Механика композитных материалов 2 1980

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 2, с. 277_280

УДК 539.3:624.074.4

Б. Л. Пелех, Б. М. Дивеев

НЕКОТОРЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

1 . ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

Для получения динамических характеристик (спектра собственных частот, критериев устойчивости, передаточных функций) оболочечных элементов конструкций применяются некоторые упрощающие предполо­ жения, позволяющие свести трехмерные уравнения теории упругости к двухмерным. Одним из этих предположений является известный способ принятия некоторых кинематических гипотез.

В данной работе на основании аппроксимации перемещений опреде­ ленным образом выбранными функциями достигается точное удовлетво­ рение граничных условий на лицевых поверхностях тонкостенного эле­ мента и учет сдвиговых эффектов и обжатия. Разрешающие уравнения записаны для случая установившихся гармонических колебаний и дают возможность получить передаточные функции для рассматриваемых элементов конструкций, хотя возможно записать сведенные к срединной поверхности разрешающие уравнения и в общем случае произвольной динамической нагрузки.

1. Исходные соотношения. Рассмотрим установившиеся колебания слоистого тонкостенного элемента [1]. Как обычно [2], введем ортогональ­ ную криволинейную систему координат а ь аг, аз, где координатная плоскость аз = 0 совпадает со срединной поверхностью оболочечного эле­ мента; оч, аг совпадают с направлениями главных кривизн.

Будем считать, что элемент состоит из п слоев, лицевые поверхности которых не обязательно совпадают с координатными поверхностями аз = const, но каждый из этих слоев будем считать достаточно протяжен­ ным в направлении координат аь аг по сравнению с направлением аз, материал каждого слоя является вязкоупругим и характеризуется об­ щим законом наследственной теории упругости [3]

жения; все — в k -м слое. Так как рассматриваются установившиеся ко­ лебания, то величины Eijs№ будут комплексными дробно-рациональ­

Как известно, режим установившихся колебаний является тем случаем, когда решение вязкоупругой задачи сводится к нахождению решения линейно-упругой задачи с комплексными коэффициентами EijS№- По­ этому в дальнейшем будем решать задачу линейной теории упругости с

определяющими соотношениями (1.2).

Рассмотрим заданный тонкостенный элемент, на поверхности кото­ рого заданы гармонические и синфазные возмущения А (5)егш{. В общем

случае А (S ) — это векторная величина, компоненты которой могут быть как перемещения, так и напряжения. Допускаются и смешанные гранич­ ные условия: например иа,, , о аз или ий1 , т , т,Хз Для всего пакета примем следующие гипотезы [4]:

wa wa °+ ! а з + wa 2аз2-Ь ?аз3; 1=1,2; маз = waj°+ Иа^аз-Н иаз2аз2. (1.3)

Распоряжаясь коэффициентами иаи а 2<г и иаз *-2, точно удовлетворим граничным условиям на лицевых поверхностях элемента. При задании перемещений при a 3=±/i шесть величин иа.2, . .. , иЛл2 получим из шести условий и а ./а з= ± h = A i±. При задании напряжений целесообразно пере­

писать (1.3) в следующем виде:

Hi = Мг° + ^г'о£з+ Щ2(аз2 — h2) + и^аз(аз2 — h2) ; М3 = Цз°+ Цз'аз + Цз2аз2. (1.4)

Так как направление главных осей ортотропии в общем случае не совпа­ дает с направлениями координатных осей, то выражения для поверх­ ностных напряжений будут:

Поскольку в разложения для <?ц, е2%, е \ъ входят производные только по касательным направлениям, а коэффициенты Wi,22,3 при а 3= ±Я исчезают вследствие (1.4), то (1.5) и условия а 3з ( а 3) / а з = ± к = о± дают систему двух уравнений для нахождения двух величин W31, w32. Величины щ2, и? (i= 1,2) находим из граничных условий Тгз(±^) =Тгз±, что дает систему четырех линейных уравнений для нахождения четырех неизвестных. Вы­ ражения для перемещений после указанных преобразований будут:

Щ— Li0(u\0 .. Ц30) -ЬД1( ... ) аз + Тг2аз2 + ^г3обз31 ^з— ^з°(- ••) +^з'<^з + Ьз2<хз-.

