Решение инженерных задач на высокопроизводительном вычислительном к

power disk laser welding // Plasma Science and Technology 14. – 2012. – No. 3. – 245 р.

14. Ho C.Y., Wen M.Y., Tsai Y.H., Ma C. Potential and electron density calculated for freely expanding plasma by an electron beam // Journal of Applied Physics 110. – 2011. – No. 1. –

013306–013306.

15. COMSOL Plasma Module User’s Guide. Версия 4.3а. Ру-

ководство пользователя [Электронный ресурс]. – URL: www. comsol.com/sla (дата обращения 01.10.2012).

16.Raizer Y.P. Gas Discharge Physics. – Springer, 1991.

17.Lieberman M.A., Lichtenberg A.J. Principles of Plasma Discharges and Materials Processing. – Willey, Hoboken, New Jersey, 2nd edition, 2005.

18.Rafatov I., Bogdanov E.A., Kudryavtsev A.A. On the numerical modeling of a dc driven glow discharge plasma // Proceedings

of the 30th International Conference on Phenomena in Ionized Gases (ICPIG 2011), August 28thSeptember 2nd. – Belfast, UK, 2011.

19.Gorokhovsky V. Modeling of DC Discharges in Argon at Low Pressures // COMSOL Conference 2012: User Presentations,

Plasma Physics.

20. Башенко В.В., Мауэр К.-О. Импульсный характер потоков заряженных частиц из канала при электронно-лучевой сварке // Автоматическая сварка. – 1982. – № 3. – С. 62–64.

21.Структура вторично-эмиссионного сигнала при элек- тронно-лучевой сварке с глубоким проплавлением / Д.Н. Трушников, В.М. Язовских, В.Я. Беленький, Л.Н. Кротов // Сварка

идиагностика. – 2008. – № 4. – С. 22–24.

22.Трушников Д.Н. Реконструкция формы канала проплавления при электронно-лучевой сварке с осцилляцией луча //

Сварка и диагностика. – 2013. – № 6. – С. 22–24.

171

ГЛАВА 16. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В КОМПОНЕНТАХ КОМПОЗИТОВ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДАХ МАКРООДНОРОДНОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Композиционные материалы широко применяются при проектировании высокотехнологичных конструкций и механизмов. Современные методы позволяют получать материалы со спектром уникальных характеристик, которые можно определять на стадии проектирования за счет выбора типов структуры композитов и физико-механических свойств компонентов. Для каждой конструкции может быть разработан материал, соответствующий ее назначению и условиям эксплуатации.

Актуальным является развитие таких моделей в механике композиционных материалов и конструкций, поскольку они позволяют вычислять параметры полей деформирования для каждой фазы композита, что необходимо для предсказания механизмов деформирования и разрушения в зависимости от геометрических параметров конструкции, условий нагружения и структуры материала, а также для оценки надежности и выработки рекомендаций при проектировании материалов и конструкций.

Значительное место среди композиционных материалов занимают структурно-неоднородные материалы, состоящие из включений, случайным образом расположенных в матрице. Для исследования подобных стохастически армированных композитов используются статистические методы, основанные на применении теории случайных функций. Преимущества таких методов в том, что они позволяют учитывать такой важный фактор реальной структуры композитов, как случайность взаимного расположения компонентов и статистический разброс их свойств. Таким

172

образом, решается задача определения характеристик стохастических полей напряжений и деформаций в элементах структуры композита по известным статистическим свойствам структуры и условиям нагружения.

Характеристики структурных полей деформирования микронеоднородных сред могут быть определены из решения стохастических краевых задач, в которых уравнения и граничные условия содержат случайные величины. Статистическую информацию о структуре, например, в виде многоточечных моментных функций можно получить, используя образцы композита или модель случайной структуры. Изменения таких параметров композитов, как статистический разброс формы, размеров и физико-механических свойств элементов структуры, могут существенно повлиять на неоднородные поля напряжений и деформаций в элементах структуры и отразиться на изменениях эффективных свойств композита, а также особенностях его механического поведения. Вычисление и анализ характеристик неоднородных полей деформирования с учетом влияния геометрии структуры и ее физических свойств – одна из центральных задач в механике композитов.

Для математического описания композитов используется структурно-феноменологический подход [1, 2]. Особенность подхода в том, что однородные физико-механические свойства элементов структуры задаются с помощью общепринятых в механике феноменологических уравнений и критериев, а характеристики структурных полей деформирования и эффективные свойства композита вычисляются из решений краевых задач, которые выражаются с помощью метода функций Грина [7, 11].

Проведены численные расчеты средних значений и дисперсий полей напряжений и деформаций для пористых композитов при упругом деформировании для частных случаев макрооднородного напряженно-деформированного состояния: всестороннее растяжение, чистый сдвиг, одноосное растяжение. Все численные расчеты реализованы в виде программного кода

173

в среде Wolfram Mathematica с использованием параллельных алгоритмов. Вычисления проводились на многопроцессорном кластере в Центре высокопроизводительных вычислительных систем Пермского национального исследовательского политехнического университета.

