Механика композитных материалов 3 1980

условиям на торцах мягких слоев, которые, как правило, свободны от нагрузок; в-третьих, оценить погрешность вычислений после завершения очередного шага итераций.

В нулевом приближении и во всех последующих приближениях не­ соответствие между рассчитанными к тому моменту и заданными значе­ ниями напряжении на торцах пластины устраняется вычислением погранфункций мягких слоев (27) . Пользуясь соотношениями (2 1 ), можем записать:

где FTi — заданные или известные из предыдущих вычислений функции (/=1,2,3). Погранфункции на правом торце находятся из этих же урав­ нений, если неизвестные пометить двумя волнами, а аргумент индекси­ ровать единицей. Легко заметить, что собственные значения соответст­ вующих характеристических уравнений системы (38), (39) попарно оди­ наковы по абсолютному значению и имеют противоположные знаки вещественной части корня. Это обеспечивает затухание как левых, так и правых погранфункций, и, как показывают численные результаты, про­ тяженность погранслоев соизмерима с величиной порядка толщины мяг­ кого слоя. Последнее замечание справедливо в том случае, если коли­ чество граничных условий слева и справа пластины одинаково. В рас­ сматриваемых здесь задачах это условие всегда выполнено. В частности, в нулевом приближении два дополнительных условия уравнения (38) имеют вид:

Соотношениями (40) в расчет вводится температура нагрева—охлаж­ дения пластины, которая не могла быть учтена при решении вырожден­ ной задачи (37), поскольку в уравнениях, связывающих неизвестные во внутренних областях пластины, пренебрегается сопротивлением связую­ щего в продольном направлении. Об этом говорилось ранее, а теперь можем дать механическую интерпретацию вычислениям при нахождении погранфункций. Она состоит в том, что жесткие — конструктивные — слои на этом этапе расчета принимаются абсолютно жесткими. Сперва находим напряжения в мягких слоях при всевозможных нагрузках в погранслоях (FTj в (38), (39) и на торцах (40). Затем, приступая к следую­ щему приближению по МПФ, определяем реакцию «жестких опор», т. е. вычисляем погранфункции (24) с помощью интегралов

СО

Хо

Интегралы, взятые но длине всей краевой зоны, с противоположным знаком

определяют интегральное воздействие напряжений в погранслоях и яв­ ляются дополнительными условиями при повторном решении систем (34) —(36) в первом или в любом последующем приближении. Итерации завершаются и проводится суммирование всех найденных неизвестных по формуле (23) в случае, если невязки между заданными и вычислен­ ными (34) значениями напряжений на торцах мягких слоев удовлетво­ ряют предъявленным требованиям точности. В большинстве случаев точ­ ность в пределах 5% обеспечивает решение задачи в нулевом приближе­ нии с последующей корректировкой неизвестных внутренней задачи в первом приближении. Хорошая сходимость асимптотического разложе­ ния к точному имеет место благодаря тому, что геометрию и механиче­ ские свойства композита характеризуют малые безразмерные величины sk/l- hi/l; E*,JEi.

В заключение приведем результаты расчета распределения напряже­ ний (рис. 2 ) в симметричном трехслойном образце со следующими без­ размерными параметрами: h/l = 0,04; pi= s// = 0,01; £*/£ = 0,04; а*/а= 12,5; р/(1+v)a*£*0 = O,Ol. Внешнее давление р и рассчитанные напряжения нормируем величиной (1 +v)a*£*0 .

Как видно из представленных графиков, вблизи торца возникает сильная концентрация нормальных поперечных напряжений crz и каса­ тельных напряжений т. Они оказываются величинами одного порядка с напряжениями от изгиба композита внешним давлением р в середине (| = 0,5) пластины, что вследствие более низких прочностных свойств связующего может привести к разрушению. Расчет напряжений в плас­ тине при отсутствии внешнего давления показывает, что максимальные

Рис. 2. Распределение нормальных продольных напряжений в жестких слоях (а), а также касательных (б) и нормальных (а) поперечных напряжений в мягком слое Сплошной линией изображено решение без поправок, даваемых пограничными функ­ циями, нанесенными прерывистой линией. Результирующее напряжение равно сумме обеих кривых графика. Перед суммированием погранфункцию равномерным сжатием следует перевести в область ее локализации, ограниченной вертикальной штрихпупк-

тирпой прямой.

значения касательных и нормальных поперечных напряжений остаются

почти неизменными, а краевые эффекты нормальных продольных на­ пряжений в жестких слоях незначительны.

Из рассмотрения кривых касательных напряжений вверху и внизу мягкого связующего слоя видно, что соответствующие величины имеют противоположный знак. Следовательно, гипотеза об их постоянстве и не­ зависимости от поперечной координаты z оказывается неточной. Это подтверждает необходимость введения нелинейных членов в выражение (1 ), аппроксимирующее касательные напряжения по толщине мягкого слоя.

Аналогичная особенность имеет место и для поперечных нормальных напряжений az■Кроме того, на их распределение по длине пластины су­ щественно влияют производные касательных напряжений (см. (16), и резкий пик Gz на приводимых графиках обусловлен быстрым ростом т от нуля до своего максимума на расстоянии, соизмеримом с толщиной мяг­ кого слоя.

Выводы. 1. Представлена уточненная методика расчета напряженнодеформированного состояния в краевой зоне композитной многослойной пластины. Соблюдены все условия контакта на границах раздела слоев как по перемещениям, так и по напряжениям. Приведен алгоритм вычис­ лений по МПФ, позволяющий выявить быстро изменяющиеся слагаемые решения у торцов пластины и устраняющий неустойчивость стандартных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. На основе разработанной методики теоретически найдена и коли­ чественно оценена высокая концентрация напряжений в краевой зоне многослойной пластины, ограничивающей две среды с различной темпе­ ратурой и давлением. Установлено, что «второстепенные» по классиче­ ским представлениям компоненты тензора напряжений т.х2, xvz, GZ в мяг­ ких слоях являются величинами одного порядка с напряжениями в жестких слоях. Показано, что решение по теории с «мягким заполните­ лем» [5] соответствует нулевому приближению по МПФ, а дальнейшие итерации дают существенные поправки при определении термоупругих напряжений.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Алумяэ Н. А. Теория упругих оболочек и пластинок. — В сб.: Механика в СССР

за 50 лет. Т. 3. М„ 1972, с. 227—266.

2.Чоу Ш. Ч. Методы предсказания разрушения композитных материалов. — Ме­

ханика композитных материалов, 1979, № 2, с. 297—304.

3.Кроссман. Ф. В. Анализ разрушения слоистых композитов у свободного край. — Механика композитных материалов, 1979, № 2, с. 280—290.

4.Болотин В. В. К теории слоистых плит. — Иэв. АН СССР. Механика п машино­

строение, 1963, № 3, с. 65—72.

5.Новичков 10. М. Теория толстостенных оболочек и пластин и ее приложения. Дис. на сопск. учен. степ, д-ра фиэ.-мат. наук, М., 1973. 392 с.

6.Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М., 1966. 635 с.

7.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 448 с.

8.Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.

М., 1973. 167 с.

9. Блумберг Н. Н.. Тамуж В. П. Уравнения равновесия упругой многослойной пластины. — В кн.: Вопр. электродинамики и механики сплошных сред, 1977, вып. 3,

с.3— 19 (Рига).

10.Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотическое разложение решений сингу­

лярно возмущенных уравнений. М., 1973. 272 с.

Институт механики полимеров АН Латвийской ССР, Рига

Видно, что материал имеет семь независимых параметров. Сопоставляя уравнения (1) и (2), устанавливаем связь между отдельными компонен­

В [3] представлены результаты экспериментального исследования пяти разных плоских схем армирования (в том числе одна с однонаправ­ ленным армированием) на прочность в пространстве напряжений оц, ст22. 0 12 и определены численные значения шести компонент тензора поверх­ ности прочности pij и р ц ы - Образцы из стеклопластика имели укладку арматуры по схеме ±q>°, а именно: <р = 0°, ф=±10°, ф=±20°, ф= ±30° и Ф= ±45°.

Была сделана попытка теоретически предсказать прочность слоис­ того композита (пакета) по известным деформативным и прочностным свойствам одного отдельного однонаправленно армированного слоя, ко­ торый является составной частью пакета. Главные оси симметрии пакета обозначим через а, р= x,y,z, а главные оси симметрии слоя через /,/'=1,2,3. Известными считались все независимые деформативные характеристики трансверсально-изотропного слоя и пакета (недостаю­ щие в [3] характеристики были подсчитаны согласно [4, 5]); компоненты тензора поверхности прочности р,j и pijhi однонаправленно армирован­ ного слоя были также заимствованы из [3].

В расчетной модели слоистый композит нагружался до разрушения по лучеобразным путям нагружения в пространстве оар, которые по на­ правлению соответствовали экспериментальным. Определяли длину луча нагружения R, т. е. расстояние от начала координат до эксперимен­ тальной R3 и расчетной RT поверхностей прочности. Были рассмотрены три варианта решения.

A. Принимается, что деформации во всех слоях, независимо от на­ правления армирования, одинаковы. При заданном напряженном состоя­

каждого выбранного луча нагружения в пространстве aap определяется такая его наименьшая длина RT, при которой достигнута поверхность прочности согласно (1 ) для одного из слоев.

B. Принимается, что напряжения во всех слоях, независимо от на­ правления армирования, одинаковы. Напряжения в слое определяются по формуле 0 ij = 0 apWip; условия прочности каждого слоя проверяются по отдельности согласно (1 ).

C. Проводится усреднение компонент тензоров прочности отдельных слоев. Сперва компоненты тензора прочности слоя преобразуются к осям

композита: pa^ n)= Pa{n)liJj& и Papv6(n)= Pohi(n)^a/jpW;6, где п — номер слоя. При усреднении в качестве весового множителя использован отно­

сительный объем арматуры конкретного слоя Va{n)IVа, Уа= Уа(1)+ Va<2>+ + - • • + VV^), N — общее количество слоев. Условие прочности компо­ зита тогда выражается:

РаР<ГаР "Н РаРуб (Гар0уб = 11

где

Все три варианта А—С можно перенести на случай пространственно армированного композита, если вместо слоев пользоваться понятием расчетных стержней [5].

Расчетным путем построена поверхность анизотропии прочности при одноосном растяжении по разным направлениям в плоскости у, z , кото­ рая является плоскостью изотропии деформативных свойств композита (рис. 1). Рассмотрены две схемы армирования в плоскости у, z — с ша­ гом 60 и 45° Деформативные характеристики обеих схем одинаковы и

Видно, что расчетные значения прочностей при растяжении согласно ва­ риантам А—С подчиняются неравенству RBT< R CT< R At - Схемы а и б (см. рис. 1 ), которые являются изотропными в плоскости армирования относительно деформативных свойств, по прочностным свойствам полу­ чаются анизотропными согласно вариантам А и В и изотропными со­ гласно варианту С. В последнем случае для схем а и б получаем одну п ту же линию круга. Схемы а и б для вариантов А и В получаются не только анизотропными по прочностным свойствам, но и разными.

Согласно вариантам А—С была определена ожидаемая прочность материалов со схемами армирования ср = ±10°; ±20°; ±30°; ±45° [3]. Качество аппроксимации поверхности прочности схемы ср = 0° и прогноза прочностей для остальных схем армирования проводилось по среднему квадратичному относительному отклонению г:

/м

где RiT, R f — теоретическое и экспериментальное расстояния от начала координат до поверхности прочности (предельная длина вектора нагру­ жения); М — общее количество экспериментальных путей нагружения.

Относительно лучшие результаты были получены согласно вариан­ ту А. Из таблицы видно, что ошибка прогноза примерно вдвое выше ошибки аппроксимации. Такое же соотношение ошибок наблюдается при прогнозе ползучести с изменением вида напряженного состояния. Сле­ дует отметить, что подавляющее большинство расчетных прочностей

Рис. I. Поверхности анизотропии прочности при одноосном растяжении стеклопластика для схем армирования а и б. 1 — расчет согласно варианту А по схеме армирования «. 2 то же по схеме б\ 3 — вариант С по схемам а, б; 4 — вариант В по схеме а; 5 — то же по схеме б.