Статистические методы анализа и обработки наблюдений

Этому событию благоприятствуют выпадения 4, 5 и 6 очков, т. е. три исхода из шести.

Согласно классическому определению, вероятность слу­ чайного события равна отношению числа исходов, благо­ приятствующих событию, к числу всех возможных исходов.

Основное отличие классического определения от сформули­ рованного в предыдущем пункте статистического в том, что здесь вероятность определяется до всяких испытаний, только исходя из структуры возникающих случайных собы­ тий (их разбиения на равновозможные исходы).

Рассмотрим несколько примеров вычисления классиче­ ской вероятности.

П р и м е р 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что на его верхней грани выпадет число очков, кратное трем?

Из шести исходов интересующему нас событию благо­ приятствуют два: выпадение 3 и 6 очков. Таким образом, вероятность события

21

р~ 6 — 3 ’

Пр и м е р 2. В закрытой урне лежат 10 шаров одина­ кового размера, но разного цвета — 3 белых и 7 черных. На ощупь вытаскивается один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

В данном испытании 10 исходов, соответствующих 10 шарам. Благоприятными будут лишь 7 исходов. Значит, искомая вероятность

7

^ 1 6 -

Задачи на вычисление классической вероятности оказы­ ваются иногда весьма сложными, так как трудно бывает под­ считать число равновозможных и благоприятных исходов. Да и само понятие равновозможности не всегда бывает оче­ видным. Некоторые задачи даже имеют несколько вполне правильных ответов, связанных с разными представлени­ ями о равновозможности (симметрии) событий.

Понятие классической вероятности охватывает далеко не все случайные события, возникающие при испытании. После того, как выделены исходы испытания, можно рассматривать

22 § i . СЛ УЧ АЙНЫЕ СОБЫТИЯ

лишь события, объединяющие в себе несколько исходов. Например, если при бросании кубика в качестве исходов взять выпадение четного и выпадение нечетного числа очков, то такое событие, как выпадение шести очков, вообще нельзя будет рассматривать. В связи с этим при выборе собы­ тий, считаемых в дальнейшем исходами, стараются их брать настолько «мелкими», чтобы охватить ими все необходимые события.

Отметим, что выбрать «самые мелкие» исходы, охваты­ вающие все события, невозможно. Любое, самое «мелкое» событие можно еще «измельчить», добавив к нему несколько новых подробностей. Например, при бросании кубика в ка­ честве «самых мелких» рассматриваются обычно выпадения отдельных граней. Эти исходы, однако, не смогут охватить такое событие: «кубик упал на ребро между гранями с двумя и тремя очками, прокатился еще через пять граней и остановился «шестеркой» вверх». Названное событие, как нетрудно заметить, является более мелким, чем просто вы­ падение «шестерки» — последняя может выпасть и при каких-нибудь других обстоятельствах.

Итак, прежде чем вычислять классическую вероятность, нужно твердо установить, какие события должны в даль­ нейшем играть роль исходов; это должно быть указано в условиях задачи. После того, как исходы испытания выделе­ ны, можно переходить к подсчету благоприятных для иссле­ дуемого события исходов.

Вычисление вероятности часто можно облегчить, если использовать связи между отдельными событиями. Говорят, что событие А распадается на частные случаи А г и А 2, если события А г и А 2 несовместны, и событие А осуществляется в том и только том случае/ когда осуществляется одно из событий А х или А 2. Например, вытаскивая наудачу из урны с черными и белыми шарами два шара, мы можем рассмат­ ривать в качестве случайного события А вытаскивание двух шаров одинакового цвета. Это событие распадается на част­ ные случаи: оба шара белые (Л^ или оба шара чер­ ные (Л2).

Пусть испытание имеет п исходов и событию А благо­ приятствуют т исходов. Если часть из этих т исходов, на­ пример mlt благоприятствует одному частному случаю Лъ то остальные т—т1 исходов должны благоприятствовать

другому частному случаю Л2. Поэтому

P ( A , ) = ^ , P ( At) = ^ i .

Но тогда

Р (Л 0 + Р ( Л2) = ^ + ^ = ^ = Р(Л).

Мы доказали утверждение: вероятность события А равна сумме вероятностей его частных случаев.

Число частных случаев может быть и больше двух, лишь бы все эти случаи были попарно несовместны. Например, все исходы, благоприятствующие событию А, будут его частными случаями. Сформулированное выше утверждение остается справедливым для любого числа случаев.

