Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

..pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
5.9 Mб
Скачать
☆

Рис. 4.38

Знаки y′′ показаны на схеме (рис. 4.38).

Поэтому в интервале (−∞ −; 2) кривая выпукла, а в интервале (−2; +∞ ) она вогнута.

Не имея точек перегиба, эта кривая меняет направление выпуклости при переходе x через точку разрыва x = −2 .

Задача 2. Выполнить эскиз графика функции y = f ( x) на интервале (a;b) , если y > 0 , y′ < 0 , y′′ > 0 .

Решение

Так как y′ < 0 , то функция убывает на интервале (a;b). Поскольку y′′ > 0 , то кривая вогнута на интервале (a;b). Эскиз графика представлен на рис. 4.39.

Рис. 4.39

Задача 3. По эскизу графика функции y = f ( x) на интервале (a;b) сделать вывод о знаках y , y′ и y′′ .

221

Рис. 4.40

Так как функция возрастает на интервале (a;b) , то y′ > 0 . Поскольку кривая выпукла на интервале (a;b) , то y′′ < 0 . Кроме этого y < 0 для любого x (a;b) , так как график функции y = f ( x) расположен нижеоси OX наинтервале (a;b) (рис. 4.40).

§ 6. Асимптоты

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1.

Прямая называется асимп-

 

тотой кривой, если расстояние d

 

от переменной точки M кривой

 

до этой прямой при удалении

 

точки M в бесконечность стре-

 

мится кнулю(рис. 4.41 и4.42).

Рис. 4.41

222

Рис. 4.42

Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные

2.

x = x0

(4.21)

 

Следует запомнить:

x = x0

–

уравнение

вертикальной

вертикальная асимптота

асимптоты кривой y = f ( x) .

существует только тогда, когда

 

 

 

x = x0

– точка разрыва второго

 

 

 

рода функции

y = f ( x) ,

т.е. ес-

 

 

 

ли хотя бы один из односторон-

 

 

 

них

 

пределов

lim

f ( x) ,

 

 

 

 

 

 

 

x→ x−

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

lim

f ( x) равенбесконечности.

 

 

 

x→ x+

0

 

 

 

 

 

 

 

0

Замечание 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Взаимное

расположение

 

 

 

бесконечной

ветви

кривой и

 

 

 

её

вертикальной

асимптоты

 

Рис. 4.43

x = x0

обнаруживается

иссле-

 

дованием знака бесконечности

 

 

 

(±∞

) ,

к которой

стремится

 

 

 

f ( x) , когда

x стремится к x

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

слева или справа. Это ясно из

 

 

 

рис. 4.43–4.46, где показаны

 

 

 

возможные случаи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

223

Рис. 4.44

Рис. 4.45

Рис. 4.46

224

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Может быть, что график

 

 

 

 

 

 

 

приближается к асимптоте толь-

 

 

 

 

 

 

 

ко с одной её стороны. Напри-

 

 

 

 

 

 

 

мер, это

будет

для функции

 

 

 

 

 

 

 

y = ln x

(рис. 4.47), где

x = 0

–

 

 

 

 

 

 

 

вертикальная асимптота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Непрерывные

функции

не

 

 

 

 

 

 

 

имеют вертикальных асимптот.

 

Рис. 4.47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

y = kx + b

 

 

 

(4.22)

Следует запомнить:

 

–

уравнение

 

наклонной

если существуют пределы (4.23)

асимптоты, где

 

 

 

 

и (4.24), то выполняется равенст-

 

 

 

 

во (4.22) и прямая y = kx + b есть

 

 

 

f ( x)

 

 

k = lim

 

 

наклонная асимптота.

 

 

 

 

 

 

,

(4.23)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

Если хотя бы один из пре-

b = lim [ f ( x)

− kx]

(4.24)

делов (4.23) или (4.24) не суще-

ствует,

то

кривая

наклонной

 

x→∞

 

 

 

 

асимптоты не имеет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Асимптотическое

поведе-

 

 

 

 

 

 

 

ние функции может быть раз-

 

 

 

 

 

 

 

личным при стремлении x к по-

 

 

 

 

 

 

 

ложительной или

отрицатель-

 

 

 

 

 

 

 

ной бесконечности, и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

следует

раздельно

рассматри-

 

 

 

 

 

 

 

вать случаи x → +∞

 

и x → −∞ .

 

 

 

 

 

 

 

Если существует асимпто-

 

 

 

 

 

 

 

та в первом случае, то мы бу-

 

 

 

 

 

 

 

дем называть её правосторон-

 

 

 

 

 

 

 

ней, а если во втором, то лево-

 

 

 

 

 

 

 

сторонней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

225

 

 

 

Замечание 2

 

 

 

 

Может случиться, что и при

 

 

 

x → +∞ ,

и при

x → −∞

преде-

 

 

 

лы и (4.23) и (4.24) одинаковы.