намического равновесия тонкостенного элемента будем исходить из ва­ риационного принципа Гамильтона—Остроградского:

Выражения для вариации потенциальной U и кинетической К энергии преобразуем, воспользовавшись символикой тензорного анализа:

В формуле (2.4), используя (1.6) и (1.7), перейдем от объемного ин­ теграла к интегралу по срединной поверхности. В результате получим:

В интеграле по боковой поверхности элемента все величины также све­ дены к срединной линии — линии пересечения боковой поверхности со срединной. Считаем, что боковая поверхность — это линейчатая поверх­ ность, перпендикулярная срединной поверхности. Если обозначить:

Ri~——•А2Тцг^гР~^~ А{Г211с.1 — А1Л27’3/ге<+Л1Л2[ (1 +k\h) (1 +k2h) P2p h l+

где Li‘(6u) выражаются формулами (1.7). Преобразуем поверхностный

Подставляя (2.6) и (2.7) и приравнивая нулю члены при независимых вариациях, получим уравнения динамического равновесия и естествен­ ные граничные условия для рассматриваемого элемента:

Соотношения (2.8) и (2.9) при соответствующей специализации выраже­ ний (1.6) дают возможность определять динамические характеристики (передаточные функции) тонкостенных элементов конструкций при раз­ личных граничных условиях как на боковых, так и на лицевых поверх­ ностях.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Болотин В. В. О рассеянии энергии при колебаниях конструкций из армирован­

ных полимеров. — Докл. науч.-техи. конф. Московск. энергет. ин-та, 1967, с. 9—25.

2.Пелех Б. Л. Обобщенная теория оболочек. Киев, 1978. 159 с.

3.Работное 10. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977. 384 с.

4.Шереметьев М. П., Пелех Б. Л. К построению уточненной теории пластин. Инж. журн., 1964, т. 4, вып. 3, с. 504—510.

Р*

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 2, с. 281—285

УДК 539.3:624.074.4

И.Ю. Бабич, Л. В. Дериглазов, И. И. Чернушенко

ОВЛИЯНИИ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

Вопросам устойчивости элементов конструкций, выполненных из композитных материалов, посвящены исследования как в рамках уточ­ ненных (типа Тимошенко) прикладных теорий, так и в трехмерной по­ становке. В работах [1—4] и ряде других на основе трехмерной линеари­ зированной теории рассмотрены некоторые общие вопросы, а также ис­ следована устойчивость деформирования армированных материалов и элементов конструкций (стержней, пластин и цилиндрических оболочек), выполненных из этих материалов. Последовательное применение трех­ мерных уравнений дает возможность обоснованно подойти к созданию теории и методов расчета устойчивости деформирования элементов кон­ струкций из композитных материалов. Кроме того, решения задач на ос­ нове трехмерных уравнений являются эталонными при построении ин­ женерных методов расчета и позволяют получить оценки точности, а также определить области применимости классических и уточненных прикладных теорий устойчивости. Применяя указанный подход, удается в точной постановке исследовать влияние механических свойств мате­ риала на величины критических нагрузок, а также сформулировать ре­ комендации для инженерных методов расчета. Полученные таким обра­ зом конкретные результаты можно также использовать для оптимиза­ ции структуры пространственно армированных композитов в задачах ус­ тойчивости элементов конструкций [5].

Ниже рассмотрим устойчивость сферической оболочки толщины 2h и радиусом срединной поверхности R, находящейся под действием равно­ мерного распределенного наружного давления q.