Для получения численного значения искомых статистических характеристик необходимо вычислить значения интегралов, входящих в формулы для безусловных моментов

ε′ij (r )ε′αβ (r ) , λ′(r )ε′ij (r ) , λ′(r )ε′ij (r )ε′αβ (r ) .

Рассмотрим частный случай макроскопического напря- женно-деформированного состояния – всестороннее растяжение, когда тензор eij в граничных условиях краевой задачи име-

ет три равные между собой ненулевые компоненты:

e11 = e22 = e33 = α.

При расчетах для определенности принималось α=10−6 . Будем рассматривать пористые материалы, когда упругие

свойства матрицы заданы через модуль Юнга и коэффициент Пуассона следующим образом:

EM = 2 1011 Па, νM = 0.3 .

Для пористых материалов достаточно вычислить моменты структурных напряжений и деформаций в матрице. Значение коэффициента вариации Vµ для пористых структур с объемной до-

лей от p = 0,15 до p = 0,30 изменяется в пределахот 0,42 до 0,63.

Сложность численных расчетов определяется порядком приближения решения краевой задачи и методикой его получения. При расчетах в первых производных функции Грина, в первом приближении решения задачи, выражения для безусловных моментов содержат три типа интегралов различной кратности, отличающихся друг от друга подынтегральным выражением,

174

в которое входят производные функции Грина и аппроксимирующие выражения для моментных функций. Во втором приближении количество интегралов увеличивается до восьми.

При решении во вторых производных функции Грина первое приближение также требует вычисления трех интегралов, однако во втором приближении их число возрастает до восемнадцати за счет слагаемых, представляющих собой перемножение формальной и сингулярных составляющих.

Интегрирование по объему всего тела в формулах, содержащих функцию Грина, можно заменить интегрированием по области статистической зависимости случайного поля структурных модулей упругости, т.е. области, где значения корреляци-

онной функций Kλ(2) (r , r1 ) отличны от нуля. Таким образом,

верхний предел интегрирования равен радиусу статистической зависимости. Его значения для различных геометрий структуры материала определены в табл. 16.1.

Поскольку поля макронапряжений и макродеформаций однородны, значения моментов, содержащих поля напряжений и деформаций, не зависят от координат. Это позволяет производить вычисления в точке r = 0 .

Для вычисления статистических характеристик и входящих в них интегралов использовалась вычислительная среда Wolfram Mathematica, которая предлагает ряд различных методов численного интегрирования. Каждый метод определяется стратегией и правилом интегрирования. Комбинируя стратегии и правила, можно задавать методы, наиболее подходящие для данного подынтегрального выражения.

Стратегии интегрирования определяют способ разбиения области интегрирования на подобласти. Каждый элемент может иметь свое подынтегральное выражение и соответствующее ему правило интегрирования, согласно которому задаются точки, в которых вычисляется значение интеграла.

Правила интегрирования предназначены для вычисления значения интеграла и погрешности в подобластях с использова-

175

нием, как правило, взвешенных сумм. Правило интегрирования вычисляет значения подынтегрального выражения в определяе-

оценка погрешности интеграла ∫ f (x)dx с помощью взвешенной

a

суммы ∑wi f (xi ) .

Разделяют адаптивные и неадаптивные стратегии интегрирования. Адаптивные стратегии пытаются найти проблемные области интегрирования и концентрируют вычислительные усилия (разбиение на подобласти) в них. Неадаптивные стратегии увеличивают число элементов разбиения одинаково во всей области интегрирования. Адаптивные стратегии интегрирования включают в себя следующие компоненты: правило интегрирования для вычисления значения интеграла и погрешности в области; метод, определяющий разбиение области на множество подобластей; критерий завершения процедуры интегрирования.

Существуют глобальная и локальная адаптивные стратегии интегрирования. Глобальная адаптивная стратегия основана на том, что из всех подобластей исходной области интегрирования выбирается подобласть с наибольшей погрешностью и делится пополам. Затем вычисляются значение интеграла и погрешность для каждой половины, и процедура повторяется для всего множества подобластей. После каждого такого шага пересчитываются глобальное значение интеграла и глобальная погрешность, которые представляют собой сумму значения интеграла и погрешности в каждой подобласти. Процедура интегрирования завершается при выполнении условия:

глобальная погрешность ≤ , глобальное значение интеграла*10− pg ,глобальная погрешность≤ 10−ag ,

где pg – заданная погрешность; ag – заданная точность.

176

Процедура также прерывается, когда количество последовательных разбиений превышает заданное число либо когда глобальная погрешность начинает сильно колебаться. Ожидается, что глобальная погрешность должна монотонно снижаться с увеличением числа областей.

