Механика композитных материалов 3 1980

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, Л"° 3, с. 463—467

УЦК 624.073:678.06

Б. Л. Пелех, Р. Н. Махницкий

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВОЗЛЕ ОТВЕРСТИЙ В ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИНКАХ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

1. ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ РАСТЯЖЕНИЯ И ИЗГИБА ПЛАСТИНОК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

В настоящее время в механическом поведении элементов конструк­ ций из композитных материалов установлен ряд специфических особен­ ностей (анизотропия в сочетании с низкой сдвиговой жесткостью и сла­ бым сопротивлением нормальным поперечным деформациям) [1], неучет которых может привести к недопустимым погрешностям при расчете таких конструкций. При этом особое место принадлежит классу задач о распределении напряжений возле отверстий в пластинках, что связано со значительными градиентами напряжений, возникающими в окрест­ ности концентраторов. В частности, в работе [2] обнаружен факт несоот­ ветствия порядка касательных срезывающих напряжений по элементар­ ной и уточненной теориям.

Ниже предлагается вариант уточненной теории ортотропных плас­ тинок, позволяющий учесть указанный выше комплекс механического поведения композитных материалов. На этой основе развиты прибли­ женные методы решения задач о концентрации напряжений возле от­ верстий в анизотропных пластинках из композитных материалов.

1. Исходные уравнения. Рассмотрим ортотропный плоский слой тол­ щиной 2 /i, отнесенный к декартовым координатам Xi (i= 1,2,3), нагру­ женный поверхностными нагрузками P±(xi,х2) =Xi±t i, при х3 =±/г, где е; — орты в главных направлениях х;.

Исходим из наиболее общего вариационного принципа линейной тео­ рии упругости анизотропного тела Ху—Ватицу. Введем функционал

s -

Здесь и в дальнейшем повторяющиеся индексы i и / обозначают сумми­ рование и принимают значения 1 , 2 , 3; хц — компоненты тензора напря­ жений; ец — компоненты тензора деформаций; «; — компоненты век­ тора упругого перемещения; Pi — напряжения на произвольной пло­ щадке с нормалью n; ST, S u — части поверхности тела, где заданы напряжения pi0 и перемещения щ° соответственно; St* — граничные по­ верхности, соответствующие Хз= ± /i; и;* — перемещения на поверхнос­ тях S^; Э — механическая работа деформации.

В общем случае для ортотропного материала компоненты тензора на­ пряжений Tij связаны с компонентами тензора деформаций соотноше­ ниями

Ei — модули Юнга в направлениях хй Vij — коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение в направлении Xj при растяжении в на­ правлении хй Gц — модули сдвига, характеризующие изменение углов между главными направлениями Хг и Xj (i, /= 1,2,3). Используя соотно­ шения (1 .2 ), получим механическую работу деформации:

+ ^1 Е*0е11 взз+ Х2Е*ое22езз-

Относительно функционала (1.1) справедлива теорема: вариацион­

содержит в качестве уравнений Эйлера соотношения упругости, соотно­ шения Коши и уравнения равновесия, а в качестве эйлеровых граничных условий — граничные условия на поверхностях S-t*, статические и гео­ метрические граничные условия на Sx и Su соответственно. При варьи­ ровании функционала (1 .1 ) использовалась формула интегрирования по частям:

принцип (1.3) для вывода обобщенных уравнений ортотропных пласти­ нок. Перемещения и напряжения будем аппроксимировать полиномами Лежандра. Метод представления перемещений и напряжений в виде ря­ дов по полиномам Лежандра был предложен в [3] для построения уточ­ ненных уравнений теории оболочек и пластин. В работах [4, 5] получены соотношения, учитывающие граничные условия на внешних поверхнос­ тях. Для трансверсально-изотропных пластин в работе [6 ] получены раз­ решающие уравнения, позволяющие учесть поперечные составляющие тензоров напряжений и деформаций.

Представим компоненты перемещений и напряжений в виде бесконеч­ ных рядов по полиномам Лежандра P h { x 2/ h ) :

На основании (1.4) с учетом представлений перемещений и напряжений

(/ принимает те же значения, что и в формуле (2 .3 ); Nnh°, Nsh°, Nn3h° — краевые усилия, которые представляются следующим образом:

Nnл0= Nnfc0 cos2 X + Nl2h°sin 2X+ N22h°cos2 X;

^sft0=_2'( ^ 22ft0—A/nh0)sin 2K + Ni2h°cos 2X; 1Уязь0=^ i 3k° cos Х+Л^зл0 sinX.

