Механика композитных материалов 2 1980

Рис. 4. Предельные поверхности в плоскости Oe—o z для стеклопластиковых труб с моткой волокон под углами ±55° (а), ±35° (б) и ±72,5° (в). О — эксперименталь

данные работ [7, 8].

3. В работах [7, 8] приведены обширные экспериментальные дань по прочности намоточных стеклопластиковых труб с полиэфирной мат цей под действием комбинации осевого усилия (растяжения или сжат] и внутреннего давления. Результаты, показанные на рис. 4, взяты работ [7, 8]. Теоретические прямые J, 2, 4 построены по уравнениям или (5), а прямая 3 — по уравнению (7). Отсутствие дополнительь данных по прочности под другими углами, например су*2(45) и а*2(0), позволяет определить независимо параметры а*2(а) и а*е(а), поэте обработка данных состояла в проведении предельных прямых 1, 2 i углом а* (6), через экспериментальные точки а*2(а), а*е(а) (а = 35; 72,5°). В первом приближении экспериментальные результаты удовл ворительно описываются предложенными простыми соотношениями. 1 ьцественно, что наибольшие значения разрушающих напряжений реа зуются при оптимальном отношении между напряжениями p = tg2< Ха*о(а)/а*2(а) (линия под углом arctg[3 проведена на рис. 4 штр пунктиром).

Авторы [7, 8] обработали свои результаты с помощью крите] Пуппо—Эвенсена и получили хорошее согласие, однако, по их собств ному мнению, этот критерий приводит к громоздким выкладкам, ньп не отражает характер разрушения, и эмпирические параметры пр посты, определенные для одной укладки, не могут быть ыспользовг для других укладок.

Предлагаемый в данной работе подход лишен указанных недост ков, хотя и не обеспечивает такой точности описания экспериментов, торую можно достичь, подбирая должным образом параметры крите] Пуппо—Эвенсена (или других инвариантных критериев).

4. Рассмотрим схему оценки прочности композитной трубы с нам кой волокон под углами ± а при кручении, когда элемент материала п вергается чистому сдвигу (рис. 5). Действующие касательные напря; ння т можно заменить силами Pi = 2т/sin а и Р2 = 2т/cos а, прыложеннь к вершинам ромба, состоящего из волокон двух семейств / и 2, ы напр ленными перпендикулярно друг другу, как показано на рис. 5. Раск дывая силы Pi и Р2 вдоль волокон первого и второго семейств, мы уб даемся, что эти силы не вызывают «искажения» решетки, т. е. повор волокон и изменения угла а. Поэтому добавление кручения не вно

22-1

изменения в баланс энергии, приведенный в работе [2] для вывода уравнения (1). Под действием усилий, направленных вдоль во­ локон, может происходить их укорочение или удлинение и параллельный сдвиг слоев первого семейства относительно второго. Считаем, что волокна достаточно жесткие и их удлинения не существенны. При смеще­ нии узлов на А/ работа внешних сил равна

Y 4т/Д/, и она расходуется на деформирова­

ние волокон (которым мы в силу жесткости волокон пренебрегаем) и на изменение пло­

щади ромба за счет сдвига слоев. Изменение площади параллелограмма при смещении стороны равно, как нетрудно подсчитать, All sin 2а. Если обозначить удельную работу смещения слоев на единицу площади S и написать равенство работы сил Pi и Р2 и работы по изменению площади ромба, то получим соотношение т = 5 sin 2а (5 имеет размерность напря­ жения). Предельное напряжение т соответствует критическому значению параметра 5. Отметим, что в работе [3] при обработке данных по проч­ ности при кручении стекло- и углепластиковых труб была из других со­ ображений получена такая же зависимость прочности от угла намотки волокон:

На основании простых соотношений (5) и (8) можно указать угол а* оптимальной (равнопрочной) укладки волокон по схеме ± а для трубы, подверженной комбинации внутреннего давления, осевой силы и круче­ ния. Считаем действие касательных и нормальных напряжений независи­ мым, поэтому условие равнопрочности означает одновременное достиже­ ние критического искажения решетки и сдвига слоев, т. е. одновремен­ ное выполнение условий (5) и (8):

данных отношений между напряжениями в трубе (3 = ae/az и т/ae, опреде­ ленных условиями нагружения, нетрудно из (9) определить оптималь­ ный угол намотки а*. Например, при a*z(45) = a*e(45) ит*(45) = 720*z(45)

няется. Удовлетворить условиям (6) и (9) одновременно можно лишь введением третьего семейства волокон.