Локальная адаптивная стратегия имеет исходную и рекурсивную процедуру. Исходная процедура вычисляет погрешность в подобластях, полученных разбиением области интегрирования на первом шаге. Рекурсивная процедура вычисляет значение интеграла и погрешность в каждой подобласти, используя заданное правило интегрирования. Если погрешность в подобластях значительно больше, чем исходная погрешность, принимается решение о продолжении рекурсивной процедуры, но только для данной подобласти. Погрешность для каждой из начальных подобластей определяется как сумма погрешностей, получаемых при реализации рекурсивной процедуры в данной подобласти.

При рекурсивной процедуре решение о продолжении разбиения подобласти принимается только на основе значения интеграла и погрешности для данной подобласти, поэтому стратегия называется локальной. Рекурсивная процедура останавливается, если достигнуто максимальное количество шагов разбиения, либо если погрешность интеграла в подобласти незначительна.

Главные отличия глобальной и локальной адаптивных стратегий:

–критерий остановки процедуры интегрирования для глобальной стратегии – когда сумма погрешностей для всех подобластей, удовлетворяющая заданной точности, в то время как при локальной стратегии процедура интегрирования завершается, когда погрешность в каждой подобласти мала по сравнению

спогрешностью интеграла;

–глобальная стратегия продолжает разбиение в регионе

снаибольшей погрешностью, в то время как локальная стратегия разбивает каждую подобласть, в которой погрешность недостаточно мала.

177

Для вычисления интегралов, входящих в выражения для безусловных моментов и содержащих первую производную функции Грина или формальную часть второй производной функции Грина, исследовалась возможность применения комбинации глобальной или локальной адаптивной стратегии в совокупности с трапецеидальным или многомерным правилом интегрирования.

Трапецеидальное правило основано на известной формуле

В общем случае трапецеидальное правило – это сумма Римана вида

Существует также многомерная модификация метода. Точность трапецеидального метода определяется количеством точек разбиения отрезка (области) интегрирования.

Многомерное правило интегрирования в Mathematica явля-

задается набор точек, удовлетворяющий следующим условиям: любая точка из множества может быть получена перемещением или заменой знака координаты любой другой точки из этого же множества; все точки множества имеют одинаковый весовой коэффициент.

Множество точек, соответствующее вышеописанным критериям, называется орбитой. Точка {x1 , x2 ,… , xd } , принадлежащая

178

орбите, для которой выполняется неравенство x1 ≥ x2≥ … ≥ xd , называется генератором [9, 10]. Если правило интегрирования име-

Для каждой стратегии интегрирования существует ограничение количества разбиений начальной области интегрирования. Если интеграл не сходится при заданном максимальном количестве разбиений, применяются специальные алгоритмы по обхождению сингулярности.

Формальная область интегрирования при вычислении интегралов со второй производной функции Грина задавалась путем исключения из области интегрирования точек, в которых подынтегральное выражение имеет особенность.

Первые производные функции Грина также имеют область сингулярности. Для интегрирования выражений с первыми производными применяется преобразование координат Даффи [8], принцип которого состоит в том, что интеграл по квадрату, кубу или гиперкубу с сингулярностью в одном из углов заменяется интегралом с сингулярностью вдоль линии.

При использовании глобальной адаптивной стратегии наблюдалась медленная либо осциллирующая сходимость интегралов, при этом увеличение количества разбиений интегрируемой области не приводило к улучшению сходимости. Локальные адаптивные стратегии позволяли добиться лучшей сходимости интеграла, однако при использовании трапецеидального правила интегрирования интегралы сходились медленнее, чем при многомерном правиле, результат при этом в пределах заданной погрешности был равным. Таким образом, для класса подынтегральных выражений, содержащих производные функции Грина

179

с сингулярностью и моментные функции, был выбран метод, комбинирующий локальную адаптивную стратегию и многомерное правило интегрирования.

Вычисление интегралов, содержащих первые или вторые производные функций Грина и моментные функции высших порядков, достаточно трудоемко. Для ускорения процесса счета в среде Wolfram Mathematica были применены алгоритмы параллельных вычислений. Вычисления проводились на 60 четырехядерных процессорах AMD Barcelona-3. Это позволяет улучшить производительность расчетов в 10–15 раз по сравнению с использованием обычного персонального компьютера со средней современной конфигурацией.

В табл. 16.1 представлены статистические характеристики полей деформирования, рассчитанные на основе второго приближения решения стохастической краевой задачи упругости композитов с использованием методики в первых производных функции Грина при всестороннем растяжении для материала со структурами № 1 ( p = 0,15 ), № 4 ( p = 0, 20 ), № 6 ( p = 0, 25 ),

№ 7 ( p = 0,30 ), параметры которых приведены в табл. 16.2.

Таблица 1 6 . 1

Характеристики полей деформирования в пористом материале при всестороннем растяжении

для структур с различной объемной долей

180