Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

4x2

y′ = 2x ln arcctg 4x −

y ;

(

+16x

2 )

arcctg 4x 1

4x

2

2

y′ =

2x ln arcctg 4x −

(arcctg 4x)x .

(arcctg 4x)(1 +16x2 )

Задача 2. Найти производную функции

y = 4

(6x − 3) x3

.

(

− 5x

2 )2

1

(6x − 3) x3

1

(6x − 3) x3

ln y = ln 4

=

ln

=

(1 − 5x2 )2

4

(1 − 5x2 )2

=

1

(

6x − 3

)

+ 3ln x

− 2 ln

(

2 )

4

ln

1− 5x

;

y′

=

1

6

+

3

−

2

(−10x) =

1

2

+

3

+

20x

;

2

2

y 4 6x − 3 x 1 − 5x

4 2x −1

x 1

− 5x

y′

=

1

−5x2 + 8x −

3

;

y 4 x (2x −1)(1 − 5x2 )

y′ = −

1

5x2 − 8x + 3

y =

4

(2x −1)(1 − 5x

x

2 )

= −

1

5x2 − 8x + 3

4

(6x − 3) x3

.

(

2 )2

4 x

(2x −1)(1 − 5x2 )

1 − 5x

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1.

y′′ = ( y′)′ = f ′′( x)

(3.62)

Если y′ есть производная

от функции y = f ( x) , то произ-

водная от y′

называется второй

производной,

или производной

второго порядка от первона-

чальной функции y = f ( x).

2. Обозначение второй про-

Читается:

изводной:

y′′ ,

«игрек с двумя штрихами»,

f ′′( x),

(3.63)

«эф от икс с двумя штрихами»,

d 2 y

,

«дэ два игрек по дэ икс квадрат»,

dx2

d 2 f

«дэ два эф по дэ икс квадрат» .

dx2

3.

y′′′ = ( y′′)′

(3.64)

Производная от второй про-

изводной называется производ-

ной третьего порядка или треть-

ей производной.

4. Для обозначения произ-

водной третьего порядка упот-

ребляют один из

следующих

знаков:

y′′′ , f ′′′( x),

d 3 y

(3.65)

dx3

5.

y(n) = ( y(n−1) )′

(3.66)

Производной n-го порядка

(или n-й производной) называ-

ется производная от производ-

ной (n −1) порядка.

Замечание 1

Производные порядка выше

первого

называются производ-

ными высших порядков.

Замечание 2

Начиная с производной чет-

вертого

порядка, производные

обозначают римскими цифрами

или числами в скобках ( yV

или

y(5)

– производная пятого

по-

рядка).

Замечание 3

Порядок

производной

бе-

рется в скобки для того, чтобы

его нельзя было принять за по-

казатель степени.

6.

Замечание

Производные второго и во-

обще высших порядков оказыва-

ются существенно необходимы-

ми для определения важных по-

нятий математики, механики,

физики и для более полного ис-

следования функций, чем то, ко-

торое можно выполнить, приме-

f ′′( x0 ) = a

няялишьпервуюпроизводную.

(3.67)

Если x – время, y = f ( x) –

координата точки, движущейся

по

прямой,

в момент x,

то

f ′′( x0 )

– ускорение (a) этой

точки в момент времени x0.

В этом заключается меха-

нический смысл второй произ-

водной.

d

2

Первая производная неявной

7. Вторая производная

y

функции,

заданной равенством

2

от неявной функции:

dx

F ( x, y ) = 0 , выражается форму-

лой (3.52) §4.

d 2 y

dφ( x, y )

Следует запомнить:

=

=

вторую производную

d 2 y

от

2

dx

2

dx

dx

dy

неявной

функции

получим,

дифференцируя функцию φ( x, y)

= F x, y,

(3.68)

dx

по переменной x и помня при

этом, что y есть функция от x.

d 2 y

Заменяя в формуле (3.68)

= F x, y, φ( x, y )

=

dy

через φ( x, y ) ,

получим вы-

dx2

dx

второй

производной

= ψ( x, y )

(3.69)

ражение

d 2 y

через x и y.

dx2

Замечание

Аналогично и

все высшие

производные от неявной функ-

ции можно выразить только че-

рез x и y: каждый раз, когда при

дифференцировании появляется

производная

dy

, её следует за-

dx

менять через φ( x, y ) .

8. Пусть функция y = f ( x)

задана параметрическими урав-

нениями

x

= x (t ),

= y (t ).

y

Тогда

Замечание

= ( y′x )′t

Аналогично получаем про-

y′′

= ( y′ )′

,

(3.70)

изводные

четвертого

и более

xx

x

x

xt′

высокого порядка.

y′′′

=

( y′′

)′

(3.71)

xx

t .

xxx

xt′

Задачи

Задача 1. Найти y′′

для следующих функций:

а) y = x5 − 7x3 + 2 ;

б)

y =

x

;

(

x

)

6

+1

в)

y =

1

ln2 x .

2

Решение

а) Дифференцируя функцию y, получим y′ = 5x4 − 21x2 .

Дифференцируя

производную

y′ ,

получим

( y′)′ =

= y′′ = 20x3 − 42x.

б) Найдем y′ и y′′ :

y′

=

1 x +1 − x

=

1

,

6

(

x

)2

6

(

)2

+1

x +1

1

1

′

1

(

)−2 ′

1

(

)−3

1

y′′

=

6

(

x

)2

=

6

x +1

= −

3

x +1

= −

(

)3

.

+1

3

x +1

в) Найдем y′ и y′′ :

y′ =

1

2ln x

1

=

ln x

,

2

x

x

1

x − ln x

1 − ln x

y′′ =

x

=

.

x2

x2

y′ =

4 − 2x

, или y′ =

2 − x

.

2 y +10

y + 5

Найдем y′′ :

2 − x ′

−1( y + 5) − (2 − x) y′

y + 5 + (2 − x) y′

y′′ =

=

= −

.

( y + 5)

2

( y + 5)

2

y + 5

( y + 5) + (2 − x)

2 − x

2

2

( y +

5)

+ (2

− x)

y + 5

y′′ = −

= −

=

( y + 5)

( y + 5)

2

3

= −

y2

+ x2 +10 y − 4x + 29

.

( y +

5)3

y′′ = −

25

.

( y + 5)3

Задача 5. Найти

d 2 y

при

t = 0 , если функция y от x задана

dx2

параметрически:

2

+ 2t,

x = t

dy

= y′ =

1

.

dt

t

t +1

1

dy

=

=

1

=

1

(t +1)−2 .

= y′

t +1

dx

(

)2

x

2t + 2

2

2

t +1

( y′ )′

=

1

(−2)(t +1)−3 = −

1

.

(

)3

x t

2

t +1

( y′x )′

−

1

d 2 y

(

)3

1

= y′′

=

t

=

t +1

= −

,

dx2

x′

2(t +1)

(

)4

xx

2

t

t +1