5. Уравнения (1), (8) выведены при условии линейного поведения материала и, строго говоря, справедливы лишь для оценки предела пропорциональности при дефор­ мировании труб, которое может перед полным разрушением быть существенно нелиней­ ным. Однако вывод в некоторых случаях можно повторить и для нелинейного упрочне­ ния. При одноосном растяжении ромбического элемента (см. рис. 1) растягивающая сила, приложенная к вершине ромба, равна P = 2 o l sin а, смещение вершины 6 = /Aasina. Примем степенную связь P n = k 16. Работа приложенной силы равна:

Коэффициент пропорциональности с* имеет размерность скорости, этому с* — характерная скорость волн (см. п. 3). Как следует из (1. уравнения для s нелинейные. Нелинейное уравнение (1.2) при помо специальной замены приводится к линейному уравнению только в ча ном случае, когда направление производящего вектора s, определ* щего направление движения волн,

постоянно — е = е° = const.

В самом деле, перейдем в общем случае от s к временной волное функции ф4 по формуле

Из соотношений (1.5) следует вывод, что если направление произво, щей вектор-функции s не постоянно, то квантовое уравнение (1.5) временной функции ф* нелинейно. При постоянстве направления s ур нение (1.5) перепишется так:

N

2.Предельный переход. Получим уравнения, в которые перехо

соотношения (1.5) или (1.2) при предельном переходе 0. Для эт вектор s представим в виде разложения в формальный ряд по степе! fit/i:

s ~ So+ (■ f')Si+(^r) S2+

Подставим ряд (2.1) в (1.2) и приравняем коэффициенты при одинг вых степенях fit. Первые два уравнения будут иметь вид:

Уравнение (2.2) представляет собой запись неквантового уравнения j жения волн [1] в форме Якоби—Гамильтона. Преобразуем уравне

(2.3). Ограничиваясь в (2.1) двумя слагаемыми, при помощи (1.6) най­ дем р — плотность (в конфигурационном пространстве времен) вероят­ ности нахождения волн в точке х в моменты tj (/= 1 ,2 ,..., N) :

Здесь Si — модуль вектора Sj. Обозначим через е0 и ei направляющие единичные векторы s0 и s f

2p- J r s,=^ ei_p(1_lnpo)^ r ei-

Подстановка (2.6) в (2.3) с учетом равенств [1] Ij= ds = p.jV^дает уравнение непрерывности с правой частью для вектора QI:

3. Свободная мощная импульс-поверхность. В качестве примера рас­ смотрим импульс-поверхность, наделенную волновыми свойствами, рас­ пространяющуюся в направлении е0 оси х без накачки Ut= 0 и обладаю­ щую положительной энергией (историей полной энергии) £*>>0 в точке х. По аналогии с гипотезой де Бройля в квантовой механике предполо­ жим, что свободному движению импульс-поверхности соответствует плоская волна с волновым числом k и частотой ю. Для волны длиной к, распространяющейся в однородной среде,

Здесь *F*(f) — функция только t. Подставим (3.1) в (1.6). При однород­ ной накачке Ot = Ut (t)е°е° получим уравнение для 4яt(t):

d2y¥t(t)

где р — постоянная сопротивления движению волны. Для волны без на­ качки (3.2) дает решение для Ч'Д/):

£ = 0. Из (3.3) вытекает, что

2p|£f|,/ _

(3.4)

Пг

есть частота со. Из второго соотношения (3.1) следует формула для в< нового числа /г = 2лД:

Формулы (3.5), (3.7) аналогичны формулам де Бройля в квантов механике (со = Е/й, k = p/ii). Из (3.4) и второго равенства (3.1) след} формула для сопротивления движению р, свободной плоской воли p,=#fA,co2/4jt.

При помощи (3.5) — (3.7) получаем формулу для фазовой скорое уфплоской волны иф= со/& = 2|л//. Но из [1] следует, что скорость v и пульс-поверхности (не наделенной волновыми свойствами, рассмат^ ваемой классически) равна v = \i/I. Отсюда уф= 2у.

