Механика композитных материалов 6 1980
..pdf= - j ^ - a 5 5 ( rt — 1 + 1 ) ; |
|
а н п |
1 = |
0С55 (^б7г1 + |
л — 1 ) ; |
a u n = |
— 2 а 44£; |
а 14п+ 1 = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
<Z24n = |
a 44; |
|
|
|
|
|
|
|||
= 0655(^ — л — 1 ) ; |
|
а 2 4 п 1 = |
— — осбббп1 ; |
a 24n+1 = |
— |
|
|
; |
|
||||||||
П—1= _ |
»55 |
|
|
, |
UUR5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ; |
a 3 4 n + 1 = — |
; |
в 4 4 п - 1 = 2 с б 5 5 ( * б п 1 - л + 1 ) ; |
а 4 4 п = 4 а 4 4 * ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
а„»+' = 2«55(П- 7 + 1); |
/ . ■ - - ± |
( l + £ ) ; |
|
|
|
( |
I _ |
" |
L ) |
, |
|
||||||
где |
£*o(Xi +Х2) |
|
|
Е*oih -X z) |
|
|
G13+ G23 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
«1з=ь |
|
|
|
« 2 3 |
— |
|
«44: |
|
|
|
|
|
|
||||
а55=‘ G23— G13 |
• |
л |
i2» = |
(n=il |
(1 = 0, 1,2); |
n |
1 |
( |
" |
= |
1 ) ; л |
= J |
|||||
|
|
|
’ |
n |
l l |
(n ^ i), |
10 |
(п^.1). |
|
|
|||||||
Для первой основной граничной задачи вместе с уравнениями |
(2.3) |
|
|
||||||||||||||
необходимо решать вариационное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
оо 2 я |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
р |
|
|
|
|
|
|
||
|
J J L |
р ( ^ |
LijUj J бМг^рС?0+ |
L |
L |
v |
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
a 0 г= 1 |
|
j= l |
|
nтг+2 + |
2 |
js* 1 n=0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
44 |
3s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
( X J Ц |
X J |
|
|
=0, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
г = 1 1 = 1 m = 7 i —2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Ain — множители Лагранжа; Wi=yp; Ц2=уе; |
u3= w0; u4= w2. Из |
|
|||||||||||||||
этого уравнения после интегрирования и приравнивания к нулю членов |
|
||||||||||||||||
при независимых вариациях 6АП*\ получаем систему линейных алгеб |
|
||||||||||||||||
раических уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
8 |
п + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
Z |
X |
|
H «< b "V + A<m‘ ijr m) = o |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 = 1 |
1 = 1 771= П — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i(n= 0, 1, . .. , |
p; |
«= 1,2........ s; /= 1 ,2 ,3,4; |
A r 2 = Ai_1= A 2°= 0) |
|
|
|
|||||||||||
Система уравнений (2.4) вместе с (2.3) является замкнутой, и ее по рядок (s + 1) (4р + 3). Коэффициенты bijimt системы алгебраических уравнений (2.4) из-за громоздкости не приведены.
3.Исследуем концентрацию напряжений возле свободного круго
вого отверстия при цилиндрическом изгибе {М\= М, М2 = 0). Точность решения задачи и сходимость метода исследовалис^ путем последова тельного увеличения количества удерживаемых членов в рядах реше ний (2.1). Удержание в рядах решений до 12 членов обеспечивает по грешность решения задачи менее 1 % по сравнению с последующими приближениями.
На рис. 1 представлено изменение коэффициентов концентрации Метах/Л4|р=а в зависимости от относительной толщины a/h при разных
значениях |
параметра ортотропии (Е\/Е2= 2 соответствуют кривые 1, |
|
1 2, 0,5 |
— 5) для v2i = 0,3; |
v3i = v 32 = 0,l; £ I/G I2 = 2,6; E\/E3=\', G23 = |
= Gi3; £'1/Gi3= 20 (сплошные |
линии), £i/G i3 = 60 (штриховые линии). |
|
3,5
На рис. 2 приведено распределение коэффициентов концентрации моментов MQ Memax/-M в зависимости от a/h для значений параметров V21 = 0,3; £i/G i3 = 2,6; G23= G I3; £ i/G 13 = 20; v3i = v 32 = 0,l; EJEz = 0 (сплош ные линии) и Е\/Ез= 5 (штриховые линии) при разных значениях па раметров EJE2 = 2 (/); 1 (2); 0,5 (3). Кривые 2 на рис. 1 и 2 соответ ствуют трансверсально-изотропному материалу и совпадают с резуль татами, полученными в работах [2, 6].
