Статистические методы анализа и обработки наблюдений

Еще лучшей оценкой будет средневзвешенная дисперсия

Для того чтобы выделить теперь дисперсию взаимодейст­ вия, найдем, в каких пропорциях входят огАВ и s2 в дис­

персию SQ. Дисперсия sjj соответствует рассеянию средних. х(у-, поэтому она складывается из дисперсии взаимодействия о2в и дисперсии случайности, которая для средних x{j

а2 равна — (см. п. 4.4). Таким образом,

Разумеется, эффект взаимодействия факторов А и В может оказаться незначимым. Для проверки этого состав­

ляют отношение —£■ и сравнивают его с табличным значе­

нием F1_p, где берутся fx = {k—1){т—1) и f2=mk(ti—1) степеней свободы.

Наличие параллельных наблюдений используется только для отделения эффекта взаимодействия от дисперсии слу­ чайности а2. Поэтому общая схема вычислений здесь лишь слегка дополняет ту схему, что приводилась выше. Вначале вычисляем сумму квадратов всех наблюдений

После этого отдельные наблюдения серий нам уже не нужны, и в таблицу можно занести только средние серий х(р так что получится вновь таблица 8.3. Над числами л:(;- проводятся теперь все вычисления прежней схемы, т. е. вычисляются Qi, Q2, Qз, Q4, а по ним дисперсии s2^, s2B и sg. Так же, как

описано выше, производится оценка значимости факторов А и В и вычисляются, в случае необходимости, дисперсии

правом углу записана общая сумма всех элементов:

Легко видеть, что в нашем примере k=3, т = 4.

Обработку полученной таблицы из средних ведем по всем правилам двухфакторного дисперсионного анализа

Найдем теперь дисперсию воспроизводимости

431,32 — 3-142.83 = 0,118

4-3-2

и совместную дисперсию воспроизводимости и взаимодей­ ствия

Чтобы проверить значимость эффекта взаимодействия, сравним дисперсии nSo=3-0,153=0,459 и s2= 0 ,118 по кри­ терию Фишера. Имеем:

ns- 0,459

_о _ _J__ — Q q s2 0,118

в то время как табличное значение FQf9bсо степенями свободы /i = 6, /2=24 равно 2,5. Таким образом, эффект взаимодейст­ вия факторов «опреснителя» и «лаборатории» оказывается значимым и оценивается дисперсией

Оценим теперь влияние факторов Л и Б по отдельности. Для этого находим

Сравнивая по критерию Фишера дисперсии s2A и sg, нахо­ дим, что

в то время как табличноезначение F0^ bсо степенями свободы /i= 2, /2=6 равно 5,1. Это значит, что влияние фактора А (различие опреснителей) надо признать незначимым. Тем более надо признать незначимым влияние фактора В (раз­ личие лабораторий), так как

Проведенный анализ показывает, что из всех факторов значимым является только фактор взаимодействия. Это значит, что лучший опреснитель можно выделить только для той или иной конкретной лаборатории, а в целом все опреснители одинаковы.

8.4. Планирование эксперимента при дисперсионном анализе,-Дисперсионный анализ тесно связан с соответст­ вующим' планированием эксперимента. Удачно спланирован­ ный эксперимент, выявляя все необходимые эффекты, ока­ зывается всегда либо более точным, либо менее трудоемким по сравнению с непродуманным экспериментом.

Если на результат эксперимента действуют одновременно несколько факторов, то наилучший эффект дает одновре­ менный дисперсионный анализ всех этих факторов (много­ факторный анализ). Можно, разумеется, проводить и по­ парное сравнение факторов, при котором все прочие факторы игнорируются. Однако такое построение эксперимента не позволяет выявить многие эффекты взаимодействий. Вдо­ бавок, на такое исследование уйдет больше времени, так как переходя к каждой новой паре факторов, мы должны все испытания начинать заново, тогда как при дисперсионном анализе любое испытание служит одновременно исследо­ ванию всех факторов.

Эксперимент, спланированный так, что в нем встре­ чаются все возможные сочетания уровней изучаемых фак­ торов, называется полным факторным экспериментом

(ПФЭ). Число испытаний при таком эксперименте равно произведению количеств уровней изучаемых факторов. Например, при исследовании трех факторов с 3, 5 и 6 уров­

нями соответственно, общее число испытаний при ПФЭ равно 3-5-6=90.

