Статистические методы анализа и обработки наблюдений

статочно большим и, значит, найти генеральную дисперсию с высокой степенью точности.

Знание генеральной дисперсии позволяет оценивать ге­ неральное среднее даже по одному наблюдению (пример такой оценки дан в конце п. 5.2). А именно, если при на­ блюдении над случайной величиной £ получено значение х0, то для генерального среднего а имеет место следующая

где «i_p/2— квантиль стандартного нормального распре­ деления, который можно найти из таблицы II Приложения. Например, при стандарте <т=4,5 и доверительной вероят­ ности 1—р = 0,98 значение x0= 142 даст оценку:

142—4,5x2,33<а<142 4-4,5-2,33,

откуда 131,5^а^152,5.

Если над случайной величиной £ проведено несколько наблюдений, то для оценки генерального среднего можно

использовать выборочное среднее х. Как следует из п. 3.2, это среднее также является случайной величиной с нормаль­ ным распределением. В п. 4.4 было показано, что матема­

тическое ожидание у величины х то же самое, что и у

Из этой оценки видно, в частности, что уменьшение дове­ рительного интервала обратно пропорционально корню

квадратному из числа наблюдений, т. е. если мы хотим умень­ шить возможную ошибку в два раза, мы должны число наблюдений увеличить в четыре раза.

В качестве примера оценим генеральное среднее а по генеральной дисперсии а2=0,16 и по трем наблюдениям

хх=7,2\ *2=7,8; х3=7,6. Здесь п= 3,

В проведенных рассуждениях мы пользовались тем, что х, как случайная величина, имеет нормальное распределе­

имеет стандартное нормальное распределение и с вероят­ ностью 1—р удовлетворяет неравенству

Подставляя в (6.3) значение и из формулы (6.2), мы вновь придем к оценке (6.1) генерального среднего а.

Как уже указывалось, генеральную дисперсию а2 нельзя найти из наблюдений, поэтому вместо нее обычно берут выборочную дисперсию s2. Это значит, что вместо величины и на самом деле рассматривается величина

При больших п дисперсия s2 мало отличается от о2 и

значит, величина / мало отличается от величины и. При малых же объемах выборок различие между / и и ока­ зывается весьма существенным; более того, распределение величины / уже не является нормальным.

Общие законы теории вероятностей позволяют вывести формулы, описывающие распределение величины /. Это распределение называется /-распределением или распреде­ лением Стьюдента *); оно зависит только от числа / сте­ пеней свободы, по которым подсчитана дисперсия s2. Если

дисперсия s2 и среднее х подсчитывались по одним и тем же наблюдениям, то f= n —1, где п — объем выборки.

Мы не будем приводить формулу плотности /-распре­ деления, слишком громоздкую и содержащую специальные

функции. Свойства этой плотности хорошо видны на гра­ фике; на рис. 21 приведены графики плотности /-распреде­ ления при различных значениях /. Они напоминают по форме плотность нормального распределения, но при /->+00 значительно медленнее сближаются с осью абсцисс. При /-> оо дисперсия s2->a2, поэтому распределение Стью­ дента сближается с нормальным; случай / = о о вообще со­ ответствует нормальному распределению. При малых же / распределение Стьюдента сильно отличается от нормального, в силу чего его роль особенно велика в так называемой микростатистике или статистике малых выборок.

*) Стьюдент— псевдоним английского статистика Госсета, от­ крывшего /-распределение в 1908 г.

124($6 ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Вдальнейшем, согласно общему правилу, через tp обозначаются квантили /-распределения. Это распределе­

ние симметрично относительно нуля, поэтому ip——tx- P- При доверительной вероятности 1—р для величины t получается доверительная оценка

Подставляя сюда выражение для t из формулы (6.4), полу­ чим неравенство

Полученная оценка очень похожа на оценку (6.1), по­ лученную ранее, только здесь о заменено на s, в связи с чем вместо их—р/2 приходится рассматривать tx- p/2-Значения tх_р/2 Для различных чисел степеней свободы / и уровней значимости р приведены в таблице III Приложения.

Распределение Стьюдента позволяет оценивать генераль­ ное среднее, когда генеральная дисперсия неизвестна. При этом число наблюдений может быть очень малым, даже равным двум. Конечно, скудость информации сказывается на результатах — доверительные границы получаются до­ вольно широкими. Поэтому везде, где только можно, нужно стараться увеличивать число степеней свободы у выборочной дисперсии, привлекая, в частности, «текущие измерения».

Сравним, например, две оценки генерального среднего

по выборочному среднему лг= 18,6, найденному по трем наблюдениям; в качестве доверительной вероятности возь­ мем 1—р=0,95. В обеих оценках будем использовать одну и ту же дисперсию 0,25, только вначале будем считать ее генеральной, а потом — выборочной, найденной по тем же трем наблюдениям. Если 0,25 — это генеральная диспер­ сия, то а=0,5, и используя нормальное распределение, по­ лучим доверительную оценку

или, после всех вычислений, 18,03 ^ а ^ 19,17

и нужно воспользоваться распределением Стьюдента, в

числений получаем доверительную оценку 1 7 ,3 6 ^ а ^ 19,84, которая значительно уступает оценке, полученной в пред­ положении, что известная нам дисперсия является генераль­ ной. Этот пример еще раз подчеркивает важность определе­ ния именно генеральной дисперсии для получения наиболее узких доверительных интервалов.

В некоторых задачах требуется найти одностороннюю доверительную оценку генерального среднего, т. е. оценку только сверху или только снизу. Такие оценки непосред­ ственно вытекают из общего определения квантилей. А имен­ но, при доверительной вероятности 1—р оценка для t сверху имеетвид t ^ l x_p, оценка снизу имеет вид t^ —t1_p.

Напомним, что в таблице III Приложения указаны квантили t 1—p/2для соответствующих уровней значимости р. Поэтому число tx_p нужно искать в столбце с вероят­ ностью 2р.

Рассмотрим следующий пример. При выплавке чугуна в качестве вредной примеси появляется сера. Шестикрат­ ный анализ показал, что в одной тонне выплавленного чу­

гуна содержится х=4 кг серы. Выборочный стандарт на­ блюдений^ (в подобных случаях он носит название ошибки воспроизводимости анализа) найден по тем же шести ре­ зультатам анализа и равен 0,3 кг. Необходимо найти воз­ можный верхний предел содержания серы при доверитель­ ной вероятности 1—р=0,95.