Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

Последовательность { xn} –

Последовательность

назы-

вается неубывающей,

если ка-

неубывающая, если

ждый последующий член по-

xn+1 ≥ xn

n

(2.6)

следовательности

не

меньше

своего предыдущего.

5. Последовательность {xn} –

Последовательность

назы-

вается строго убывающей, если

строгоубывающая, если

каждый последующий член по-

n

xn+1 < xn ,

(2.7)

следовательности

меньше сво-

его предыдущего.

1,

1

,

1

,...,

1

,...

(2.8)

Пример строго убывающей

4

9

n2

последовательности (2.8).

Последовательность {xn} –

Последовательность

назы-

вается

невозрастающей,

если

невозрастающая, если

каждый последующий член по-

n

xn+1 ≤ xn

(2.9)

следовательности

не

больше

своего предыдущего.

Замечание 1

Последовательности строго

возрастающие, строго убываю-

щие, неубывающие и невозрас-

тающие

называются монотон-

ными последовательностями.

6.

Замечание

Если переменная величина

{xn} изменяется не монотонно,

то её называют колеблющейся.

1, −1,1, −1,...,(−1)n ,...

(2.10)

Пример колеблющейся по-

следовательности (2.10).

7. Последовательность {xn}

Последовательность

назы-

ограничена

сверху, если

M

вается

ограниченной

сверху,

такое, что

n :

если существует число M такое,

что xn ≤

M для любого n.

xn ≤

M ,

(2.11)

1,

1

,

1

,...,

1

,...

(2.12)

В соответствии

с

приве-

2 3

n

денным

определением

после-

довательность (2.12) ограниче-

на сверху, так как существует

число M такое, что xn ≤

M для

любого n.

Можно, например, за чис-

ло M принять 10 или 5, или 2,

или 1

1

, или 1.

2

Замечание

В данном случае за число

M можно принять любое поло-

жительное число, большее или

равное 1.

8. Последовательность {xn}

Последовательность

назы-

ограничена снизу, если

m та-

вается

ограниченной

снизу,

кое, что n :

если существует число m такое,

что xn ≥

m для любого n.

xn ≥

m.

(2.13)

Замечание

В соответствии с приве-

денным определением последо-

вательность (2.12)

ограничена

снизу, причем за число m можно

принять 0; –1; и т.д. – вообще

любоенеположительное число.

9. Последовательность {xn}

Последовательность

назы-

ограничена, если M >

0 такое,

вается ограниченной, если она

что n :

ограничена сверху и снизу, т.е.

все её члены находятся в ко-

≤

xn

M .

(2.14)

нечном интервале (−M ; M ) .

Замечание

В соответствии с приве-

денным определением последо-

вательность

(2.12) ограничена.

За число M можно принять 1.

10. Последовательность { xn}

не ограничена,

если

M> 0

n :

> M ,

xn

(2.15)

1, 2,3,..., n,...

(2.16)

Пример

неограниченной

последовательности (2.16).

x

= 2−1 cos π =

1

(−1) = −

1

;

1

2

2

x

= 2−2 cos (2π)

=

1

1 =

1

;

2

4

4

x

= 2−3 cos (3π) =

1

(−1) = −

1

;

3

8

8

x

= 2−4

cos (4π) =

1

1 =

1

.

4

16

16

1

1

1

1

1

,

,

,

,

,...

3 1

3 2

3 3

3 4

3 5

Нетрудно заметить, что знаменатель каждой дроби равен

произведению 3 на n, т.е. 3n .

Итак, xn =

1

.

3n

б) Заметим, что числители каждого из заданных членов по-

11, 14, 17,… с первым членом b1 = 5 и разностью d = 3 . Следо-

вательно, b = 5 + 3(n −1) = 3n + 2 , поэтому

n

x

=

4n −1

.

n

3n + 2

12 + 1

,

22 + 1

,

32 + 1

,

42 + 1

,...

3

32

33

34

3,32 ,33 ,34 ,... с первым членом a1 и знаменателем q = 3 .

Следовательно, a

= a qn−1

= 3 3n−1

= 3n , поэтому

n

1

x =

n2 + 1

.

n

3n

Задача 3. Доказать, что последовательность x =

3n + 5

стро-

2n + 1

n

неравенство xn+1 < xn

(формула 2.7), или

xn+1

< 1 .

xn

x

=

3

(n + 1) + 5

=

3n + 3 + 5

=

3n + 8

.

n+1

2(n + 1) + 1

2n + 2 + 1 2n + 3

Тогда

x

+1

=

(3n

+ 8)

(2n

+ 1)

=

6n2 + 19n + 8

< 1,

n

x

n

(2n

+ 3)

(3n + 5)

6n2 +

19n + 15

а) x =

5n2

;

n

n2

+ 3

б)

xn =

(

)n

2n

sinn ;

−1

n +1

x = (

−1)n

в)

n .

n

а) Очевидно,

x

=

5n2

> 0 , т.е. последовательность огра-

n

n2 + 3

ничена снизу (формула 2.13).

С другой стороны, имеем

5n2

n2 + 3

− 3

3

=

5

= 5 1

−

< 5 .

n2 + 3

n2 +

3

n2 + 3

Тогда согласно п. 9 последовательность

{xn} ограничена,

так как M > 0 (например, M = 5 ), что

n

x

n

=

5n2

< 5 .

n2 + 3

б) Последовательность {xn} ограничена:

xn

=

(−1)n

2n

sin n

<

2n

< 2 .

n +1

n +1

Согласно формуле (2.14) M = 2 .

в) Последовательность {x

} = (−1)n

n

не ограничена, так

n

как

x

=

(−1)n n

= n и M> 0

n : n > M

,

т.е.

x

> M (фор-

n

n

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1. Символическая

запись

Читается: предел xn равен a

предела последовательности:

при

n,

стремящемся

к

∞

lim x = a

(2.17)

( xn →

a при n → ∞

)

n→∞

n

Замечание

Обозначение lim – сокра-

щение

латинского

слова

limes

(«лимес» – предел) и равнознач-

нофранцузскому limite (лимит).

2. Символическая запись оп-

ределения

предела последова-

тельности { xn = f (n)} :

lim xn = a

Число a называется преде-

n→∞

лом

последовательности

{xn} ,

( >ε 0

N>: n N

если для любого положитель-

xn − a

< ε)

(2.18)

ного числа ε

(эпсилон) сущест-

вует

такое

натуральное

число

N , что при всех n > N выпол-

няется неравенство

xn − a

< ε.

Замечание 1

Номер N = N(ε) зависит от

заданного значения величины ε .

Если уменьшить число ε , то

соответствующий ему номер N

увеличится.

Замечание 2

(Геометрическое истолкова-

ниепределапоследовательности).

Из неравенства (2.18) не-

посредственно вытекает,

что

a − ε < xn < a + ε , т.е. что все

члены последовательности { xn} ,

Рис. 2.1

за исключением лишь несколь-

ких начальных x1 , x2 ..., xN , при-

надлежат интервалу

(a − ε;a + ε)

(рис. 2.1).

Следует запомнить:

последовательность,

имеющая

предел, называется сходящей-

ся, не имеющая предела – рас-

ходящейся.

Последовательность не мо-

жет иметь двух различных пре-

делов.

Если последовательность

сходится, то она ограничена, т.е.

все её члены лежат на некото-

ром конечном интервале.

Свойства сходящихся

последовательностей

Пусть lim xn = a , lim yn = b .

n→∞

n→∞

3.

Предел суммы (разности)

lim ( xn ± yn ) =

двух

сходящихся

последова-

тельностей равен сумме (разно-

n→∞

(2.19)

сти) пределов этих последова-

= lim xn + lim yn = a + b

тельностей.

n→∞

→∞ n

Замечание

Это свойство распространя-

ется на случай любого конечного

числаслагаемых.

4.

( xn yn ) =

Предел произведения двух

lim

сходящихся

последовательно-

n→∞

(2.20)

стей

равен

произведению их

= lim xn lim yn = a b

пределов.

n→∞

→∞ n

Замечание

Это свойство распространя-

ется также на случай конечного

числасомножителей.

lim C xn

= C lim xn

(2.21)

Постоянный

множитель С

n→∞

→∞n

можно выносить за знак преде-

ла (С – любое число).

5.

Предел частного двух схо-

xn

lim x

a

дящихся последовательностей

lim

=

n→∞

n

=

(2.22)

равен частному

их пределов

yn

lim yn

b

n→∞

при условии, что lim yn ≠ 0 .

n→∞

n→∞

x − 5

=

5n

− 5

=

−5

=

5

Получим

n

n +1

n +1

n +1 .

5

< ε.

n +1

Решив это неравенство относительно n, находим n >

5

−1 .

ε

Таким образом, неравенство

xn − 5

< ε выполняется, если

номер N больше, чем

5

−1 , т.е.

N >

5

−1 . Поэтому в качестве

ε

ε

N можно взять целую часть числа

5

−1 ; это записывается

5

ε

так:

N = E

−1 .

ε

Итак,

для любого ε найдено такое

N (ε) ,

что из неравенства

n > N следует справедливость неравенства

xn − 5

< ε, а это и оз-

начает, что lim

5n

= 5 .

n +1

n→∞

Пусть, например, ε = 0,01. Тогда при ε = 0,01 получим

N = E

5

−1

= E

5

−1 = 499.

ε

0,01

Это значит, что все члены последовательности, начиная

с номера 500, содержатся в интервале

(5 − 0, 01;5 + 0, 01) или (4,99;5, 01) .

Проверка:

5 501

Пусть n = 501 ; тогда, так как x

=

5n

, x

=

=

2505

n

n + 1

501

501 +1

502

и

2505

− 5

=

5

, а

5

< 0, 01 – неравенство верно.

502

502

502

5 498

Если

n = 498 ,

то

x498

=

=

2490

,

2490

− 5

=

5

,

499

499

498 +1

499

а

5

> 0, 01 ;

499

5 497

n = 497 ,

то

x497 =

=

2485

,

2485

− 5

=

5

,

498

498

498

497 +1

а

5

> 0, 01 .

498