 

 

 

Это означает, что правосторон-

 

 

 

няя и левосторонняя асимптоты

 

 

 

являются частями одной и той

 

 

 

же прямой.

 

 

 

4.

y = b

(4.25)

Замечание 1

 

–

горизонтальная асимпто-

Горизонтальную асимптоту

можно рассматривать как част-

та, где

 

 

ный случай наклонной асим-

 

b = lim f ( x) .

 

 

 

птоты при

k = 0 , при условии,

 

x→∞

 

что существует конечный пре-

 

 

 

 

 

 

дел lim f ( x) = b .

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 2

y = f ( x)

 

 

 

График функции

 

 

 

(функция предполагается одно-

 

 

 

значной) не может иметь более

 

 

 

одной правосторонней (наклон-

 

 

 

ной или горизонтальной) и бо-

 

 

 

лее одной левосторонней (на-

 

 

 

клонной

или

горизонтальной)

 

 

 

асимптоты.

 

 

 

 

 

Задачи

 

 

 

 

Задача 1. Найти асимптоты кривой y = −5x + 3 .

 

Решение

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

Кривая имеет вертикальную асимптоту x = −2 , так как

 

lim −5x + 3 = −∞

, lim −5x + 3 = +∞

(см. рис. 4.45)

x→− −2 0 x + 2

x→− +2 0 x + 2

 

 

 

 

( x = −2 – точка разрыва II рода). Ищем наклонные асимптоты.

226

По формулам (4.23) и (4.24) имеем:

 

k = lim

 

f ( x)

=

lim

−5x + 3

= 0 ,

 

 

x2 + 2x

x→±∞

 

x →±∞x

 

b = lim [ f

( x) − kx]

= lim −5x + 3 = −5 .

x→±∞

 

 

 

→±∞x

x + 2

Так как k = 0 , данная кривая имеет горизонтальную асимптоту y = −5 (рис. 4.48).

Рис. 4.48

Задача 2. Найти асимптоты кривой y = −x2 + 7x . x − 3

Решение

Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 , поскольку

227

lim

−x2

+ 7x

= −∞

,

lim

−x2 + 7x

= +∞

(см. рис. 4.45).

 

− 3

 

 

x − 3

 

x→ −3 0 x

 

 

 

 

x→ +3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Ищем наклонные асимптоты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =

lim

 

−x2

+ 7x

 

= lim

−x2

+ 7x

 

= −1,

 

 

 

( x − 3) x

x2

− 3x

 

 

 

 

x

→±∞

 

 

→±∞x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−x2

+ 7x

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

b =

lim

 

 

 

 

 

+ x

=

lim

 

 

 

= 4.

 

 

x

− 3

 

x −

3

 

 

 

x→±∞

 

 

 

→±∞x

 

 

 

Следовательно, прямая y = −x + 4 служит наклонной асимптотой (рис. 4.49).

Рис. 4.49

228

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Найти асимптоты кривой y = xe x .

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 0 , так как

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e x

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim x e x = lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (правило Лопиталя) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x→+

0

→+x

0 1

 

 

∞

 

 

 

→+ x

0

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim e x = +∞

,

 

lim x e x = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x→−

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ищем наклонные асимптоты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

= lim

 

 

 

= lim e x =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x→+∞

 

x

 

 

→+∞x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x −1

0

 

b1 =

lim

xe x − x = lim x

e x −

1

= lim

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→+∞x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→+∞ x

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Применяя правило Лопиталя, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

−1

 

 

 

 

e x

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

= lim e x =1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

1

 

 

 

 

→+∞x

 

 

 

 

 

 

 

 

→+∞

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

 

 

прямая

y = x +1

 

будет

правосторонней

асимптотой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем левостороннюю асимптоту:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k2

= lim

 

 

= lim e x =1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−∞

 

 

 

→−x∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

229

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

e x −1

 

 

b =

lim xe x

− x

=

lim x e x −1

= lim

 

 

= 1

,

 

 

1

x→−∞

 

→−x∞

→−∞ x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Таким образом, прямая y = x +1 будет левосторонней асим-

птотой.

Согласно замечанию 2 п. 3 заключаем, что данная кривая имеет наклонную асимптоту y = x +1 (рис. 4.50).

Рис. 4.50

 

 

 

Задача 4. Найти асимптоты кривой

1

 

y =

 

.

ex −1

Решение

Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 0 , так как

230

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности