Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.9 Mб

Скачать

☆

1 / 261 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Т.В. Смышляева, Е.Ю. Рекка

МАТЕМАТИКА Введение в анализ, дифференциальное

исчисление функции одной переменной

Допущено Учебно-методическим объединением по профессионально-педагогическому образованию в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений, обучающихся по направлению 051000.62 – Профессиональное обучение (машиностроение и материалообработка)

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2013

УДК 517.1 (.21075.8) С50

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор В.Н. Аптуков (Пермский государственный национальный исследовательский университет);

д-р физ.-мат. наук, профессор А.Р. Абдуллаев (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Смышляева, Т.В.

С50 Математика: введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной : учеб. пособие / Т.В. Смышляева, Е.Ю. Рекка. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 251 с.

ISBN 978-5-398-01118-0

Содержание пособия охватывает программу соответствующей части дисциплины «Математика» действующих ФГОС 3-го поколения для большинства специальностей технических вузов. Материал изложен в доступной для самостоятельного изучения студентами форме.

Предназначено для преподавателей, студентов и лиц, занимающихся самообразованием по курсу высшей математики, а также будет полезно для преподавателей математики среднеспециальных учебных заведений машиностроительного, радиотехнического и экономического профилей.

УДК 517.1 (.21075.8)

ISBN 978-5-398-01118-0

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................	5
Глава 1. ФУНКЦИЯ .................................................................................	6
§ 1. Понятие функции. Область определения и область
значений функции. Основные способы задания функции ......................	6
Задачи .........................................................................................................	12
§ 2. Основные характеристики функции ................................................	14
Задачи .........................................................................................................	21
§ 3. Обратная функция. Сложная функция.
Основные элементарные функции и их графики ………....................... 24
Задачи .........................................................................................................	35
Глава 2. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ .............................................	39
§ 1. Числовая последовательность ..........................................................	39
Задачи .........................................................................................................	43
§ 2. Предел числовой последовательности .............................................	47
Задачи .........................................................................................................	49
§ 3. Предел функции .................................................................................	53
Задачи .........................................................................................................	59
§ 4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ......................	62
Задачи .........................................................................................................	68
§ 5. Правила предельного перехода ........................................................	71
Задачи .........................................................................................................	74
§ 6. Элементарные способы раскрытия неопределенностей ................	78
Задачи .........................................................................................................	82
§ 7. Первый замечательный предел..........................................................	94
Задачи..........................................................................................................	95
§ 8. Нахождение пределов вида lim [ f (x)]φ( x) ......................................	98
x→ x0
Задачи........................................................................................................	100
§ 9. Сравнение бесконечно малых функций..........................................	106
Задачи........................................................................................................	108
§ 10. Непрерывность функции. Точки разрыва
и их классификация ................................................................................	112
Задачи .......................................................................................................	120

Глава 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ............................	128
§ 1. Определение производной, её физический
и геометрический смысл ........................................................................	128
Задачи .......................................................................................................	135
§ 2. Таблица производных простейших элементарных функций… ...	141
Задачи .......................................................................................................	145
§ 3. Производная сложной и обратной функции .................................	149
Задачи .......................................................................................................	151
§ 4. Дифференцирование неявных и параметрически
заданных функций ..................................................................................	153
Задачи .......................................................................................................	156
§ 5. Логарифмическое дифференцирование .........................................	159
Задачи .......................................................................................................	160
§ 6. Производные высших порядков .....................................................	162
Задачи .......................................................................................................	165
§ 7. Дифференциал функции ..................................................................	169
Задачи .......................................................................................................	174
Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ .....................	177
§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши .................................................	177
Задачи .......................................................................................................	182
§ 2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя .....................	185
Задачи .......................................................................................................	188
§ 3. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции ............	195
Задачи .......................................................................................................	200
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции .............................	204
Задачи .......................................................................................................	208
§ 5. Выпуклость и вогнутость кривой ...................................................	215
Задачи .......................................................................................................	218
§ 6. Асимптоты ........................................................................................	222
Задачи .......................................................................................................	226
§ 7. Общая схема исследования функции и построения графика ......	232
Задачи .......................................................................................................	233
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА ...........................................................	246

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс математического анализа во втузе нередко вызывает определенные трудности у студентов по ряду причин (недостаточный уровень подготовки в школе, нехватка времени на изучение теоретического материала по современным стандартам и т.д.). Успешность изучения всего курса в значительной мере определяется навыками, приобретенными по части «Введение в анализ». Предлагаемое учебное пособие включает в себя следующие разделы: функция; предел и непрерывность; производная и дифференциал; применение дифференциального исчисления к исследованию функции.

Цель этого пособия – помочь студенту I курса в подготовке к практическим занятиям, контрольным работам, тестированию, выполнению расчетно-графических работ, зачетам и экзаменам.

Для максимальной доступности материала содержание пособия разделено на параграфы. Каждый параграф состоит из двух частей: в одной указаны основные формулы и рисунки, в другой – даются определения и замечания к ним. Такое построение пособия, как показывает практика, дает студенту широкие возможности для успешной самостоятельной работы.

При написании пособия методически обобщен многолетний опыт работы авторов на механико-технологическом факультете Пермского национального исследовательского политехнического университета. По характеру компоновки материала и стилю изложения данное пособие является продолжением пособия «Математика: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия».

Издание предназначено для студентов I курса высших технических учебных заведений. Помимо студентов книга может быть полезна для преподавателей математики среднеспециальных учебных заведений машиностроительного, радиотехнического и экономического профилей.

Глава 1. ФУНКЦИЯ

Понятие функции наряду с понятием числа и переменной величины является одним из главнейших понятий современной математики. С этим же понятием мы очень часто встречаемся в природе и технике, изучая различные процессы и явления. Поэтому остановимся на нем подробнее и начнем с рассмотрения понятия функции действительного переменного.

Начиная с XVII в., понятие функции прошло сложный и трудный путь развития, пока не было точно сформулировано в 1834 г. великим русским геометром Николаем Ивановичем Лобачевским* и независимо от него известным немецким математиком Леженом Дирихле.

§ 1. Понятие функции. Область определения и область значений функции. Основные способы задания функции

Основные формулы		Определения и замечания
и рисунки		Определения и замечания
и рисунки
		Определение
		Величина y называется
		функцией переменной	величи-
		ны x в области определения D,
		если каждому значению вели-
		чины x из этой области соответ-
		ствует единственное	опреде-
		ленное значение величины y.
1. Для обозначения	того,
что величина y есть некоторая
функция переменной величи-
ны x, употребляется символи-
ческая запись		Это равенство читается так:
y = f (x)	(1.1)	Это равенство читается так:
y = f (x)	(1.1)	«игрек равен эф от икс».

* Смотри историческую справку

Обозначение f (x) принад-

лежит Леонарду Эйлеру*.

x – независимая переменная

или аргумент.

y – зависимая переменная или функция.

Зависимость величины y от переменной величины x называется функциональной зависимостью.

f в отличие от букв x и y, означает не переменную величину, а то правило, тот закон, который определяет y как функцию от x.

Замечание 1

Знаки , ln , cos изобретены для обозначения определенных функций, а знак f может употребляться для обозначения любой, в том числе и неизвестной нам функции.

Замечание 2

Кроме буквы f для обозначения функции употребляются

и другие	буквы, например:
y = φ(x) ,	y = F (x) , y = y(x) и

т.д.

Точно так же необязательно функция и ее аргумент должны обозначаться буквами y и x, вполне возможно обозначать их и другими буквами.