Приведенные графики позволяют сделать заключение о значитель ном влиянии на коэффициенты концентрации параметров анизотропии Е\/Е2, E\/G\3 и Е\/Е3. Следовательно, варьируя параметры армирования композитных материалов, можно создать рациональное распределение напряжений возле концентратора.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Пелех Б. Л., Махницкий Р. Н. Приближенные методы решения задач концен трации напряжений возле отверстий в ортотропных пластинках из композитных мате риалов. 2. Исследование концентрации напряжений возле кругового отверстия при растяжении пластинки, обладающей полярной ортотропией. — Механика композитных материалов, 1980, № 4, с. 647—650.
2. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев, 1973.
248с.
3. Гузь А. Н., Шнеренко К. И. О исследовании распределения напряжений возле
вырезов в армированных пластинах. — Докл. АН УССР. Сер. А, 1978, № 8,
с.698—701.
4.Пелех Б. Л., Лазько В. А., Махницкий Р. Н. Концентрация напряжений возле кругового отверстия в ортотропных пластинках с учетом деформации сдвига. — Прикл. механика, 1979, т. 15, № 6, с. 72—76.
5.Пелех Б. Л., Махницкий Р. Н. Приближенные методы решения задач концен трации напряжений возле отверстий в ортотропных пластинках из композитных ма териалов. 1. Обобщенные уравнения растяжения и изгиба пластинок из композитных материалов. — Механика композитных материалов, 1980, № 3, с. 463—467.
6.Пелех Б. Л., Лазько В. А. Изгиб слабо сопротивляющихся поперечным дефор мациям трансверсально-изотропных пластин с отверстиями. — В кн.: Композиционные материалы и новые конструкции. Киев, 1977, с. 65—74.
Институт прикладных проблем механики |
Поступило в редакцию 06.11.79 |
и математики АП Украинской ССР, Львов |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 6, с. 1041—1046
УДК 624.071:678.067+ 518.5
Р. Б. Рикарде
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ АРМИРОВАНИИ СТЕРЖНЯ, РАБОТАЮЩЕГО НА УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ
2\ ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ АРМИРОВАНИЯ
В работе [1] было предложено несколько конечных элементов балки Тимошенко и выведены матрицы жесткости, инкрементальной жесткости и масс для этих элементов. На примере решения задачи о собственных колебаниях получены оценки сходимости этих элементов. Для низшей частоты колебаний и, следовательно, для критической нагрузки сжатого стержня все рассмотренные элементы обладают хорошей для практиче ских расчетов сходимостью. Таким образом, при решении задач оптими зации будем использовать простейший элемент с четырьмя степенями свободы (элемент Т-4).
Рассмотрим две задачи оптимизации пространственно армирован ного стержня: задачу оптимизации сжатого силой Р стержня, теряю щего устойчивость, и задачу оптимизации стержня, работающего в ре жиме колебаний. Стержень имеет длину L, высоту h, ширину h, изго товлен из композитного материала с плотностью p= pa|x + pm(l — М-), где ра — п л о т н о с т ь армирующих волокон; рт — п л о т н о с т ь связующего; р, — объемный коэффициент армирования. Сформулируем следующую за дачу оптимизации:
G (x )^ m in |
(1) |
|
при ограничениях (в случае сжатого стержня) |
|
|
Р т{ х ) - Р ^ 0, |
<р(х)>0, |
(2) |
или при ограничениях (в случае колебаний) |
|
|
со* (х) —(о^О, |
ф(х)^0. |
(3) |
Здесь G (х) =pL/i2 — целевая функция — масса конструкции; Р*(х) — критическая сила, зависящая от параметров оптимизации х (их выбор будет дан ниже); Р — заданная сила; (о*(х) — низшая частота собст венных колебаний; со — заданная частота; ф(х) — совокупность геомет рических и структурных ограничений. Критическая сила в ограничении
(2) определяется методом конечного элемента как минимальное собст венное значение следующего уравнения:
K(x)u —XG(x)u = 0.
Здесь К, G — матрицы жесткости и инкрементальной жесткости всей конструкции; и — вектор обобщенных узловых перемещений; Я — пара метр нагрузки.
Минимальная частота собственных колебаний в ограничении (3) определяется как наименьшее собственное значение уравнения
К(х) и— со2М (х) и = 0.