Трехмерные статические линеаризированные уравнения и граничные условия в случае второго варианта теории малых докритических дефор­ маций (удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей, а начальное состояние определяется по геометрически линейной теории) имеют вид:

V i {oim + ooinV niil")=0\ (1) Niio^' + o^VnU ”1) |Я1 = Р т. (2)

Соотношения упругости для ортотропного тела примем в виде:

Будем предполагать, что материал оболочки является трансверсально­ изотропным относительно поверхностей (0, <р). Тогда имеют место ра­ венства

Ограничимся случаем осесимметричных деформаций. Докритическое на­ пряженное состояние в рассматриваемом случае определяется следую­ щим образом [6]:

G12/^1=0,25 в случае, когда е= 0,005 (кривая У); 0,015 (2); 0,025 (5). Рис. 3 иллюстрирует зависимость безразмерного параметра q*\ от G\2/E 1 при £/£i = 5,0 для различных значений е. Кривые / —5 — соответствуют значениям параметра е= 0,005, 0,010, 0,015, 0,020, 0,025. На всех рисун­ ках V12= 0,2; V23= 0,3.

Таким образом, гипотеза Кирхгофа—Лява вносит существенные по­ грешности при расчете на устойчивость сферических оболочек, выпол­ ненных из композитных материалов. Для стеклопластиковых оболочек ( G i 2 / £ i ^ 0 , 0 5 ) эти погрешности могут превышать 25% (при е = 0,025). Для оболочек, выполненных из композитных материалов с более жест­ кими и прочными волокнами (боропластик, углепластик и др.), наиболее часто встречающаяся конструкционная специфическая особенность (сла­ бое сопротивление сдвигу) еще более усугубляется, а погрешности гипо­ тезы Кирхгофа—Лява существенно увеличиваются. Погрешности же уточненной Теории [7] для распространенных диапазонов изменений механических характеристик материала и геометрического параметра е не превышают 10%.

прикладных теории в задачах устойчивости при осевом сжатии цилиндрических оболо­ чек, выполненных из материалов с малой сдвиговой жесткостью. — Механика полиме­

ров, 1970, № 1, с. 141 — 143.

3. Бабич И. 10., Гузь А. Н. К теории устойчивости сжимаемых и несжимаемых

сред. — Механика полимеров, 1972, № 2, с. 267—275.

4. Бабич И. 10., Гузь А. И., Чернушенко И. И., Ш ульга Я. А. Об оценке точности

теорий устойчивости цилиндрических оболочек при внешнем давлении. — Прнкл. меха­

ника, 1974, т. 10, № 10, с. 16—21.

5. Крегерс А. Ф„ Тетере Г А. Оптимизация структуры пространственного армирова­

ния композитов в задачах устойчивости. — Механика композитных материалов, 1979,

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, N° 2, с. 286—290

УДК 539.3:624.074.4

В.А. Антипов

ОВЛИЯНИИ ЖЕСТКОСТИ КОМПЕНСАЦИОННОГО СЛОЯ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

При изготовлении композитных оболочек с большой толщиной стенки возникает проблема борьбы с растрескиванием от усадочных напряже­ ний. Одним из способов избежать растрескивания является введение компенсационного слоя из податливого материала. Наличие этого слоя, естественно, должно сказываться на распределении внутренних усилий в конструкции и на ее напряженном состоянии.

Для оценки этого влияния рассмотрим задачу об изгибе длинной ци­ линдрической оболочки под нагрузкой, равномерно распределенной по круговому сечению. Принимаем, что стенка оболочки состоит из двух слоев одинаковой толщины (6/2), между которыми расположен компен­ сационный слой с толщиной 6К, причем 6К«С6. Решение этой задачи, оче­ видно, сводится к решению задачи об изгибе бесконечно длинной состав­ ной двухслойной балки единичной ширины b = 1, лежащей на упругом ос­ новании и загруженной сосредоточенной силой Р. Высота балки равна

£6

толщине оболочки 6. Коэффициент упругого основания k = —z~, где г —

радиус оболочки, Е — модуль нормальной упругости материала. Счи­ таем, что компенсационный слой работает только при сдвиге.

Дифференциальное уравнение изгиба составной балки имеет вид [1]:

сдвига материала компенсационного слоя); П — приведенная площадь

(Q=-~hn(n + 1), где /г — толщина слоя, п — число слоев; в рассматривае­

мом случае п = 2, h = 0,56, П = 6); М — изгибающий момент в каждом сечении балки. Поскольку q = —ky, дифференциальное уравнение (1) примет вид:

Приняв начало координат в точке приложения силы Р, имеем сле­