Замечание 3

Если каждому значению аргумента x соответствует един-

			ственное значение y, то функция
			y = f (x) называется однознач-
			ной функцией от x, в против-
			ном случае y называют много-
			значной функцией.
2.	D( f )	(1.2)		Совокупность всех значе-
– область определения функ-			ний независимой переменной x,
ции y = f (x)			для которых функция y опреде-
			лена, называется областью оп-
			ределения или областью суще-
			ствования этой функции.
				Замечание
				Кратко область определения
			функциизаписывают так: О.О.Ф.
Область определения функции			может представлять собой:
а) интервал (a;b)			т.е. совокупность всех чисел x,
			удовлетворяющих неравенству
б) отрезок [a;b]			a < x < b .
б) отрезок [a;b]			т.е. совокупность всех чисел x,
			удовлетворяющих неравенству
в) полуинтервал,		закрытый	a ≤	x≤ b .
в) полуинтервал,		закрытый	т.е. совокупность всех чисел x,
слева [a;b)			удовлетворяющих неравенству
			a ≤	x< b .
г) полуинтервал,		закрытый	т.е. совокупность всех чисел x,
справа (a;b]			удовлетворяющих неравенству
			a < x ≤ b.
д) бесконечные интервалы:			т.е. x < a,
(−∞ ; a) ,			т.е. x < a,
(−∞ ; a] ,			т.е. x ≤ a,
(b; +∞ ) ,			т.е. x > b,
[b; +∞ )			т.е. x ≥ b		действи-
е) (−∞ +∞;	)			Множество всех	действи-
е) (−∞ +∞;	)		тельных чисел, т.е. x		R.
			тельных чисел, т.е. x		R.

Замечание 1

Если О.О.Ф. один или не-

сколько интервалов (конечных

или бесконечных)

числовой

оси, то мы имеем функцию не-

прерывного аргумента.

Замечание 2

ж) множество целых неот-

В случае (ж) мы имеем

рицательных

точек

числовой

функцию целочисленного ар-

оси, т.е. точек x = 0, x = 1, x = 2,

гумента.

x = 3,…

(или

некоторая

часть

этого множества).

E( f )

(1.3)

Совокупность всех

значе-

– область

значений

функ-

ний функции y называется об-

ции y = f (x)

ластью изменения функции.

Основные способы

задания функций

4. Табличное задание.

При этом способе выписы-

ваются в определенном порядке

…

значения аргумента

x , x

, x ,

…

... , xn и соответствующие

им

Рис. 1.1

значения функции y1, y2, y3,..., yn

(рис. 1.1).

Табличный способ задания

функций особенно распростра-

нен в естествознании и технике.

Числовые результаты последо-

вательных наблюдений какого-

нибудь процесса обычно груп-

пируются в виде таблицы.

Преимуществом

таблич-

ного задания функции являет-

ся то, что для каждого значе-

ния независимой переменной,

помещенного в таблице, мож-

но сразу, без всяких измерений

и вычислений, найти соответствующее значение функции.

Недостаток же табличного задания заключается в том, что при нем обычно невозможно задать функцию полностью: найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены втаблице.

Другим недостатком таб-

личного задания, особенно ярко проявляющимся при большом объеме таблицы, является отсутствие наглядности. По таблице весьма трудно выявить характер изменения функции при изменении независимой переменной.

5. Графическое задание Совокупность точек плоскости (xOy) , абсциссы которых

	являются значениями независи-
	мой переменной, а			ординаты –
	соответствующими			значениями
	функции, называется графиком
	данной функции.
	Часто графики			вычерчива-
	ются	автоматически			самопи-
	шущими приборами или изо-
	бражаются на		экране		дисплея
Рис. 1.2	(рис. 1.2).
	Замечание

	К	графику	функции, как
	и к таблице, не может быть не-
	посредственно		применен аппа-
	рат математического анализа, но
	график функции наряду с этим
	недостатком обладает				весьма
	важным преимуществом – на-
	глядностью, что делает его чрез-

1 / 261 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20225.6 Mб19Маркетинг..pdf
#
15.11.20227.87 Mб14Маркетинговые исследования..pdf
#
15.11.20229.96 Mб17Маркшейдерские работы при подземной разработке полезных ископаемых..pdf
#
15.11.20221.62 Mб32Маркшейдерское дело. Планирование горных работ. Часть 1. Открытые горн.pdf
#
15.11.202220.59 Mб523Марочник сталей и сплавов..pdf
#
15.11.20225.9 Mб14Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од..pdf
#
15.11.20221.52 Mб30Математическая обработка результатов геодезических измерений..pdf
#
15.11.20221.31 Mб31Математическая обработка результатов эксперимента..pdf
#
15.11.20228.19 Mб24Математическая статистика в технологии машиностроения..pdf
#
15.11.20228.08 Mб43Математические методы моделирования в геологии..pdf
#
15.11.20221.81 Mб43Математические модели движения транспортных средств..pdf