Здесь М — матрица масс всей конструкции.
Рассмотрим далее выбор параметров оптимизации. В работе [2] ре шен ряд задач по выбору рационального пространственного армирова-
Сообщение 1 см. [li
ния для некоторых конструкций, работающих на устойчивость. Рассмот рены такие структуры армирования, при которых жесткость материала не зависит от координат. Однако качество конструкции (весовые харак теристики) могут быть улучшены путем создания такой пространствен ной структуры армирования, при которой усредненная жесткость мате риала зависит от координат. Ниже будут рассмотрены именно такие структуры. Примем, что пространственная структура армирования стержня образована следующими семействами волокон: волокнами, на правленными вдоль оси стержня х (их относительное количество 0), во
локнами, направленными под переменным углом ± 0 (х ) |
в плоскости хг |
|
(их относительное количество |
1/2(1 — 0), и волокнами, |
направленными |
под переменным углом ± 0 (х ) |
в плоскости ху (их относительное коли |
|
чество 1/2(1—0). Разбиваем стержень на N конечных элементов и при |
||
нимаем, что угол армирования |
в пределах элемента 0 = const и равен |
|
значению угла в середине конечного элемента. В этом случае имеем век тор проекта в виде
х= {Л ,е, Рь 02, •• Рлг}. |
(4) |
Задачу оптимизации с вектором оптимизируемых параметров (4) на зовем проектом 1. Для сравнения рассмотрим два проекта с постоянным
по длине углом армирования 0 —x = {/i, 0,0} |
(проект 2), |
x = {/i, 0} (про |
ект 3) и однонаправленный материал x = {/i} |
(проекты |
4 и 5). Компо |
ненты тензора жесткости Л0^ 6 пространственно армированного компо зита установим методом усреднения жесткостей [3]:
к
Л«Ртв= ^ <dhA {hf ^ ' l a^ H |
r n ^ \ а, р, Y, 6 = |
1, 2, 3; а', 0', у', б '= |
1, 2, 3. |
|
|
ft-i |
|
|
|
Здесь |
0А — интенсивность |
армирования k-ro направления (20А = 1); |
||
I а'а — |
направляющие косинусы; Л^'Р'^'б'— |
компоненты тензора |
жест |
|
кости пучка однонаправленных волокон с окружающей матрицей, кото рые являются функцией объемного содержания волокон р,, деформативных свойств матрицы и волокон. Значения компонент тензора жесткости однонаправленно армированного композита устанавливаем из решения пространственной задачи теории упругости методом конечного элемента по методике, изложенной в работе [4].
Рассмотрим задачи оптимизации (1) с ограничениями (2) или (3)
при следующих |
исходных данных: L =10 0 см; ра= рт = 1,6 |
г/см3; гра |
|
ничные условия |
шарнирного опирания ш= 0, у' = 0 (x = 0, L) |
или |
жест |
кого защемления |
w= 0; w' = 0; у = 0 (х = 0, L); материал балки — |
угле |
|
эпоксидный композит. Исходные характеристики однонаправленно ар мированного пучка волокон с окружающей матрицей (ось 3 направлена вдоль волокон, плоскость 1 ~ 2 является плоскостью изотропии транс версально-изотропного материала), полученные по методике работы [4],
следующие (для объемного коэффициента армирования |
р = 0,4): £ 3= |
|||
= 1,208 •106 кгс/см2; Е\= £ 2= 0,9 •105 кгс/см2; G\3= G23= 0,279 •105кгс/см2; |
||||
vi2= V2i = 0,393; V31 =V |
32= 0,308; |
vi3= V23= 0,023. |
Для объемного коэффи |
|
циента армирования |
р = 0,6: |
Е3= 1,803 •106 |
кгс/см2; |
£i = £ 2= 0,16X |
ХЮ 6 кгс/см2; Gi3= (j23= 0,468 •105 кгс/см2; V12= v2i = 0,285; v3i = V32= 0,289; vi3 = V23 = 0,026.
В табл. 1 представлены результаты оптимизации при ограничении на низшую частоту собственных колебаний в зависимости от величины заданной частоты при различных граничных условиях*. Балка была раз бита на 10 конечных элементов (JV = 10). Ввиду симметрии граничных условий рассматривалась только половина балки и к граничным усло виям добавлялись следующие: w' = 0; у = 0 (x = L/2). Соответствующие
Задача оптимизации решалась методом проектируемых градиентов по программе, составленной И. С. Адамович, которой автор выражает искреннюю благодарность.
