Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

Решение

f ( x + ∆ x)=

а) Дадим аргументу x приращение ∆

x

и найдем

= 3( x + ∆ x)2− 2( x+ ∆ x) .

(

)

(

)

Тогда приращение функции ∆ y=

f

x+ ∆

f

x

прини-

x−

мает вид:

∆ y= 3( x+ ∆ x)−2

2(+x ∆ −x) 3+x2

2=x

= 3x2 + 6x ∆ x+ 3(∆ x)−2

2−x ∆2 −x 3+x2

2=x

(

)2

x.

= 6x ∆ x+ 3 ∆

x − ∆2

Найдем предел ∆

y при ∆ x→

0 :

lim ∆ y=

3∆

(

)2

lim 6x ∆ +x

x− ∆ 2

=x

∆ x→

0

∆

→ x

0

=

lim 6x ∆

x+

(

)2

lim ∆2

=x

lim 3 ∆

x

−

∆ x→ 0

∆ →

x 0

∆ →

x 0

=

6x lim ∆

x+

(

)2

2 lim∆

=x

6x +0 3−0 2 =0 0.

3 lim ∆

x

−

∆

x→

0

∆ →

x 0

∆ →

x 0

Согласно определению 2 данная функция непрерывна при

любом значении x.

б)

Дадим

аргументу

x

приращение

∆

x

и

найдем

f ( x + ∆ x )=

cos ( x+ ∆

x ) .

Имеем ∆ y=

f

(

)

f

(

)

cos

(

+x ∆

−x

)

cos=x

используем

x+ ∆ x−

x=

формулу

α + β

sin

α− β

получаем

cos α − cos

β = −2sin

2

2

∆ x

∆

x

∆

x

sin

∆

x

x

∆

= −2sin x +

sin

= −2sin x +

2

=

2

2

∆

2

2

x

∆

2

∆

x

sin

x

2

∆

= −sin x +

x.

2

∆ x

2

sin

∆ x

∆ x

2

lim

= 1 и

sin x +

≤

1 ,

∆

2

∆

x→

0

x

2

то при любом x имеем:

sin

∆

x

∆ x

2

lim ∆ y=

lim −

sin x+

∆

x= 0 .

∆ x→

0

∆ →

x 0

2

∆ x

2

Следовательно, функция y = cos x непрерывна при любом x,

т.е. в интервале (−∞ +∞;

) .

Задача 3. Найти точку разрыва функции, исследовать её ха-

рактер.

f ( x) =

sin x

.

x

Решение

f (0) несуществует.

Вточке x = 0 функция разрывна, так как

Найдем lim

f

( x) = lim

sin x

=1 ,

lim

sin x

=1,

x→+ 0

→+x

0

x

x→−

0

x

т.е. lim f ( x) = lim f ( x) ≠

f (0) (формула 2.92).

x→+

0

→x−

0

x = 0

–

точка

устранимого

разрыва.

Функция y =

sin x

x

в точке x = 0

имеет неопределенность

0

. До тех пор, пока не-

0

π

π

y = f ( x ) , разбита на три промежутка: (−∞

;0] , 0;

,

; +∞

,

2

2

функций, составляющих функцию y = f ( x ) .

Вычислим односторонние пределы функции y = f ( x )

в точ-

ке x = 0 . Так как

f ( x ) = 2 − x

при x ≤ 0 , то

lim f ( x) = lim (2 − x) = 2 .

x→− 0

→x−

0

Так как

f ( x ) = cos x

при 0 < x <

π

, то

2

lim

f

( x) = lim cos x =1 .

x→+ 0

→+x

0

Следовательно, x = 0

– точка разрыва первого рода;

в ней

функция

y = f ( x ) претерпевает скачок, равный 1. Односторон-

ние пределы функции y = f ( x ) в точке x =

π

таковы:

2

lim

f ( x) =

lim

cos x = 0 [

f ( x ) = cos x при 0 < x <

π

];

x→ −π

0

→x − π

0

2

2

2

lim

f ( x) =

lim

0 = 0 [ f ( x ) = 0 при x ≥

π

].

x→ +π

0

→x +

π

0

2

2

2

Значение функции f ( x ) в точке

π

π

x =

равно

f

= 0 .

