Механика композитных материалов 3 1980

В качестве примера приведем расчет процесса намотки изделия на основе стеклоткани и эпоксидного связующего. При расчете приняты следующие данные: £'ф= 2-105 кгс-см"2; /t= 0,025 см; sH= 0,0125 см; s,=0,0086 см; Г) = 50 см; 7’Н= 40°С; х = 2*10-5 см4 • кгс-1 • с-1. Использо­ ваны также экспериментальные компрессионные кривые стеклотканевых наполнителей. Характерное время фильтрации для взятых исходных данных составляет Тф = г2/х£ф = 625 с. Время намотки одного слоя Тпам = 30 с. Шаг дискретизации по времени выбирался из условий А/<Стф, Д/СТнам- В качестве вычислительного алгоритма использована про­ цедура совместного решения системы уравнений равновесия и уравнений сохранения количества жидкой фазы. Для числа слоев п задача сво­ дится к системе 2п алгебраических уравнений квазидиагонального вида с шириной ленты, равной пяти. Для решения системы уравнений исполь­ зуется компактная схема метода исключения Гаусса. Для приближен­ ного расчета можно также использовать схему, по которой в слоях с уп­ ругим радиальным отпором расчет ведется по упругой модели, а в слоях со «свободной» прослойкой связующего — по фильтрационной модели.

На рис. 2 показано распределение порового давления и радиальных технологических напряжений по безразмерной толщине полуфабриката 5 = (г—ri)/(r2 — г\) в зависимости от количества слоев. Первоначальное натяжение взято равным N = 25 кгс-см-1. Граница между участком, где возникает упругий отпор, и участком, где сохраняется «свободная» про­ слойка связующего, определяется точками, в которых постоянство поро­ вого давления сменяется монотонным падением. Эта граница смещается в сторону оправки с увеличением числа слоев. На рис. 3 дано распреде­ ление по толщине полуфабриката окружных напряжений сгф в зависи­ мости от величины коэффициента фильтрации. Результаты показывают, что с увеличением коэффициента фильтрации область с наибольшим па­ дением натяжения смещается в сторону наружных слоев. При намотке с большим коэффициентом фильтрации (кривая 4) прослойка «свобод­ ного» связующего исчезает при намотке каждого слоя. Релаксации на­ пряжения в этом случае значительно препятствует возникающий ради­ альный упругий отпор. При усилии натяжения N = 25 кгс-см-1 для числа слоев п= 80 неравномерность распределения связующего по толщине по­ луфабриката к концу намотки достигает 17%. Во внутренних слоях ко­ эффициент армирования оф= 0,75, а во внешних слоях яр = 0,58.

3. После завершения намотки по толщине полуфабриката создаются распределения окружных и радиальных технологических напряжений, а

б ф кгс см-

Рис. 3. Рис. 4.

Put. 3. Распределение окружных технологических напряжений по толщине полуфабри­ ката в зависимости от величины коэффициента фильтрации связующего. х= 1 • 1 0 ~5 (У); 2,5 -Ю -5 (2); 5 - 1 0 - 5 (3) ; 5 ■Ю '4 см4 • кгс"1■с~‘ (4).

Рис. 4. Распределение порового давления но толщине полуфабриката в различные мо­ менты времени после окончания намотки. Цифры у кривых — значения времени t, ч.

также порового давления, которые можно принять в качестве начальных условий для дальнейшего анализа. Рассмотренная выше дискретная мо­ дель намотки дает простой вычислительный алгоритм решения задачи с переменной границей. Применение непрерывной модели консолидации в этом случае является более трудоемким. После окончания намотки ис­ следование кинетики технологических напряжений можно проводить как по дискретной, так и по непрерывной модели консолидации. Последняя позволяет более просто учесть температурную и химическую усадку компонентов полуфабриката при отверждении.

