Системы управления исполнительными механизмами

а передаточная функция по ошибке

Рис. 2.4. Структурная схема замкнутого контура регулирования

Как следует из формулы (2.1), ошибка регулирования будет стремиться к нулю при X = const, если W1 p W2 p , что

предполагает реализацию бесконечно большого усиления в устройстве управления и может привести к неустойчивости системы. Кроме того, реальные динамические звенья обладают конечными коэффициентами усиления, что приводит к возникновению нену-

левой статической ошибки регулирования. Такие системы принято называть статическими.

Между тем статическая ошибка регулирования в системе при неизменном входном воздействии X может быть сведена к нулю,

если сделать равной нулю передаточную функцию W p при

p = 0. Для этого достаточно в прямой или обратный канал регулирования системы, приведенной на рис. 2.4, ввести интегрирующее звено. На практике интегрирующее звено вводят в структуру устройства управления, применяя И-, ПИ-, ПИД-регуляторы. Это

обеспечивает W1 p и тем самым нулевую статическую

ошибку регулирования. Такие системы принято называть аста-

тическими нулевого порядка по задающему или(и) возмущающему воздействию. Для придания системе астатизма более высокого

71

(первого) порядка в структуру регулятора вводят два интегратора. Часто в структуре самого объекта управления имеются интегрирующие звенья, например ГИМ, что заведомо придает системе свойство астатизма.

Величина установившейся ошибки регулирования, наличие и порядок астатизма замкнутой САУ определяются не только ее моделью, но и видом входного сигнала. Определим, как вид входного воздействия влияет на величину установившейся ошибки.

Передаточную функцию разомкнутой СУИМ запишем в виде

j 1

где K – коэффициент передачи; pj, zi – полюсы и нули передаточной функции (2.3).

В установившихся режимах (при p = 0) передаточную функцию (2.2) можно записать в виде

где Ki – коэффициент ошибки системы, определяемый видом входного воздействия, i = 0, 1, 2.

Поскольку в качестве типовых тестовых сигналов применяют ступенчатое (для систем стабилизации), линейное и квадратичное (для программных и следящих СУИМ) входные воздействия, для оценки установившихся ошибок в системе выделяют три типа коэффициентов ошибок:

1) коэффициент ошибки по положению (i = 0)

K0 lim Wраз p ;

p

72

2) коэффициент ошибки по скорости (i = 1)

K1 lim pWраз p ;

p

3) коэффициент ошибки по ускорению (i = 2)

K2 lim p2Wраз p .

p

Установившиеся ошибки для трех типов входных воздействий и трех типов передаточной функции Wраз(p) – с отсутствием интеграторов, с одним и двумя интеграторами – приведены в табл. 2.1.

Динамические режимы СУИМ характеризуются переходными состояниями системы при изменении начального состояния, а также входных (задающих и(или) возмущающих) воздействий. При этом различают свободные и вынужденные процессы.

Свободный (собственный) процесс в системе определяется ре-

шением однородного дифференциального уравнения, описывающего СУИМ, протекает под действием ненулевых начальных условий Y(t0) ≠ 0 и в устойчивых системах асимптотически затухает:

в текущее Y(t) состояние.

73

Назовем процесс вынужденным, если промежуток времени между моментом tз(tв) приложения задающего (возмущающего) воздействия X(t) и моментом наблюдения выходной величины Y(t) равен бесконечности. Тогда процесс изменения выходной величины будет иметь вид [1, 16]

где w(τ) – импульсная переходная функция по задающему (возмущающему) воздействию.

Полное решение уравнения движения линейных СУИМ пред-

ставляет собой сумму решений уравнений свободного и вынужденного движения.

Втеории управления к типовым тестовым воздействиям относят, как правило, единичное ступенчатое и единичное импульсное воздействия. Соответствующие динамические реакции систем на эти воздействия называют переходным процессом и импульсным переходным процессом.

Вкачестве примера на рис. 2.5 приведена реакция электродвигателя постоянного тока на ступенчатое приложение номи-

нальной нагрузки Mсн к его валу (возмущающего воздействия). При приложении номинальной нагрузки скорость ω(t) двига-

теля падает, причем имеет место колебательный процесс. Макси-

мальный динамический провал скорости Δωдин может превышать статическое падение скорости Δωс (см. рис. 2.5).

Вынужденное движение соответствует новому установивше-

муся состоянию – номинальной скорости ωн электродвигателя. Время переходного процесса (перехода в новое установившееся

состояние) составляет tрег.