Здесь X — угол между направлением *i и нормалью п к кривой g=gx\/gu; s — касательная к кривой g.

Обобщенные граничные компоненты вектора перемещений представ­ ляются так: u„h0 = Uift°cosX-l-«2ft0 sinX; usi°= —Mift0 sinX-t-w2ft°cosX. Удель­ ная энергия деформации имеет следующий вид:

где имеет место формула (2.5);

Таким образом, доказана теорема: вариационное уравнение б/о=0 содержит в качестве уравнений Эйлера уравнения равновесия (2.6), со­ отношения упругости (2.7) и соотношения Коши (2.8), а в качестве эйлеровых граничных условий — граничные условия на плоских гранях (2.9), геометрические (2.10) и статические (2.11) граничные условия.

На базе полученных соотношений будем строить различные конечные приближения и, следуя работе [4], различать их по количеству удержи­ ваемых членов в рядах перемещений щ. Приближение (т,п) отвечает удержанию в разложениях (2 .1 ) для w, и и2 по т (k = 0 , 1 , ... , т ), а для и3 — п (k = 0 , 1 ,..., п) членов. Так как граничные условия на плоских гранях (2.9) представляют собой линейные зависимости компонентов ка­ сательных и нормального напряжений, в рядах касательных напряже­ ний Ti3 и Т2з удерживаем по п + 2 члена, а в нормальном напряжении тзз — п + 1 член. В разложениях напряжений тп, Т12 и Т22 удерживаем, как и в и\, «2. по т членов. Приближение (т = 1, л = 0) соответствует уравне­ ниям теории типа С. П. Тимошенко.

3. Уравнения приближения порядка т = 1 , п = 2. Уравнения состоя­ ния пластинки распадаются на две независимые группы соотношений, характеризующих обобщенное плоское напряженное состояние и изгиб.

УДК 624.074.4:678.067

Р. Б. Рикарде, М. В. Голдманис

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕБРИСТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТОВ, РАБОТАЮЩИХ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ

Улучшения весовых характеристик композитных оболочек, работаю­ щих на устойчивость, можно добиться как управлением структурой ар­ мирования, так и управлением формой оболочки. Отыскание оптималь­ ной формы оболочки может быть осуществлено либо в классе гладких оболочек, т. е. когда мы имеем одну генерирующую поверхность, либо в классе оболочек с несколькими генерирующими поверхностями. Наибо­ лее простое решение последней задачи — создание ребристых оболочек. Ограничимся рассмотрением ребер в виде тонкостенных элементов, гене­ рирующая поверхность которых является нормальной к поверхности оболочки (обшивки). Следует отметить, что при поиске оптимальной конструкции эти подкрепляющие оболочку элементы следует рассматри­ вать как тонкостенные, а не как стержневые, так как стержневые эле­ менты не могут описать таких явлений, как формы потери устойчи­ вости — местная и изгибно-крутильная совместно с обшивкой. Эти формы могут быть определяющими для критической нагрузки при опре­ деленных соотношениях параметров, которые могут быть получены в ходе оптимизации.

Оболочка изготовлена из композитного материала. Материал обо­ лочки и ребер — слоистый композит. Сформулируем следующую задачу оптимизации:

дят как структурные параметры материала ребер и обшивки, так и гео­ метрические параметры оболочки; Х*(х) — критический параметр на­ грузки; X — заданный параметр нагрузки; фч(х) — совокупность геомет­ рических ограничений; хДх) — совокупность структурных ограничений. Решение поставленной оптимизационной задачи распадается на две части. Первая — определение устойчивости ребристой оболочки с тонко­ стенными ребрами. Эту часть задачи решаем методом конечного эле­ мента, позволяющим единообразно рассчитать конструкции с различной конфигурацией ребер и обшивки. Вторая часть задачи — отыскание кон­ струкции минимальной массы, удовлетворяющей ограничениям задачи. В этом случае для решения используем теорию планирования многофак­ торных экспериментов.

1. Конечные элементы ребристой оболочки. Получим матрицы жест­ кости и инкрементальной жесткости для обшивки и ребер многослойной оболочки, рассматривая их как тонкостенные оболочечные элементы.