На стадии разогрева и ранней полимеризации полуфабриката, пока связующее находится в текучем состоянии, будем использовать обоб­ щенную модель теории консолидации, учитывающую вязкоупругое пове­ дение компонентов, химическую и термическую усадки, экзо (эндо) термию, кинетику отверждения компонентов. В рамках плоской осесиммет­ ричной задачи без учета объемных сил определяющая система уравнений состоит из уравнения равновесия относительно полных (струк­ турно усредненных) напряжений ог, аФ; уравнения несовместимости для структурно усредненных деформаций каркаса полуфабриката ег, еф; со­ отношения вязкоупругости для эффективных (в смысле теории консоли­ дации) напряжений от+р, аф+ р; закона вязкоупругой фильтрации, свя­ зывающего скорость фильтрации vr с поровым давлением р, и уравнения сохранения массы:

Здесь Ег.п, еФ,п — структурно усредненные деформации каркаса полуфаб­ риката от намотки; K'jfc — компоненты тензора вязкоупругих операторов для каркаса; 0'г, 0'ф — структурные деформации каркаса, учитывающие свободное термическое расширение и химическую усадку; кг — коэффи­ циент вязкоупругой фильтрации в направлении нормали к слоям. Урав­ нения (2) дополняются уравнением теплопереноса относительно темпе­ ратуры Т и уравнением химической кинетики для меры отверждения свя­ зующего со. Последнее берется в виде:

Операторы К'дь структурные деформации 0'г, 0'ф, коэффициент фильт­ рации иг, вообще говоря, зависят от температуры Т, меры отверждения со и компонентов тензора деформаций. Вследствие этого уравнения (2) будут нелинейными даже в том случае, если операторы КОи линейны.

Подходящей моделью композитного материала является трехкомпо­ нентная модель, согласно которой композит включает упругий наполни­ тель, закрепившееся связующее и мигрирующее связующее. Наполни­ тель и закрепившееся связующее образуют каркас. Модель позволяет учесть вязкоупругие свойства каркаса за счет химической и термическом усадки закрепившегося связующего. Однако при практическом примене­ нии этой модели возникают существенные трудности. Во-первых, трудно оценить долю закрепившегося связующего по отношению к мигрирую­ щему в любой точке среды в каждый момент времени; во-вторых, из-за

вязкоупругого характера операторов разрешающие уравнения полу­ чаются весьма громоздкими (для нестабильных связующих эти опера­ торы являются некоммутативными). По этим причинам для расчета технологических напряжений примем упрощенную модель, предполагая, что композит состоит из нелинейно-упругого каркаса и текучего поли­ мерного связующего. Связующее способно протекать сквозь поры кар­ каса. Ограничимся рассмотрением спучяст, кпгпя температурное поле ОДнородно во всей области, занятой полуфабрикатом и оправкой, а внеш­ няя поверхность полуфабриката свободна от напряжений. Уравнения

(2) приводятся к системе двух дифференциальных уравнений относи­

Здесь K'jh —• упругие податливости каркаса; Q'j — структурные дефор­ мации каркаса; %(г) — функция несовместности, учитывающая поле де­ формаций полуфабриката от намотки. Решение уравнений (3) и (4) ищем при начальных условиях, учитывающих систему напряжений от намотки, и при следующих граничных условиях: на внешней поверхности г=г2 ставятся условия Ф = 0, р = 0; на внутренней поверхности г= Г[ ста­ вятся условия

Здесь Со, ссо — постоянные, характеризующие механические и теплофизи­ ческие свойства оправки; g„ — функция, учитывающая напряжения и

деформации от намотки.

После перехода связующего в высокоэластическое состояние его миг­ рация относительно каркаса прекращается. При этом слоистый компо­ зит целесообразно рассматривать как квазноднородную анизотропную вязкоупругую среду, заменив тензор упругих податливостей каркаса К' на тензор вязкоупругих операторов для композита К, а тензор структур­ ных деформаций каркаса 0' на тензор структурных деформаций компо­ зита 0. Расчеты показывают, что после окончания фильтрации изменение коэффициента армирования по толщине полуфабриката составляет 5—6%. Этой величиной можно пренебречь и на третьем этапе расчета технологических напряжений считать композит квазиоднородным с не зависящими от координат характеристиками. Поведение связующего будем описывать вязкоупругими соотношениями стандартной нестабиль­ ной вязкоупругой среды [5]. Для аналитической модели слоистого

намоточного изделия из [5] получим следующее уравнение несовмест­ ности деформаций относительно функции напряжений Ф:

ции; /(фф— элемент матричного оператора К, который в рамках модели слоистой среды из [5] является оператором умножения на число; г) — коэффициент вязкоупругого оператора Кгг модели слоистой среды. Урав­ нение (5) в совокупности с соответствующими граничными и началь­ ными условиями описывает кинетику технологических напряжений от высокоэластического состояния полуфабриката до охлаждения готового изделия до комнатной температуры.

