Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

вычайно полезным при изуче-

нии функции.

6. Аналитическое

задание

Следует запомнить:

(задание формулой)

символ f при аналитическом за-

y = f (x)

дании функции указывает на со-

вокупность математических дей-

ствий, которые нужно произве-

сти над x, чтобы

получить y,

атакженапорядокэтихдействий.

Частное значение функции

y |x=x = b

(1.4)

y = f (x) при x = x0

равно b.

0

или

f (x0 ) = b

Замечание

Аналитическое заданиефунк-

ции – основной способ задания

вматематическом анализе.

Преимущества аналитиче-

ского способа заключаются:

а) в сжатости, компактности

задания;

б) в возможности вычислить

значение функции

для любого

значения независимой перемен-

ной из области определения;

в) наконец, и это самое

главное, в возможности приме-

нить к данной функции аппарат

математического анализа.

Неудобствами

аналитичес-

когозадания функцииявляются:

а) недостаточная нагляд-

ность;

б) необходимость вычисле-

ний, подчас очень громоздких.

2

3)

g(x) = 3arcsinx + 2arctg2x при x = −

1

.

2

Решение

1)

Подставляя значение

x = 3 , получим соответствующее

частное значение функции f (x) :

f (3) =

32 + 4 3 − 5 = 16 = 4 .

2) При x =

π

получаем соответствующее частное значение

2

функции φ(x) :

π

3π

φ

= sin

− 4cosπ = −1+ 4

= 3 .

2

2

3)

Подставляя

x = −

1

,

находим частное значение функ-

ции g( x) :

2

1

1

π

π

g

−

= 3arcsin

−

+ 2arctg(−1) = 3

−

+ 2 −

= −π.

2

2

6

4

x + 6 ≥

0,

4 − x ≥

0,

x

2

− 7x +12

≥

0,

x − 5 ≠ 0.

для которых выполнено двойное неравенство −1 ≤

1 − 4x≤ 1 .

Решая его, получим

5

−5 ≤ 1− 4x≤ 5 ;

−6 ≤ − 4x≤ 4 ;

−1 ≤ x≤

3

.

2

Итак,

область определения заданной функции – отрезок

3

3

−1;

, т.е.

D( y) =

−1;

.

2

2

−2 ≤ 2cosx≤ 2 ;

−1 ≤ 1+ 2cosx≤ 3 .

Таким образом, E( y) = [−1;3] .

§ 2. Основные характеристики функции

Основные формулы

Определения

ирисунки

изамечания

1. Чётность и нечётность

функций

Обозначения

x – для любого х

x D – х принадлежит D

– следует

а)

y = f (x) – чётная функ-

Определение

ция, если

Функция

y = f (x)

называ-

x

D ,

f (x) = f (−x)

(1.5)

ется чётной, если для любого

значения х, взятого из области

определения функции, значение

(−x) также принадлежит об-

ласти определения и выполня-

ется равенство (1.5), т.е. при

изменении знака аргумента не

изменяется значение функции.

Следует запомнить:

график чётной функции сим-

метричен относительно оси ор-

Рис. 1.3

динат (OY ) (рис. 1.3).

б)

y = f (x) – нечётная функ-

Определение

Функция

y = f (x)

называ-

ция, если

ется нечётной, если для любого

x

D ,

f (−x) = − f (x)

(1.6)

значения х, взятого из области

определения функции,

значение

(−x) также принадлежит облас-

ти определения и выполняется

равенство (1.6), т.е. при измене-

нии знака аргумента изменяется

только знак (но не абсолютная

величина) функции.

Следует запомнить:

Рис. 1.4

график нечётной функции сим-

метричен

относительно начала

координат (рис. 1.4).

Замечание

Наряду с чётными и нечёт-

ными функциями есть функции,

не являющиеся ни теми, ни

другими,

например,

функции

y = 2x ,

y = lg x , y = arccos x ,

y = x не являются ни чётны-

ми, ни нечётными.

2. Возрастание и убыва-

y = f (x) называ-

ние функций

Функция

а)

y = f (x)

– возрастающая

ется возрастающей на некотором

функция, если из условия

интервале из области ее опреде-

x

> x f ( x

) > f ( x ) (1.7)

ления, если большему значению

2

1

2

1

аргумента из

рассматриваемого

интервала

соответствует боль-

шеезначениефункции(рис. 1.5).

Рис. 1.5

б)

y = f (x)

–

убывающая

Функция

y = f (x) называ-

функция, если из условия

ется убывающей на некотором

x

> x f (x

2

) < f (x ) (1.8)

интервале из области ее опре-

2

1

1

деления, если большему значе-

нию аргумента из рассматри-

ваемого интервала соответству-

ет меньшее значение функции

(рис. 1.6).

Следует запомнить:

возрастающие

и убывающие

функции на некотором интер-

вале из области ее определения

называются строго монотон-

Рис. 1.6

ными на этом интервале.

Замечание

Функция, не удовлетворяю-

щая указанным условиям на не-

котором интервале,

называется

немонотоннойнаэтоминтервале.

Пример

немонотонной на

[a;b] функции представлен на

рис. 1.7.

Рис. 1.7

в) y = f (x) – неубывающая

Функция

y = f (x)

называ-

функция, если из условия

ется

неубывающей

на

некото-

x2 > x1 f (x2 ) ≥

f (x1 )

(1.9)

ром

интервале из

области ее

определения,

если

большему

значению аргумента из рас-

сматриваемого интервала, соот-

ветствует не меньшее значение

функции (рис. 1.8).

Функция y =

x +

x

явля-

ется неубывающей на интерва-

ле (−∞ +∞; ) .

Рис. 1.8

г) y = f (x) – невозрастаю-

Функция y = f (x)

называ-

щая функция, если из условия

ется невозрастающей

на неко-

x

> x f (x ) ≤

f (x )

(1.10)

тором интервале из области ее

2

1

2

1

определения, если большему

значению аргумента из рас-

сматриваемого интервала, соот-

ветствует не большее значение

2

, x < 0, яв-

функции (рис. 1.9).

Функция

y =

x

0

0, x ≥

ляется невозрастающей на ин-

тервале (−∞ +∞;

) .

Следует запомнить:

функции возрастающие, убы-

вающие, невозрастающие и не-

убывающие называются моно-

Рис. 1.9

тонными функциями.

3. Ограниченностьфункций

Обозначения

Функция y = f (x)

x – существует такое х

а)

огра-

ничена снизу на множестве D,

если

m :

x D f (x) ≥ m

(1.11)

Функция y = f (x) , опреде-

ленная на множестве D, называ-

ется ограниченной снизу, если

существует число m такое, что

f (x) ≥ m , для любого х из мно-

жества D.

Геометрический

смысл

ограниченности функции снизу

на некотором множестве со-

стоит в том, что точки графика

функции, соответствующиеэтому

множеству, лежат не ниже го-

а

б

ризонтальной

прямой

y = m

Рис. 1.10

(рис. 1.10, а, б).

б)

Функция y = f (x)

огра-

Функция

y = f (x) ,

опреде-

ничена сверху на множестве D,

ленная на множестве D, назы-

если

M :

вается

ограниченной

сверху,

x

D f (x) ≤ M (1.12)

если существует число M такое,

что f (x) ≤

M , для любого х из

множества D.

Геометрический

смысл

ограниченности функции свер-

ху на

некотором

множестве

состоит в том, что точки гра-

фика функции, соответствую-

а

б

щие этому множеству, лежат

не выше горизонтальной пря-

Рис. 1.11

мой y = M (рис. 1.11, а, б).

в)

Функция y = f (x)

огра-

Функция

y = f (x) ,

опреде-

ничена

на

множестве D,

если

ленная на множестве D, назы-

M >

0 :

вается ограниченной, если су-

x

D

f (x)

≤ M

(1.13)

ществует

число M > 0

такое,

что

f (x)

≤

M , для любого x из

множества D.

Следует запомнить:

функция

y = f ( x)

ограничена

на множестве D, если она огра-

ничена снизу и сверху на этом

множестве.

Рис. 1.12

4. Периодичностьфункции.

y = f (x)

Функция y = f (x)

перио-

Функция

называ-

дическая, если

ется

периодической,

если су-

f (x ± T ) = f (x)

(1.14)

ществует

число

T ≠

0

такое,

что для любого

x из области

определения

y = f (x)

значения

x + T и

x − T

также принадле-

жат области определения функ-

ции

и выполняется

равенство

f (x ± T ) = f (x) (рис. 1.13).

Наименьшее

положитель-

Рис. 1.13

ное число T называется основ-

ным (наименьшим)

периодом

функции.

Замечание 1

Если число T – основной

период функции y = f (x) , тогда

любой период

этой

функции

имеет вид kT , k = ±1, ±2,...

Из тригонометрии

извест-

но,

что

функции

y = sin x ,