Исходный функционал потенциальной энергии деформации элемента оболочки в случае гипотезы Кирхгофа—Лява имеет вид:

зора срединной поверхности; ха — криволинейные координаты на сре­ динной поверхности; хг — координата по внешней нормали к поверх­ ности); QoPve> 5 ортв) £)apve _ компоненты тензоров мембранной, мемб-

ранно-изгибной и изгибной жесткости, которые известным образом [1] выражаются через жесткостные характеристики слоев и направлений армирования слоев; Qap, ka$ — компоненты тензоров деформаций сре­ динной поверхности и искривлений, которые выражаются через компо­

а, р, Х = 1, 2.

Здесь знак параллельности означает ковариантное дифференцирование в метрике оболочки aap; ea 0 — дискриминантный тензор.

Инкрементальная часть потенциальной энергии деформации в на- чально-послекритическом состоянии получена в работе [3]. В случае безмоментного докритического состояния и однородного по толщине пакета слоев (B<*Pve = o) исходный функционал для получения матриц инкре­ ментальной жесткости имеет вид:

Здесь 6 хтар — обобщенный символ Кронекера; £2а0(2) — квадратичные члены тензора деформаций срединной поверхности [2]:

При выводе функционала (1.3) принято, что внешние нагрузки меняются пропорционально одному параметру X, и, таким образом, докритическое напряженное состояние оболочки можно выразить в виде: oap= A.(j(o)ap.

Рассмотрим далее вывод необходимых матриц жесткости и инкремен­ тальной жесткости для цилиндрической оболочки с кольцевыми ребрами под действием внешнего давления. Соответствующие матрицы жесткости и инкрементальной жесткости для обшивки согласно функционалам (1-1) и (1.3) с кинематическими соотношениями (1.2) п (1.4) были выве­

сгг(0), а ф(0) — докритические радиальные и окружные напряжения, дейст­ вующие в элементе; vr, уф, до — радиальные, окружные и нормальные перемещения.

Зададим в каждом узле элемента четыре степени свободы (три пере­ мещения и угол поворота р) и представим поле перемещений в элементе

в виде:

dw

yr = «cosntp; иф= и sin /гср; до = доосоэпср; р= —r ^ = р0cos шр.

(1.7)

Здесь п — число волн в окружном направлении. Вектор узловых пере­ мещений элемента имеет восемь компонент:

В (1.7) приняты следующие разложения для перемещений по радиаль­ ной координате:

Ро = ссб+ 2a7 Si + 3aaSi3.

Здесь сц — коэффициенты, которые выражаются через узловые переме­ щения; Si = r —г,- — радиальная координата t-ro элемента. Выражая с учетом (1.8) и (1.9) коэффициенты ар через узловые перемещения б,, и подставляя эти соотношения в (1.7), получаем поле перемещений внутри элемента как функцию узловых перемещений:

( 1. 10)

получим энергию в виде квадратичной формы от узловых перемеще­ ний 6 j:

Здесь элементы матрицы жесткости являются функциями докритических напряжений о>(0), стФ(0).

Для определения докритических напряжений в конечном элементе решим задачу деформирования кольцевой пластинки (см. рис. 1 ) при

Величину радиального перемещения й в месте стыковки ребра и об­ шивки получаем из следующих соображений. Допустим, что кольцевые ребра оболочки «размазаны» и докритическая деформация «размазан­ ной» оболочки мало отличается от «неразмазанной». Тогда окружной

модуль упругости размазанной оболочки будет Е2 = Е2°-рЕчР т—, где £ 2°, ihо

£ч.р — окружные модули упругости обшивки и ребер, F — поперечное сечение ребра, h0 — толщина обшивки, / — расстояние между ребрами. Решая задачу о безмоментном деформировании оболочки при внешнем давлении, получим перемещение в радиальном направлении в месте сты­ ковки ребра п обшивки:

Здесь V2i° — коэффициент Пуассона обшивки. Решая плоскую задачу теории упругости для кольцевой пластинки с граничными условиями (1 .1 2), получаем следующие выражения для докритических напряжений:

E гр

ренний и наружный радиус кольцевого ребра (см. рис. 1). Подставляя (1.13) в (1 .1 1 ), путем численного интегрирования методом трапеций с экстраполяцией Ромберга получаем матрицу инкрементальной жест­ кости ребра.