4. При вычислениях использовались экспериментальные диаграммы деформирования наполнителя из стеклоткани, а также данные об изме­ нении вязкоупругих параметров H(t), E(t), то(t), плотности р(Г,/) п коэффициента поперечной фильтрации xr(T,t) полимерного связующего

в процессе отверждения [3, 7]. Начальные данные о распределении порового давления, напряжений, коэффициента армирования после намотки взяты для полуфабриката с числом слоев п = 80. Внутренний радиус по­ луфабриката ri = 500 мм, внешний радиус г2 = 527 мм. Данные оправки из алюминиевого сплава: го = 480 мм; £ 0 = 7,5- 105 кгс-см-2; vo= 0,33; а 0 = 25,6-10_6 град-1 С.

Краевые задачи, описываемые уравнениями (3) —(5) с соответствую­ щими граничными и начальными условиями, решались численно сведе­ нием к неявным по времени разностным схемам с применением метода прогонки. Для задачи (3), (4) в качестве неизвестной дискретной функ­ ции был принят вектор-столбец с компонентами Ф/Р1, рип', коэффициен­ тами системы разностных уравнений служили матрицы размерностью 2X2, решение уравнений осуществлялось методом матричной прогонки. Специальный программный модуль контролировал изменение упругих характеристик по толщине полуфабриката в соответствии с диаграммой

момент времени, когда коэффициент фильтрации можно было практиче­ ски считать равным нулю. Этот момент фиксировался как момент пре­ кращения фильтрации и момент перехода связующего в высокоэластнческое состояние. Шаг разностной схемы по времени на этапе нагрева (два часа) был взят равным Д£= 0,04 ч, на ранней стадии полимеризации (длительностью полчаса) — Д/ = 0,02 ч. Последующие стадии термооб­ работки и охлаждения рассчитывались с переменными шагами по вре­ мени в пределах Д^= 0,1Н-0,04 ч. Показатель практической оценки точ­ ности разностного решения задачи (5) по правилу Рунге оказался ран­ ным £=1,058, т. е. применялась схема примерно второго порядка точности.

На рис. 4 показано распределение норового давления р по толщине полуфабриката в различные моменты времени. При переходе связую­ щего в высокоэластическое состояние через 2,5 ч после намотки полу­ фабриката модель консолидации дает распределение порового давления, мало отклоняющееся от нуля.

На рис. 5 представлены результаты вычислений технологических напряжений от конца намотки полуфабриката до охляжгтения готового llздeлияJTflЛ№У^L^з^ёlkьщ^дшдм.. Первая схема включает последова­ тельный расчет по модели консолидации и вязкоупругой модели, вто­ рая — расчет по вязкоупругой модели без учета фильтрации связую­ щего. Показаны принятые при расчете режимы термообработки Т (t) (кривые 1, 2, 3), соответственно, законы изменения во времени давления на оправку q(t) и кинетика наибольших за весь процесс растягивающих' радиальных напряжений в изделии aT{t). Кривые oT(t) по схеме с фильт­ рацией построены для сечения £ = 0,6, по схеме без фильтрации для сече­ ния £ = 0,7. Максимальные растягивающие радиальные напряжения раз­ виваются в изделии к концу технологического процесса. Скорость нарас­ тания напряжений возрастает с ростом скорости охлаждения. В конце процесса охлаждения остаточные напряжения в готовом изделии незна­ чительно релаксируют. Начальные сжимающие напряжения силовой на­ мотки снижают уровень опасных для композита растягивающих ради­ альных напряжений, которые образуются за счет химической и термиче­ ской усадок. При сопоставимых исходных данных «сквозной» расчет с фильтрацией дает большие растягивающие радиальные напряжения, чем расчет без фильтрации. Таким образом, фильтрацию необходимо учитывать, когда ожидается, что запас прочности по отношению к трещинообразованию невелик.