Методы дисперсионного анализа позволяют исследовать и такой случай, когда некоторые сочетания уровней про­ пущены. Такой эксперимент называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Планирование при ДФЭ приобретает особо важную роль, ибо пропущенные сочетания уровней не так-то просто нейтрализовать.

ДФЭ дают возможность при неизменном числе испытаний исследовать гораздо большее число факторов, чем ПФЭ. Разумеется, при этом часть информации теряется, однако при удачно спланированном ДФЭ теряется именно та ин­ формация, которая по тем или иным причинам в данный момент несущественна.

Особенно широко используются ДФЭ, в которых теряется лишь информация о взаимодействиях изучаемых факто^бв.^ Такой ДФЭ можно применять в тех случаях, когда эффрцтГ взаимодействий заведомо отсутствует или настолько мал, что его можно не учитывать. ДФЭ, не учитывающие взаимо­ действий, подробно изучались Фишером и Иэйтсом; мы в этом пункте рассмотрим лишь простейшие случаи.

Пусть проводится двухфакторный анализ, рассматри­ вавшийся в предыдущем пункте, причем число уровней для обоих факторов одинаково и равно k, т. е. таблица исходных данных (таблица 8.3) представляет собой квадрат. Эффектом взаимодействия мы не интересуемся, поэтому наблюдения при каждом сочетании уровней факторов А и В не дубли­ руются. Этот эксперимент является ПФЭ, число испытаний равно k2.

Попытаемся, не меняя числа испытаний, присоединить к этим факторам третий фактор С, также имеющий k уров­ ней. В результате получится ДФЭ; наша задача сплани­

так что сравнивать различные сочетания уровней факторов А и В для изучения этих факторов станет невозможно: скажется разница и в факторе С. Но ведь мы в предыдущем пункте изучали факторы Л и В не по отдельным сочетаниям уровней, а в целом — по строкам или столбцам. Каждая

А { и Bj, через X,- и X) — итоги по столбцам и строкам со­ ответственно, мы получим следующий порядок анализа:

а) находят сумму квадратов всех наблюдений:

б) находят сумму квадратов по столбцам, деленную на

число наблюдений в столбце:

k

i- 1

в) находят сумму квадратов итогов по строкам, делен­ ную на число наблюдений в строке:

k

<2з =4 1 > ; !; /= 1

г) находят квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений:

Все эти вычисления проводились и при обычном двух­ факторном анализе. Однако теперь, в связи с необходимо­ стью оценивать также фактор С, появляются и новые вы­ числения. Обозначим через сумму всех наблюдений, про­ водившихся при уровне Cv фактора С (независимо от того, какими при этом были уровни факторов Л и В). К пере­ численным выше этапам анализа добавляется еще один:

д) находят сумму квадратов итогов по уровням фактора С, деленную на число уровней:

V=1

Перейдем теперь к вычислению и оценке значимости дисперсий. Формулу для оценки дисперсии So, связанной со случайностью наблюдений (дисперсия воспроизводи­ мости), приведем, опуская несложный, но громоздкий

210 fi 8. ДИСПЕРСИОННЫ Й АНАЛИЗ

вывод:

„г Qг Н ~ — Q2 — Q3 —Q5.

0 (k — l)(k — 2)

число степеней свободы этой дисперсии равно (k—l)(fe—2). Отметим, что при наличии эффекта взаимодействия между факторами влияние взаимодействия войдет как составная часть в дисперсию sg.

После того как дисперсия sg вычислена, влияние факто­ ров А и В оценивается точно так же, как и при простом двухфакторном анализе — ведь влияние фактора С у нас полностью нейтрализовано. Это значит, что вычисляются

имеющие по k—1 степеней свободы. Если эти дисперсии значимо (по критерию Фишера) отличаются от дисперсии SQ, то действие факторов А и В оценивается дисперсиями

По этой же схеме оценивается и фактор С. А именно, вначале нужно вычислить дисперсию

При анализе вещества (или продукции) к латинскому квадрату прибегают чаще всего тогда, когда в исследуемом материале имеется неоднородность. В этом случае факторы A w В связаны с самим исследованием (например, два этапа анализа или две стадии обработки продукции), а в качестве третьего фактора С рассматривается неоднородность ма­ териала.

Анализ с помощью латинского квадрата требует, чтобы число уровней всех факторов было одинаковым. Этого всегда