Задача исследования динамических свойств СУИМ в концепции современной теории управления выполняется путем решения векторно-матричного уравнения состояния относительно желаемой, как правило, выходной, переменной СУИМ. Для этой цели применяют матрицу переходных состояний.

74

ω0

Δωдин Δωс

ωн

ω(t)

Mсн

t

Рис. 2.5. Реакция электродвигателя постоянного тока на возмущающее воздействие в виде ступени номинальной нагрузки на валу

Если известны в момент времени t = 0 начальное состояние X(0) объекта управления и вектор U(t) внешних для СУИМ воздействий, то уравнение движения системы во времени определяется выражением [14, 16]

Первое слагаемое в векторно-матричном выражении (2.6) отражает свободное движение многомерной линейной системы управления и аналогично скалярному выражению (2.4), описывающему свободное движение одномерной системы. Второе слагаемое в формуле (2.6) отражает вынужденное движение многомерной линейной САУ и аналогично выражению (2.5), описывающему вынужденное движение одномерной системы.

Матрицу Ф(t), определяющую динамические процессы в системе, называют переходной матрицей состояния или просто матрицей перехода. Существует ряд методов нахождения этой матрицы, базирующихся на описании систем как во временной области

75

(в форме дифференциальных или векторно-матричных уравнений), так и в области комплексного переменного p (в операторной форме или в форме структурных схем). Наиболее часто для определения матрицы перехода во временной области используют матричную экспоненциальную функцию в виде разложения ее в ряд с ограниченным числом k (k < ∞) членов ряда [12–16]:

где E – единичная матрица; ! – знак факториала.

Решение векторно-матричного уравнения, описывающего линейную систему управления, можно получить и в области комплексного переменного p, применив преобразование Лапласа:

X p pE A 1 X 0 pE A 1 BU p ,

где pE A 1 – преобразование Лапласа переходной матрицы состояния, т.е. Φ p pE A 1 .

В частности, для свободного движения системы под действием ненулевого начального состояния X(0) можно записать

X p Φ p X 0 .

Важнейшей задачей проектирования СУИМ является синтез оптимального устройства управления, т.е. определение структуры и параметров УУ, обеспечивающих достижение цели управления. При этом целью управления задаются в виде какого-либо формального критерия качества управления, например критерия максимального быстродействия отработки задающих и возмущающих воздействий, критерия минимальной интегральной ошибки регулирования и др. Общие вопросы исследования и проектирования СУИМ рассмотрены в следующем подразделе.

76

3.ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

ИПРОЕКТИРОВАНИЕ СУИМ

Проектированию СУИМ предшествует научно-исследова- тельская работа (НИР), т.е. этап предпроектных НИР, включающих решение задач синтеза и анализа СУИМ. Более того, аргументированное принятие технических решений на любой из стадий и этапов проектирования базируется на результатах выполненных НИР и опытно-конструкторских работ (ОКР).

3.1.Синтез и анализ

Косновным задачам синтеза СУИМ (функциям НИР) относят следующие:

– определение адекватной объекту управления (ОУ) математической модели (ММ);

– формулирование цели управления, т.е. критериев качества управления;

– синтез структуры СУИМ (задача структурного синтеза), т.е. установление оптимальных (рациональных) элементов устройства управления и взаимосвязей между ними;

– синтез параметров СУИМ (задача параметрического синтеза), т.е. определение оптимальных (рациональных) параметров устройства управления.

В теории оптимального управления две последние подзадачи синтеза СУИМ решают одновременно методами структурнопараметрического синтеза. Методы синтеза СУИМ зависят от полноты априорной информации об ОУ и условиях его функционирования и подразделяются на детерминированные и стохастические. Подавляющее большинство методов синтеза ориентировано на класс линейных систем (в частотной или временной области), что объясняется их относительной простотой. Вместе с тем класс нелинейных СУИМ значительно многообразнее и сложнее, что

77

предполагает либо корректную адаптацию методов синтеза линейных СУИМ к конкретным нелинейным СУИМ, либо применение специальных методов синтеза нелинейных СУИМ [12, 14, 17].

Рассмотрим подробнее содержание основных функций НИР при исследовании СУИМ.

