»), то в качестве второго параметра а можно взять

среднее х исследуемой выборки. При этом возникает такое же «смещение», как и при вычислении выборочной диспер­ сии (п. 4.4), поэтому вводится поправочный множитель

Крайний элемент х считается теперь несовместимым с остальными элементами выборки (грубо ошибочным), если выполняется неравенство

Перейдем к рассмотрению самого распространенного случая, когда неизвестны оба параметра, а и а. Одновремен­

ная замена этих параметров выборочными параметрами х и s заставляет отказаться от использования квантилей нор­ мального распределения.

Если х — крайний элемент выборки, по которой под­ считываются х и s, то величина

называемая максимальным относительным отклонением, имеет специальное распределение, которое зависит только от объема выборки п. В таблице IX Приложения приведены квантили хх_р этого распределения при различных п.

С помощью т-распределения можно получить критерий совместимости крайнего элемента с остальными, не исполь­ зующий никаких других сведений, кроме самой выборки. Согласно этому критерию крайнее значение х отбрасывается как грубо ошибочное (на уровне значимости р), если

Проиллюстрируем применение т-критерия на следующем примере. При восьмикратном исследовании стального бру­ ска на разрыв получено среднее значение предела прочности

х^62 кГ/мм2, причем s= l,3 . Минимальное значение 58,6, полученное при одном из наблюдений, вызывает сомнение. Для его проверки подсчитаем максимальное относительное отклонение

т. е. т > т 0)95. Следовательно, на уровне значимости р=0,05

заново вычислить х и s).

Иногда сомнение вызывают одновременно два или даже три элемента выборки. Соответствующая проверка может быть проведена следующим образом. Для каждого из сом­ нительных элементов вычисляется значение максимального

сомнительные элементы временно исключаются из рассмо­ трения. В оставшейся выборке имеется теперь только один сомнительный элемент. Вычисляя для этой уменьшенной

выборки заново х и s, мы вычисляем новое значение т для сомнительного элемента. Если это т превосходит табличное значение х1_р (в качестве п берется первоначальный объем выборки до всех отбрасываний), то сомнительное значе­ ние является ошибочным. Тем более ошибочными будут и остальные, ранее отброшенные сомнительные элементы.

Если «наименее сомнительный» элемент не оказался оши­ бочным, то его присоединяют к выборке и начинают иссле­ довать следующий по «сомнительности» элемент: снова вы­

числяют х, s, т и т. д.

Рассмотренные в этом пункте критерии однородности наблюдений можно применять не только для выявления грубых ошибок, но и для доказательства неслучайности не­ которого наблюдения. Например, исследуя урожайность нескольких сортов пшеницы и получив на некотором сорте максимальный' урожай, мы можем объединить все данные урожайности в одну выборку и исследовать максимальный урожай с помощью т-критерия. Если окажется, что мак-