Статистические методы анализа и обработки наблюдений

г) находят квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений:

д) вычисляют дисперсии s* и sg по формулам

Проделав указанные вычисления, можно перейти к срав­ нению дисперсий s\ и sg. Если их различие оказывается не­

значимым, то получаем оценку генеральной дисперсии7

7 Е. И. Пустыльник

Дисперсионный анализ фактически представляет собой сравнение нескольких средних, о котором мы уже говорили в п. 6.4. Это сравнение проводится в целом и поэтому яв­ ляется лишь первым этапом исследования. Обнаружив, что уровни фактора А в целом значимо различаются, мы можем перейти к попарному сравнению уровней с помощью крите­ рия Стьюдента (см. п. 6.4). Так, в рассмотренном примере мы можем поставить вопрос, значимо ли различаются катали­ затор А 4 (дающий самый высокий выход) и следующий за ним катализатор А ь. Рекомендуем читателям самостоятельно проверить, что различие между А 4 и А ь значимо при р=0,05 и незначимо при р=0,025 (т. е., по существу, сомнительно).

Не всегда удается провести на каждом уровне фактора А одинаковое число наблюдений. При этом можно, конечно, ориентируясь на уровень с наименьшим числом повторных наблюдений, отбросить лишние наблюдения в остальных уровнях. Такое отбрасывание, однако, нежелательно, так как резко снизит точность проводимого анализа. Тем более, что однофакторный дисперсионный анализ с успехом можно проводить и при неравных столбцах (кстати, именно этот общий случай рассматривался в п. 6.4 при сравнении не­ скольких средних). Соответствующая схема вычислений лишь немногим отличается от случая равных столбцов.

Итак, пусть на уровне А ( было проведено п,- параллель-

4= 1

196 §8. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

SA

отношения —g- по критерию Фишера, исходя из fx= k—1, so

fz= N —k степеней свободы. Если это отношение незначимо, то получаем оценку генеральной дисперсии

имеющую N—1 степень свободы. Если же это отношение значимо, то вычисляем дисперсию фактора А по формуле

(k — 1) N

k — '( \4s i —SD-

N!- 2

8.3.Двухфакторный дисперсионный анализ. Дисперси­ онный анализ особенно эффективен при одновременном изу­ чении нескольких факторов. При классическом методе ис­ следования подобное изучение проводят, варьируя лишь один фактор, а остальные оставляя неизменными. В связи

сэтим затрачивается много времени, ибо для каждого фак­ тора проводится своя серия наблюдений, не используемая

вдальнейшем при изучении других факторов. Есть у такого способа и еще один недостаток — он не позволяет изучать взаимодействие факторов при одновременном их изменении.

Всех этих недостатков лишен дисперсионный анализ, при котором каждое наблюдение служит для одновременной оценки всех факторов и их взаимодействий. Особенно ценно то, что при этом можно зачастую не делать параллельных наблюдений, ограничиваясь лишь одним наблюдением для каждого сочетания уровней изучаемых факторов.

Полное описание многофакторного анализа занимает очень много места. С добавлением каждого нового фактора усложняются таблицы и формулы для расчетов. Эти таблицы и формулы имеются в специальной литературе по дисперси­ онному анализу (см. указатель в конце книги), к которой

мы и фтощлем читателя, нуждающегося в них. В настоящей

же книге мы ограничимся лишь рассмотрением случая двух факторов, раскрыв на его примере основные идеи дис­ персионного анализа *).

Итак, пусть изучаются одновременно два фактора А и В на уровнях А г, А 2, .... Ak и Вг, В2, .... Вт. Результаты на­ блюдений занесем в таблицу 8.3. Через X,- здесь обозначены

Т а б л и ц а 8.3

итоги данных по столбцам, через X) — по строкам. Через хi и х] обозначим средние по столбцам и строкам, т. е.

Посмотрим, из каких компонент складывается рассеи­ вание средних по строкам или по столбцам. Очевидно, на каждое такое рассеивание оказывает влияние лишь один из факторов А и В, так как все уровни второго фактора

усреднены. Так, рассеивание х{ (средние по столбцам) не

зависит от фактора В, рассеивание х) (средние по строкам) не зависит от фактора А. Кроме того, на всех рассеивани­ ях сказывается влияние фактора случайности с дисперсией

*) Об одном важном частном случае многофакторного диализа гдрорится в следующем пункту.

(8. 1)

где через л: обозначено среднее всех данных таблицы. Получившиеся равенства позволяют оценить дисперсии

факторов А и В, если будет известна оценка генеральной дисперсии наблюдений а2. Казалось бы, для оценки послед­ ней дисперсии нет никаких предпосылок, так как полностью отсутствуют параллельные наблюдения. И тем не менее, дисперсию о2 удается оценить, сравнивая рассеивание сред­ них с рассеиванием самих наблюдений.

Найдем дисперсию наблюдений по i'-му столбцу:

гп

(Xij x i)2-

/=1

Эта дисперсия, очевидно, возникла под влиянием фактора В и фактора случайности, поэтому sf^o^+ cr2. Равенство станет

более точным, если s2заменить средневзвешенной дисперсией по всем столбцам, т. е.

Полученная оценка содержит одновременно обе дисперсии, о2 и а2в . Ранее у нас была получена еще одна оценка, содер­

Полученное равенство дает оценку искомой дисперсии а2 через некоторую величину, зависящую от всех наблюдений-

- 8 . ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

После того как будут проделаны все необходимые вы­ числения, можно приступить к непосредственному анализу влияний факторов А и В. Для того чтобы влияние фактора А можно было признать значимым, нужно, чтобы s2A значимо

отличалось от sg; то же самое справедливо для фактора В и дисперсии s2 . Сравнение дисперсий, как обычно, прово-

пределения.

Допустим, что выбран уровень значимости р. Влияние фактора А признается значимым, если

-р

где в F-распределении берутся h = k—1, /2=(/г—1)(т—1) степеней свободы., Дисперсия фактора А оценивается в этом случае равенством

S2О

т

Аналогично, влияние фактора В считается значимым, если

1-Я»

где на этот раз берутся fi= m —1, /2= (fe— 1)(т—1) степеней свободы. Дисперсия фактора В оценивается при этом ра­ венством

S2О

аВ2

SA

Если — ^ :Fl _p, то влияние фактора А нужно признать

использовать для оценки генеральной дисперсии а2. Это приведет к равенству