Фазовая скорость распространения плоской волны в два раза болы скорости распространения свободной импульс-поверхности. В квантов механике фазовая скорость распространения плоской волны в два ра меньше скорости частицы, обладающей волновыми свойствами [2, с. 1 Поэтому длина волны будет иметь вид:

Подстановка связи fit ей , (3.8) во второе равенство (3.1) дает связь i тории энергии E t с энергией Е = а>й, переносимой плоской волной:

С другой стороны, история энергии одной импульс-поверхности совг дает с энергией, переносимой волной Et = E. При неквантовом рассш рении [1] это соотношение для одной импульс-поверхности удовлетво^ ется за счет выбора в качестве объема V* пространственной ячей характерного объема, занимаемого слоем одной импульс-поверхнос' Учитывая (3.9) и то, что E t= E, а иф= 2и, находим: с* = уф. Отсюда noj чается связь fit с постоянной й: 'Ht = vipfi.

Заметим, что квантовую импульс-поверхность, наделенную вол! выми свойствами, нельзя трактовать классически. Вероятность обна{ жить волну (3.1), (3.3) при £ = 0 не зависит от х и t. Свободные мощи импульс-поверхности с равной вероятностью могут быть обнаружены любом месте и в любое время.

4. Захват в виде ямы. Рассмотрим две волны, движущиеся вдоль с х. Пусть первая волна может захватывать вторую. Простейший вид хвата будем моделировать так. Имеется скачок истории энергии накач Ut, равный Uо (глубина ямы). Этот скачок можно испытать, если волны в точку х приходят с характерной задержкой по времени /0= соп Кроме того, волны отталкиваются при бесконечно малых задержк (XF< = 0 при t = 0, состояния отрицательной четности). В уравнении (1 примем для второй волны:

где t — время задержки второго импульса относительно первого; fo

Поэтому в (4.4) т|п будет иметь смысл координат т] пересечения крив! (4.5) с окружностью, задаваемой вторым равенством (4.3).

Если захватывающая волна является очень мощной (UQ^> |£*|), для бесконечно глубокой ямы UQ= OO и

где /г<+) — положительная четность; «Н — отрицательная.

Плотность вероятности обнаружения волны в разные моменты вр мени, отсчитываемые от стенок ямы, разная для разных времен. Напр мер, при п = 2 волна не может быть обнаружена в момент t = t0f2, соотве ствующий середине ямы, но одинаково часто бывает во времена, один ково отстоящие (ранние и поздние) от этого момента. В классическс представлении об импульс-поверхности ее пребывание в яме во време! равновероятно.

Заметим, что в слоистом композите процессы во внешней среде каждого слоя могут быть моделированы первой волной. Тогда проце отражения волны от границ очень тонкого слоя может быть изучен п добным образом. Динамика отражения в адгезионном слое также укл дывается в методику настоящего пункта.

5. Преодоление волнового барьера. Пусть история накачки имеет BI

нению с барьером; t0 — время задержки, когда барьер начинает действ вать на импульс-поверхность. В качестве барьера может быть неподвю ный слой компонента композита или ранняя широкая импульс-повер ность. В [1] при использовании волновых представлений для импуль поверхностей были получены детерминированные коэффициенты отраж ния и пропускания от границ компонентов композита. Из уравнений дв жения [1] импульс-поверхностей следует, что при накачке (5.1) для и] пульса с энергией E t> U 0 он пройдет сквозь барьер. При вхождении ш

(5.1) вытекает, что всегда имеется некоторая вероятность частичного о ражения от барьера и частичного прохождения через барьер.

переходе через значения ^ = 0 и t= t0. Пусть А, В, С являются соответс венно' амплитудами падающей, отраженной и прошедшей волн. Тог; коэффициенты отражения R и прохождения D определяются та

R = B2IA2; D = C2fA2; R + D = 1.

Учтем, что решения (3.2), (5.1) для плоских импульс-поверхност< получаются из решения уравнений квантовой механики в одномернс случае прохождения частицы через потенциальный барьер [2, с. 101] заменой ф(л:), х, Е , U(x), И, массы т, k соответственно на W t(t), t, L Ut{t), Ht, ц, со. При E t< .U Qполучается приближенное значение D:

to