Решение инженерных задач на высокопроизводительном вычислительном к

Окончание табл. 1 6 . 1

и вторых производных, а также по формуле (16.5) с использованием эффективных модулей упругости.

Исходя из того, что деформирование изотропное, можно заранее полагать равенство компонент с одинаковыми индексами ( i = j ) в тензорах средних напряжений и деформаций.

Дисперсии при равных индексах i = j = α= β также должны быть

181

Таблица 1 6 . 2

Характеристики синтезированных структур

Таблица 1 6 . 3

Сравнение средних напряжений в матрице при всестороннем растяжении

равны. Данные утверждения полностью согласуются с полученными результатами. Поскольку расчеты проводились независимо для каждого набора индексов, можно говорить о том, что методика получения численных значений статистических характеристик реализована верно.

182

Разница между решением в первом и втором приближении при использовании первых производных функции Грина составляет порядка 1 % для средних величин и дисперсий полей деформирования в матрице, что позволяет говорить о сходимости метода последовательных приближений. Также это свидетельствует о том, что использование первого приближения при расчете статистических характеристик полей деформирования для данного класса материалов является достаточным.

Расчеты с помощью выражений, записанных во вторых производных функции Грина, зачастую приводят к неверным результатам при расчете дисперсии (дисперсии принимают отрицательные значения), что связано с погрешностью при вычислении большого количества сложных интегралов. Это говорит о необходимости проведения дополнительного анализа методик численного интегрирования выражений, содержащих вторые производные функции Грина. Тем не менее методика во вторых производных является удовлетворительной для расчета средних величин полей.

В дальнейшем все вычисления будут производиться с использованием выражений в первых производных функции Грина.

Чистый сдвиг и одноосное нагружение. Рассмотрим простейший вид анизотропного деформирования – чистый сдвиг в одной плоскости. Компоненты тензора е в граничных условиях краевой задачи задаем следующим образом:

e12 = e21 = α.

При расчетах для определенности принималось α=10−6 .

Будем рассматривать пористые структуры с теми же, что и в предыдущем параграфе, упругими свойствами матрицы, отличающимися объемной долей включений и дисперсностью. Расчеты проводились для структур № 1 ( p = 0,15 ), № 2 ( p = 0, 20 ),

№3 ( p = 0, 20 ), № 4 ( p = 0, 20 ), № 5 ( p = 0, 20 ), № 6 ( p = 0, 25 ),

№7 ( p = 0,30 ), параметры которых приведены в табл. 16.2. Результаты приводятся во втором приближении.

183

В табл. 16.4 представлено сравнение статистических характеристик полей деформирования в пористом материале в зависимости от дисперсности структуры и количества включений. В табл. 16.5 приведены значения характеристик для пористых структур с различной объемной долей включений.

Таблица 1 6 . 4

Статистические характеристики полей деформирования для структур разной дисперсности с одинаковой объемной долей при чистом сдвиге

184

Таблица 1 6 . 5

Статистические характеристики полей деформирования для структур с различной объемной долей включений при чистом сдвиге

Для структур с одинаковой объемной долей средние деформации, вычисленные по формуле (16.4), всегда будут равны. В то же время исходя из отличия графиков моментных функций различных порядков для структур с одинаковой объ-

185

емной долей, но различными по своему размеру включениями можно полагать, что дисперсии полей деформирования для таких структур будут отличаться. Оба эти утверждения подтверждаются вычислениям – по результатам расчетов получаем, что дисперсности геометрии структуры оказывают влияние на дисперсии и коэффициенты вариации полей деформирования, однако средние величины от нее не зависят (см. табл. 16.4).

Полное первое (корреляционное) приближение решения задачи для пористых композитов было исследовано ранее в работах [3, 5, 6]. В табл. 16.6 сравниваются результаты вычисления средних величин и дисперсий полей деформаций в компонентах, полученные в данной работе в первом приближении, с результатами, вычисленными на основе методов из работы [3] для пористых композитов со структурами № 4 и № 7.

Таблица 1 6 . 6

Сравнение статистических характеристик полей деформаций в матрице в первом приближении решения задачи при чистом сдвиге

Для некоторых частных случаев можно получить точное решение для средних величин без расчета интегралов, используя эффективные модули упругости.

В случае пористых материалов существует точное тривиальное решение для средних напряжений в матрице [1, 2]:

186

где σ*ij – тензор макронапряжений, который выражается через тензор эффективных модулей упругости,

Компоненты тензора эффективных модулей упругости находятся по формуле

В случае чистого сдвига, средние деформации в матрице могут быть записаны как

ε12 M = 1M σ12 M .

2C1212

Подставляя в эту формулу выражение (16.1), с использованием (16.2) и (16.3), получаем оценку ненулевых средних деформаций в матрице для случая пористого композита при чистом сдвиге с использованием эффективной константы µ* = C1212* :

Для случая всестороннего растяжения выполняется равенствосредних деформаций инапряжений вматрице, откудаследует

187

Сравнение средних деформаций в матрице, полученных по результатам численных расчетов и по формуле (16.4) с использованием эффективных модулей упругости, представлено в табл. 16.7.

Таблица 1 6 . 7

Сравнение средних напряжений в матрице при чистом сдвиге

Перейдем к более общему случаю анизотропного деформирования – одноосному нагружению. В отличие от двух предыдущих рассмотренных случаев, макроскопическое напряжен- но-деформированное состояние задается с помощью компонент тензора макронапряжений, а затем компоненты тензора макродеформаций определяются при помощи закона Гука по формуле (16.2). Эффективные модули упругости определяются с помощью обобщенного сингулярного приближения.

Напряженно-деформированное состояние задается в следующем виде:

σ11 =1× 106 Па.

Тогда в случае одноосного нагружения

188

Таблица 1 6 . 8

Статистические характеристики полей деформирования для пористых материалов при одноосном нагружении

189

В табл. 16.8 приведены статистические характеристики полей деформирования для пористых материалов со структурами

№1 ( p = 0,15 ), № 4 ( p = 0, 20 ), № 5 ( p = 0, 20 ), № 6 ( p = 0, 25 ),

№7 ( p = 0,30 ) при одноосном нагружении.

Список литературы

1.Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. – М .: Наука, 1997. – 288 с.

2.Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та,

1978. – 208 с.

3.Евлампиева Н.В., Ташкинов A.A. Исследование полей деформаций и напряжений упругопластического композита // Математическое моделирование и краевые задачи: материалы Второй Всерос. науч. конф. 1–3 июня 2005 г.; Самар. гос. техн.

ун-т. – Самара , 2005. – Ч. 1. – С. 99–101.

4.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. –

М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. – 336 с.

5.Танкеева М.Г. Численные результаты расчёта средних значений и дисперсий структурных деформаций и напряжений в композитах // Механика микронеоднородных структур / УрО АН СССР. – Свердловск , 1988. – С. 53–58.

6.Танкеева М.Г. Расчёт статистических характеристик напряжений в однонаправленно армированных композитах с изотропными компонентами // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций / УрО АН

СССР. – Свердловск , 1989. – С. 22–26.

7.Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Метод последовательных приближений в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2010. –

Т. 16. – № 3. – С . 369–384.

190