2

f ( x )

2

Отсюда следует, что в этой точке функция

непрерывна,

так как

π

lim

f ( x) = lim

f ( x) = f

= 0 .

x→ −π 0

→x + π

0

2

2

2

Таким образом,

исследуемая функция y = f ( x )

непрерывна

на всей числовой оси за исключением точки x = 0 ,

в которой

она претерпевает разрыв первого рода – конечный скачок.

Задача 6. Даны функции:

а) y =

1

;

x + 3

а)

Область

определения

данной

функции

x −( ∞ −; 3)− (+∞3;

) .

1

1

1

1

lim

=

= +∞ ,

lim

=

= −∞ .

x→− +3 0 x + 3

+0

x→− −3 0 x + 3

−0

Следовательно, при

x = −3

функция

y =

1

имеет беско-

x + 3

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1. f ′(x) = lim

∆ y

(3.1)

Производной

функции

∆ x

y = f (x)

называется

конечный

∆ x→ 0

или

предел отношения приращения

функции ∆ y к приращению ар-

f (x + ∆ x)− f (x)

f ′(x) = lim

(3.2)

гумента

∆ x,

когда

последнее

∆ x

произвольным

образом

стре-

∆ x→ 0

мится к нулю.

– при-

∆ y=

f (x+ ∆ x−)

f (x)

ращение функции.

Замечание 1

Для

каждого

значения x

производная f ′(x)

имеет опре-

деленное значение,

зависящее

от x, т.е. производная является

также функцией от x.

Замечание 2

Задача вычисления

произ-

водной

f ′(x)

данной функции

f (x) и составляет предмет диф-

ференциального исчисления.

2. Обозначенияпроизводной:

Читается:

y′

– «игрек штрих»

y′x

– «игрек штрих по икс»

f ′(x)

(3.3)

– «эф штрих от икс»

dy

– «дэ игрек по дэ икс»

dx

df (x)

– «дэ эф от икс по дэ икс»

dx

Замечание 1

Производную данной функ-

ции называют производной пер-

вого порядка или первой произ-

водной.

Замечание 2

Обозначения

dy

и

df (x)

dx

dx

были

введены

Лейбницем*,

а обозначения со штрихами y′

и f ′(x)

– Лагранжем*. Сам тер-

мин «производная» также вве-

ден Лагранжем на рубеже XVIII

и XIX веков.

Существуют и другие обо-

значения. Например, Ньютон*

для производной применял обо-

значение y («игрек с точкой»),

которое теперь употребляется в

механике и в теории колебаний,

когда независимой переменной

является время.

3.

f ′(x ) или y′

(3.4)

f ′(x0 ) – конкретное (част-

0

x= x 0

ное) значение производной при

–

значение производной в

какой-либо данной точке x0.

x = x .

0

Следует запомнить:

операция нахождения производ-

ной f ′(x) данной функции

f (x)

называется дифференцировани-

ем этойфункции.

Замечание

Функция

y = f ( x) ,

имею-

щая производную в каждой точ-

ке интервала (a;b) , называется

дифференцируемой в этом ин-

тервале.

4.

f ′(x0 ) = Vмгн

(3.5)

Если x – время, y = f ( x) –

координата точки, движущейся

по

прямой

в момент

x,

то

f ′(x0 )

– мгновенная скорость

точки

в момент времени

x0.

В этом заключается механиче-

ский смысл производной.

Замечание

Понятие производной при-

надлежит к числу фундамен-

тальных понятий математиче-

ского анализа. Один из основа-

телей анализа – И. Ньютон при-

шёл к понятию производной,

исходя из вопроса о скорости

движения.

I = lim

∆ Q

Если Q = Q (t ) – количество

5.

,

(3.6)

электричества, проходящего че-

∆ t→

0

∆ t

т.е. I = Q′(t)

рез поперечное сечение провод-

ника за время t, то сила тока I

в момент времени t определяется

∆ N

по формуле (3.6).

V = lim

,

(3.7)

Если N = N (t ) – количество

∆ t→

0

∆ t

вещества, вступающего в хими-

т.е. V = N ′(t)

ческую реакцию за время t, то

скорость химической реакции V

в момент времени t определяет-

ся по формуле (3.7).