Математическое описание ОУ – определение структуры и параметров ОУ, наиболее существенно влияющих на его статические и динамические характеристики. При этом вводят разумные допущения, позволяющие упростить математическую модель (ММ) объекта управления для цели синтеза и, напротив, детализировать ее для цели анализа СУИМ. Потребность в упрощении ММ на этапе синтеза обусловлена ограниченными возможностями методов синтеза и фактором практической реализуемости оптимального управления. Размерность ММ линейных динамических ОУ на этапе синтеза, как правило, не превышает четырех. На этапе анализа, напротив, желательно учесть не только доминирующие, но и второстепенные, на первый взгляд не существенные, свойства ОУ.

Математическое описание ОУ и СУИМ в целом осуществляют в частотной или временной области. С учетом того, что временная группа методов хорошо «ложится» на язык ЭВМ, при исследовании СУИМ она получила наибольшее распространение.

На практике сначала определяют структуру и параметры неизменяемой части СУИМ. К неизменяемой части относят объект управления, включающий все технические средства, которые преобразуют управляющее воздействие в выходную координату (силовые преобразователи энергии, приводы, передаточные механизмы, рабочие органы и др.), а также датчики измеряемых координат, устройства преобразования и передачи информации от объекта к устройству управления.

На предварительном этапе синтеза выбирают элементы объекта управления из числа типовых (серийно выпускаемых) изделий, основываясь на основных параметрах и характеристиках их функционирования (временных диаграммах, средних или предельных значениях мощности, моменте, скорости, ускорении и т.п.).

78

Далее составляется математическая модель объекта управления в той или иной форме, причем учитываются лишь его доминирующие свойства. Если порядок линейного (линеаризованного) объекта управления более трех, его целесообразно разбить на ряд частных объектов или описать упрощенной моделью. При этом используют известные методы декомпозиции сложных объектов, разделения движения объекта на медленное и быстрое движение, методы подобия, эквивалентирования и т.п. Следует отметить, что элементы СУИМ хорошо изучены и их математические модели с разной степенью детализации приведены в научно-технической литературе [12–20].

После определения неизменяемой части объекта управления переходят к формулированию критериев качества управления и синтезу структуры и параметров устройства управления.

Формулирование критерия качества управления (синони-

мы: целевая функция, цель управления, функционал качества, оценка качества управления).

К числу формальных критериев качества, представляемых в виде минимизируемых функционалов, относят [13, 14] следующие:

–быстродействие регулирования;

–точность регулирования;

–интегральные критерии, в том числе интегральные квадратичные;

–минимаксные, экономические, энергетические и т.д. Качество СУИМ, как правило, должно удовлетворять не-

скольким критериям (векторному критерию), однако на практике задаются каким-либо одним из критериев, а учет остальных осуществляют наложением ограничений на показатели качества системы или координаты СУИМ.

Наиболее часто для оценки качества СУИМ применяют прямые оценки качества по виду переходных процессов. К ним относят: время регулирования, время нарастания регулирования (время первого согласования регулируемой координаты с заданным значением), перерегулирование, временное запаздывание отработки задающего или возмущающего воздействия и т.п.

79

Поскольку некоторые показатели качества входят в противоречие друг с другом, результат синтеза СУИМ, как правило, дает некое компромиссное решение.

Синтез СУИМ. Под синтезом СУИМ понимают нахождение ее структуры и параметров, обеспечивающих заданное качество управления при известных входных воздействиях.

Различают задачи структурного и параметрического синте-

за. В ряде случаев удается эти задачи решать параллельно методами структурно-параметрического синтеза. При этом используют несколько подходов.

Первый подход базируется на задании конкретной структуры устройства управления (структуры регулятора или корректирующего устройства в случае одноконтурной системы). Как правило, задаются типовыми регуляторами класса «вход-выход» (например, пропорционально-интегральными) или простейшими корректирующими звеньями (например, реальными пропорциональнодифференцирующими корректирующими звеньями). Корректирующие звенья обычно размещают последовательно с объектом управления (в прямом канале регулирования), однако в ряде случаев хороший эффект дает установка их в канале обратной связи или на входе системы. Качество системы управления задают в виде требований к статической точности и оценок качества переходного процесса или частотных свойств СУИМ (времени регулирования, перерегулирования, полосы пропускания замкнутого контура регулирования и др.). Далее решается задача расчета параметров устройства управления (параметрического синтеза), удовлетворяющего требованиям к статике и динамике замкнутого контура.

Второй подход основывается на составлении структурной схемы системы управления без задания собственно структуры регуляторов: выбирается число контуров регулирования, их соподчиненность, расположение регуляторов в структуре устройства управления и др. В основе подхода – избранные принципы управления и требования к статическим и динамическим показателям

80