Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

а)

(

7x

)4

;

y = 1 +

б)

y = tg 5x ;

в)

y = cos2 x ;

г)

y = sin3 4x2 ;

arcsin

1

д)

y = e

x3 ;

е)

y =

1

.

4 (6 − x3 )3

Решение

а)

(

7x

)4

.

y = 1 +

б) y = tg 5x ,

y′ = (tg 5x)' =

1

(5x)′ =

1

5;

cos2

cos2

5x

5x

в) y = cos2 x ,

y′ = (cos2 x)'

= 2 cos x (cos x)′ = 2 cos x (−sin x) = − sin 2x;

arcsin

1

x3 ;

д) y = e

1

′

1

1

(

arcsin

)

arcsin

1 ′

arcsin

1

1

′

x3

x3

x3

y′ =

e

= e

arcsin

= e

=

1

x3

1−

x3

x6

arcsin

1

= e

x3

1

( x−3 )′ = e

x3

x

(−3x−4 ) =

;

−3e

arcsin

1

arcsin

1

3

x3

1−

1

x6 −1

x6 −1 x

x6

е) y =

1

;

4 (6 − x3 )3

1

′

− 3

′

3

− 7

y′ =

= (6 − x3 )

4

= −

(6

− x3 )

4 (6

− x3 )′ =

4

(6 − x3 )3

4

= −

3

(6 − x3 )−

7

(−3x2 ) =

9

x2

1

4

.

4 (6 − x3 )7

4

4

Задача 2.

Доказать

справедливость

формулы

(3.30,

§2)

yx' =

1

=

1

.

(sin y )'

cos y

cos y =

1 − sin2 y = 1− x2 ,

получим

y′ =

1

=

1

1 − x2

cos y

и окончательно

y′ = (arcsin x)' =

1

.

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1.

y = f ( x)

(3.50)

Равенство (3.50) определя-

ет функцию y от x в явном виде.

2.

F ( x, y ) = 0

(3.51)

Функция y от x называется

неявной, если она определяется

уравнением (3.51) (или уравне-

нием, сводящимся к этому ви-

ду), не разрешенным относи-

тельно y.

Замечание 1

Отметим, что термины «яв-

ная функция» и «неявная функ-

ция» характеризуют не природу

функций, а способ задания.

Замечание 2

Каждая

явная функция

y = f ( x)

может быть представ-

лена и как неявная

y − f ( x) = 0 ,

ноненаоборот.

3.

y′ = φ( x, y ) –

(3.52)

Следует запомнить:

x

для

нахождения

производной

производная

неявной

функции

выражается

через независимую

y′ =

dy

неявной

функции, за-

переменную x исаму функцию y.

x

dx

данной равенством (3.51), нуж-

но продифференцировать по x

обе

части

равенства

(3.51),

помня, что y есть функция от x,

и затем разрешить полученное

равенство относительно

иско-

мой производной y′x .

Замечание

φ( x, y ) = ψ( x, y ) ,

(3.53)

Если

неявная

функция y

от x задана уравнением (3.53),

φ( x, y ) ′ = ψ( x, y ) ′ . (3.54)

то производную y′x находим

из

нового

уравнения

(3.54),

полученного

дифференцирова-

нием по x обеих частей уравне-

ния (3.53).

x = x (t )

t – вспомогательная пере-

4.

(3.55)

менная, называемая параметром.

y = y (t )

Если независимая перемен-

ная x и функция y есть некото-

рые функции от t, т.е. (3.55), то

говорят, что функция y от x за-

дана параметрически с помо-

щью уравнений (3.55).

Параметр t может иметь

различное истолкование в со-

ответствии с характером функ-

циональной зависимости.

Параметрически

заданные

функции особенно часто встре-

чаются в механике при задании

траектории движения, причем

роль параметра играет время.

5.

y′

=

yt′

(3.56)

Функции x = x(t)

и y = y (t )

x

xt′

дифференцируемы в некоторой

– производная функции, задан-

области изменения параметра t

ной параметрически или

и xt′ ≠ 0 . Тогда производная y′x

dy

функции, заданной параметри-

dy

=

dt

.

(3.57)

чески, находится по формуле

(3.56).

dx

dx

Замечание

dt

Формула (3.56) дает воз-

можность находить

производ-

ную y′x от функции, заданной

y =

13

−

7x2

.

5

5

Продифференцировав y , имеем

y′ = −

7

2x , или y′ = −

14x

.

5

5

y′ = −

x + y2

.

2xy + 6 y3

1 +

(

)2

1

Следовательно,

y′( x =1) = −

−1

=

.

0

1 (−1) + 6(−1)3

4

2

y +1 =

1

(

)

4

x −1 , или x − 4 y − 5 = 0 – уравнение касательной.

Уравнение нормали определяем по формуле (3.13) §1.

Следовательно,

y +1 = −4( x −1) , или 4x + y − 3 = 0 – уравнение нормали.

Задача 4. Найти y′

=

dy

, если функция y от x задана пара-

x

dx

x

3t 2

+ 3

x = t − sin t

π

в точке, где t =

.

− cos t

y =1

2

y′

=

sin t

,

x

1

− cos t

π

и вычисляем её значение для точки касания

y′( x0 ) = y′

=1 .

Подставляя x0 , y0 и y′( x0 )

2

в уравнения (3.12, §1) и (3.13, §1),

2

нормали x + y −

π

= 0 .

2

§ 5. Логарифмическое дифференцирование

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1. (ln y)′ =

y′

f ′( x)

Логарифмической производ-

=

(3.58)

ной функции y = f ( x) называ-

y

f ( x)

– логарифмическая

произ-

ется производная от логарифма

водная функции y = f ( x).

этойфункции.

2.

Замечание

Дифференцирование

мно-

гих функций значительно уп-

рощается, если их предвари-

тельно прологарифмировать.

y = uv

(3.59)

показательно-степенная функ-

u = u ( x ) , v = v ( x) –

ция, где u = u ( x ) ,

v = v ( x)

диф-

ференцируемые функции от x,

u ( x) > 0 ;

ln y = v ln u,

(3.60)

Следует запомнить:

операция, состоящая в последо-

(ln y )′

=

y′

= (v ln u )′

(3.61)

вательном применении к функ-

ции f ( x)

сначала

логарифми-

y

или

рования (по основанию е) (фор-

мула (3.60)), а затем дифферен-

y′

u′

= v′ln u + v

цирования

(формула (3.61)),

y

u

называется

логарифмическим

или

дифференцированием.

v

u′

Замечание

y′ = u

v′ln u + v

Логарифмическое дифферен-

u

или

цирование

полезно

применять

и в том случае, когда заданная

y′ = uv ln u v′ + v uv−1 u′ .

функция содержит

логарифми-

рующиеся операции (умноже-

ние, деление, возведение в сте-

пень, извлечение корня).

y

2

1

1

= 2x ln arcctg 4x + x

−

4;

arcctg 4x

1 +16x2