Если события А и В несовместны, то их совместное осу­ ществление есть невозможное событие и, значит, вероятность такого осуществления равна нулю. Если же события А и В могут произойти одновременно, то их совместное осущест­ вление есть некоторое новое случайное событие, которое обычно обозначается через АВ. Нетрудно заметить, что событие АВ не может осуществляться чаще, чем каждое из событий А и В в отдельности. Поэтому

Р (АВ) < Р (Л), Р (АВ) < Р (В).

Чтобы привести пример совместного осуществления событий, рассмотрим следующее испытание: из колоды игральных карт наудачу вытаскивается одна карта. Будем считать, что осуществляется событие А, если вытащенная карта имеет пиковую масть. Будем считать, что осущест­ вляется событие В, если вытащенная карта — дама. Тогда событие АВ заключается в том, что вытащена пиковая дама.

Возникает естественный вопрос, можно ли по вероятно­ стям событий А и В найти вероятность их совместного осу­ ществления АВ. Оказывается, это возможно не для всяких событий А и В.

Случайные события А и В называются независимыми, если появление или отсутствие одного из них никак не ска­ зывается на вероятности другого события. Независимыми будут, например, события Л и В в последнем примере, так как вероятность вытащить даму в каждой масти одинакова. Если бы в нашей колоде была лишняя дама пик, то событие

24 §1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

А (пиковая масть) было бы более благоприятным для выта­ скивания дамы, чем остальные масти, и значит, события А и В уже не были бы независимыми. Наилучший пример независимых событий дает повторение испытаний при одном и том же комплексе основных факторов — действительно, любые два события в разных испытаниях будут при этом независимыми (в связи с этим и сами испытания с одним и тем же комплексом основных факторов обычно называют независимыми). Так, независимыми будут выпадения герба

простоты можно считать, что эти события происходят в двух различных испытаниях с числом исходов п в каждом. Тогда

Р ( Л ) = ^ , Р ( В ) = ^ В

Поскольку испытания независимы, каждому исходу пер­ вого испытания может соответствовать любой из п исходов второго. Следовательно, общее число исходов двух испыта­ ний будет п-п= п2. Для того чтобы осуществилось событие АВ, нужно, чтобы в первом испытании осуществился один из тА исходов, благоприятствующих событию Л, а во вто­ ром испытании осуществился один из тв исходов, благо­ приятствующих событию В. При этом, как и прежде, каж­ дому из тА исходов первого испытания может соответ­ ствовать любой из тв исходов второго испытания. Таким образом, всего событию АВ благоприятствуют тА•тв исхо­ дов и, значит,

В результате мы доказали, что вероятность совместного осуществления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Найдем, например, вероятность того, что при двух бро­ саниях игрального кубика два раза выпадет 5 очков. Вероят­

ность одного выпадения «пятерки» р а в н а з н а ч и т , искомая

вероятность равна

Можно изучать совместное осуществление и для несколь­ ких событий. При этом нужно рассматривать события неза­ висимые в совокупности, т. е. вероятность каждого из этих событий не должна зависеть от появления или отсутствия остальных событий в любых сочетаниях. В этом случае сформулированное выше утверждение о вероятности сов­ местного осуществления независимых событий остается в силе.

Рассмотрим теперь пример, показывающий, как все най­ денные выше утверждения облегчают вычисление вероят­ ности сложного события.

П р и м е р 3. Одновременно брошены два игральных кубика. Какова вероятность, что общая сумма выпавших очков будет не меньше 11?

Разобьем заданное событие А на три частных случая: на первом кубике выпало 5 очков, на втором 6 (случай Лх),

Р(А) = Р(А,) + Р ( А 2) + Р ( А 3) = 1 = I .

Рассмотрим в заключение еще один вид связи между со­

бытиями. События А и А называются противоположными, если они являются частными случаями достоверного собы­

тия. Иными словами, события А и А противоположны, если одно из них появляется тогда и только тогда, когда другое отсутствует. Противоположными событиями являются, на­ пример, выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты, попадание и промах при стрельбе в цель, выпаде­ ние «шестерки» и выпадение числа очков меньше 6 при бро­ сании кубика. Мы видим, что фразы: «событие А не

произошло» и «произошло событие, противоположное со­ бытию А» означают абсолютно одно и то же.

Из определения противоположного события немедленно вытекает, что

Р(А) + Р ( А ) = 1.

Переход к противоположному событию нередко облегчает вычисление вероятности.

П р и м е р 4. Найти вероятность того, что при пяти под­ брасываниях монеты хотя бы один раз выпадет цифра.

Допустим, мы стали бы вычислять вероятность заданного события А непосредственно. Цифра может выпасть 1, 2, 3, 4 или 5 раз, и все это удовлетворяет условиям задачи. Кроме того, эти выпадения могут происходить в различных по порядку испытаниях и притом в разнообразных сочетаниях. Таким образом, событие А оказывается весьма сложным по своей структуре.