необходимо применять конечные элементы плоской задачи теории упру, гости. Методика решения оптимизационной задачи сохраняется та жц
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Рикарде Р. Б. Об оптимальном пространственном армировании стержня, рабо тающего на устойчивость и колебания. 1. Конечные элементы балки Тимошенко. — Механика композитных материалов, 1980, № 4, с. 676—684.
2.Крегер А. Ф., Тетере Г А. Оптимизация структуры пространственно армирован ных композитов в задачах устойчивости. — Механика композитных материалов, 1979
№1. с. 79—85.
3.Крегер А. Ф., Мелбардис Ю. Г Определение деформируемости пространственно армированных композитов методом усреднения жесткостей. — Механика полимеров
1978, № 1, с. 3—8.
4. Рикарде Р. Б., Чате А. К. Упругие свойства композита с анизотропными волок нами. — Механика композитных материалов, 1980, № 1, с. 22—29.
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 2J.O1.80 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
УДК 624.074:678.067
С. О. Джанхотов, В. А. Киреев, Н. Т. Кулагин
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ПРОДОЛЬНО СЖАТЫХ СЛАБОКОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Вопросам устойчивости оболочек вращения из композитных мате риалов в случае нагружения их осевыми сжимающими усилиями уде ляется, значительное внимание. В основном, публикации отражают, как это следует из [1—4], теоретические исследования. В данной работе излагаются методика и результаты испытаний при осевом сжатии сла боконических стекло-, угле- и органопластиковых оболочек, а также сопоставляются опытные результаты с расчетами.
1. Было испытано 30 слабоконических круговых оболочек. Длина оболочек — 720 мм, диаметр большего основания — 645 мм, мень шего — 525 мм, угол конусности — 10° Две стеклопластиковые и две углепластиковые оболочки были выполнены 'трехслойными с заполни телем из пенопласта ППУ-305 толщиной 13— 14 мм (плотность 0,17— 0,22 г/см3). Остальные оболочки выполнены одинарными с толщиной стенки 1,3—9,0 мм. Они различались между собой схемой ориентации слоев и порядком их чередования по толщине стенки. Варианты намо ток стеклопластиковых оболочек имели следующие схемы ориентации согласно коду, приведенному в [5]:
I, II-1 — [5/90/ — 5/90/5/90/ — 5/90/5/90/—5/90/5]г ; 11-2 — [5/90/—5/90/5/ ± 45/5/90/—5/90/5/90] г; II1-3 — [5/90/—5/ ± 45/90/5/90/=+=45/ - 5/90/5] г .
Органопластиковые оболочки имели схему ориентации слоев [ ± 35/90] hs (* = 2, 3, 6, 9).
В стеклопластнковых оболочках в качестве армирующего наполнителя использо вали стеклоленту ЭДТ-10 ВОВ на основе стеклонити ВМПС — 7,2X1X2 — 270, в углепластиковых — ленту на основе жгута ВМН-4, а в органопластиковых — ленту на основе волокон СВМ. Связующим являлась смола ЭДТ-10.
Оболочки изготавливали намоткой, которую проводили на вертикальном намо точном станке ВНС-1М. Часть оболочек наматывали на переоборудованном токарном
станке ДИП-300. Намотку продольных |
слоев (0 и ±5°) и слоев с ориентацией ±45° |
осуществляли лентой шириной 20 мм. |
Кольцевые слон (90°) наматывали лентой ши |
риной 10 мм. Зазоры между кромками |
соседних лент, образующих продольные слон, |
и нх взаимный перехлест составляли |
не более 0,5 мм у большего основания обо |
лочки н 3—4 мм — у меньшего ее основания. Скорость вращения оправки при на мотке составляла 2—4 об/мин, а натяжение ленты — 80— 100 Н. Торцы оболочек усиливали путем намотки на длине 70 мм пяти дополнительных окружных слоев.
Трехслойные оболочки состояли из двух отдельно изготовленных одинарных обо лочек разного диаметра, имеющих схему ориентации слоев, близкую к продольнопоперечной; п образующих несущие слои, п пенопластового заполнителя, который по лучали путем вспенивания исходных компонентов в кольцевом зазоре между оболоч ками. Для обеспечения связи между несущими слоями и пенопластом стенки несущих слоев перед вспениванием покрывали клеем ВК-9. У торцов промежуток между