Максимальное давление на оправку устанавливается в конце нагрева полуфабриката до температуры полимеризации. В процессе полимериза­ ций оно незначительно релаксирует, а при охлаждении падает до зна­ чения, примерно в два раза меньшего величины натяга после намотки. Модель без фильтрации на протяжении всего процесса предсказывает большие значения давления, модель с фильтрацией — меньшие. Выбор в пользу одной из моделей для каждого конкретного типа связующего, наполнителя, режима изготовления можно сделать лишь на основании экспериментов по неизотермическому отверждению полуфабрикатов на­

моточного изделия.

Выводы. Применение дискретной схемы намотки, соотношений тео­ рии фильтрационной консолидации и теории вязкоупругости нестабиль­ ных сред к расчету технологических напряжении позволяет учесть важ­ нейшие технологические факторы и описать полный процесс изготовле­ ния намоточных изделий из слоистых композитов. Наибольший вклад в велцчину_технологическпх напряжений дают стадия силовой намотки й неизотермическая стадиц термообработки.

1.Болотин В. В. Влияние технологических факторов на механическую надежность конструкций из композитов. —• Механика полимеров, 1972, № 3, с. 529—540.

2.Мурзаханов Р. X. Релаксация начальных напряжений в процессе намотки изде­ лий из композиционных материалов. — Тр. Московск. энерг. ин-та. Механика деформи­ руемого твердого тела и теория надежности, 1978, вып. 353, с. 41—44.

3.Болотин В. В., Болотина К■С. Об усадке эпоксидных связующих в процессе от­

верждения. — Механика полимеров, 1972, № 1, с. 178— 181.

4.Болотин В. В., Болотина К- С. Технологические напряжения и трансверсальная прочность армированных пластиков. — В кн.: Прочность материалов и конструкций Киев, 1975, с. 231—239.

5.Болотин В. В., Воронцов А. Н. Образование остаточных напряжений в изделиях

из слоистых и волокнистых композитов в процессе отверждения. — Механика полиме­

7. Мурзаханов P. X. О фильтрации полимерного связующего в процессе отвержде­

Напряжения в этом же слое от действия одного из последующих слоев с номером k2 (k2>ki) определяются следующим образом:

Rh — радиус отвержденного слоя с номером k. Суммарные напряжения в рассматриваемом слое от совокупного взаимодействия с предыду­

Обозначим Rh = Ri + kA, A = ——— , k = ku kx+ 1,. , k2. При Д->-0 (я -> -о о ),

полагая R\ + kiA = r, R { + k2A = R и переходя к интегралам в (8)

получаем окончательно следующие выражения:

а /

которые дают величины аг и ае в точке г, возникающие в цилиндриче­ ском образце при фронтальном отверждении его изнутри, из-за химиче­ ской усадки еу (R — граница фронта отверждения).

Теперь оценим влияние неоднородного температурного поля на вели­ чину остаточных напряжений при отверждении. Поскольку каждый но­ вый слой (Rh, Rh+1) образуется при определенном значении температуры T(Rh) и взаимное температурное влияние слоев при этом не учитывается, для него безразлично распределение температуры в толще предыду­ щих твердых слоев. Поэтому к моменту окончания процесса отвержде­ ния напряжения в цилиндрическом образце от распределения темпера­ туры будут иметь следующий вид [6]:

А>0; а — коэффициент линейного расширения материала.

Если цилиндрический образец, полученный фронтальным отвержде­ нием, охлаждать послойно (от внутренней поверхности) до некоторой температуры Ть то в нем появляются дополнительные напряжения по аналогии с образованием напряжения из-за химической усадки, которая в данном случае пропорциональна разности температур а[Т\— Т(г)] при

переходе от одного слоя к другому:

л

л

а Е

Таким образом, полные напряжения, возникающие в цилиндрическом образце при фронтальном отверждении его с деформацией х и м и ч е с к о й усадки еу, с учетом распределения температуры Т(г) и последующем