Рассмотрим теперь противоположное событие А. Оно состоит в том, что цифра не выпадет ни разу, т. е. все пять

раз подряд выпадет герб. Иначе говоря, событие А равно­ сильно совместному осуществлению пяти взаимно незави­

симых событий с вероятностью у каждое. Поэтому

р <*) = ( т ) ‘ = Я

Аотсюда уже нетрудно вычислить вероятность события А:

Р( Л ) = 1- Р ( Л ) = | .

1.4.Геометрическое определение вероятности. Класси­ ческое определение вероятности применимо лишь тогда, когда число всех равновозможных исходов конечно; в про­ тивном случае вероятность каждого такого исхода была бы равна нулю и по ним нельзя было определять вероятности сложных событий. Однако иногда удается и для бесконеч­ ного числа возможных событий использовать принцип «равновозможности», т. е. выделить такую характеристику допустимых случайных событий, которая указывала бы на одинаковые шансы событий произойти в одном и том же испытании.

Рассмотрим в качестве примера следующее испытание — в некотором квадрате случайным образом выбирается точка. Какова вероятность, что эта точка окажется внутри области

услучайной точки больше шансов оказаться в той области,

укоторой вообще «больше» точек, т. е. в области, имеющей

большую площадь. При равных же площадях шансы обла­ стей одинаковы. Иными словами, в качестве мерила «равновозможности» выступает здесь площадь.

Такое понятие равновозможности приводит к естествен­ ному определению вероятности того, что случайная точка попадет в область D (событие D):

р ( й ) = | .

где S D— площадь области D, S — площадь всего квадрата. Это определение вероятности называется геометрическим.

В рассматриваемом испытании каждому событию соот­ ветствует некоторая область. Это облегчает изучение свойств вероятности и различных связей между событиями. Напри­ мер, тот факт, что событие D распадается на частные случаи Dx и D2, геометрически соответствует тому, что область D распадается на две части Dx и D2 (рис. 2). При этом событию Dx соответствует попадание случайной точки в область D1( событию D2 — попадание в область D2. Несовместность со­ бытий означает, что соответствующие им области не пере­ секаются; совместное осуществление двух событий есть

попадание в пересечение соответствующих областей (рис. 3). Невозможному событию не соответствует ни одна область, достоверному событию соответствует весь квадрат. Отсюда ясно, что области, соответствующие двум 'противоположным событиям, не пересекаются и вместе заполняют весь квадрат (рис. 4).

Геометрическое определение вероятности является весь­ ма специфичным. Однако его можно использовать и при

решении задач с негеометрическим содержанием, если ис­ пользовать метод прямоугольных координат. Рассмотрим, например, следующую задачу, называемую обычно «задачей о встрече».

Два лица, А и В, условились встретиться в определенном месте между 7 и 8 часами вечера, причем тот, кто приходит первым, ждет другого 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если моменты их прихода случайны и независимы друг от друга?

Обозначим через х и у время прихода А и В в минутах (сверх 7 часов). Тогда условие их встречи запишется в виде

Будем рассматривать х и у как координаты точки на пло­ скости. Всему рассматриваемому часу будет тогда соответ­ ствовать квадрат со сторонами 60 (рис. 5). Точками «встречи» будут все точки области, заштрихованной на рис. 5, ибо только у точек этой области координаты удовлетворяют неравенству (1.1). Поэтому искомая вероятность может быть вычислена согласно геометрическому определению и равна

отношению площадей:

В первом случае основой испытания служит некоторый от­ резок, случайным событиям соответствуют части этого от­ резка, и вероятность вычисляет­

лении нулевую вероятность смело только невозможное

квадрата отрезок какой-нибудь прямой. Случайная точка вполне может попасть на этот отрезок и, следовательно, такое событие не является невозможным. Однако площадь отрезка равна нулю, т. е. вероятность этого события, сог­ ласно геометрическому определению, равна нулю. Таким образом, при геометрическом определении вероятности собы­ тия с нулевой вероятностью могут осуществляться. Пере­ ходя к противоположному событию, получим, что события с вероятностью 1 могут не быть достоверными.

Указанное свойство геометрической вероятности не про­ тиворечит общему статистическому определению вероят­ ности, данному в прошлом пункте. Действительно, согласно общему определению, частота приближается к вероятности при увеличении числа испытаний, но она не обязана в точ­ ности совпадать с вероятностью и, в частности, для событий с нулевой вероятностью частота может отличаться от нуля.