Электронные генераторы. Фильтры учебное пособие

где ν = ωτ = ω ω /= 0 f / f0 .

Корни квадратного уравнения в знаменателе (1.29) являются полюсами функции (1.29). Представим это уравнение (по теории Виета) в виде

(у – у1)(у – у2) = 0,

где у = jν = jωτ = ωj ω / 0 ; у1, у2 – корни знаменателя (1.29), у1 =

= − 0,38, у2 = −2,62.

Более полно решение квадратного уравнения будет дано при рассмотрении моста Вина в разделе 1.6.

Сучетомнайденныхкорней(1.29) можнопредставитьввиде

плексной функции (1.30).

На рис. 1.4,в,г представлены асимптоты ЛАЧХ (диаграммы Боде) и ФЧХ этой функции. Асимптотическая ЛАЧХ (отрезки 1, 2, 3) получена суммированием асимптот 1 (асимптота нуля), 4 (асимптота полюса ω 1) и 5 (асимптота полюса ω 2). Асимптотическая ФЧХ (отрезки 6, 7, 8, 9, 10) получена суммированием асимптот 6 ( ϕ = 0 ), 11 (асимптота фазы полюса ω 1), 12

(асимптота фазы полюса ω 2 ) и 10 (асимптота ϕ = 180°). Асимптоты 11 и 12 построены по выражению (1.23) для частоты среза

ω 1 и ω 2 (вместо ω с в (1.23)).

Замечание. В теории фильтров (особенно при их синтезе) широко используется нормирование по частоте, приводящее расчет фильтров разного рода (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ЗФ), работающих на различных частотах, к расчету фильтра вполне определенного типа с определенной частотой среза, называемого фильтром-прототипом. В качестве фильтрапрототипа принимается ФНЧ, имеющий угловую частоту среза ω2 и нормированную частоту ν = ω ω/ 2 . Очевидно, что гра-

21

ничная частота (частота среза) полосы пропускания фильтра будет равна единице ( ν 2 =1 ).

Втеории фильтров нормируют и элементы фильтров С

иR относительно одного из сопротивлений фильтра. В результате элементы R и С становятся безразмерными. Переход от прототипа к конкретному фильтру с частотой ω

= K рад/с (неравной ωс) осуществляется делением на K всех емкостей (в RC-фильтрах) [6].

Переход от низкочастотного фильтра-прототипа к любому другому (требуемому) осуществляется путем преобразования частоты. Такиепреобразованияхорошоизученыиотработаны.

Впособии этот метод не используется, а нормированная

частота ν вводится лишь для сокращения формул и их преобразования.

Вфильтрах из элементов RC значительно больше, чем

вфильтрах из LC-элементов, затухает сигнал в полосе пропускания, что является недостатком таких фильтров. В последнее время фильтры типа RC находят преимущественное применение

вмикроэлектронике. Неизбежное существенное затухание в RC- фильтрах (всех разновидностей) в полосе пропускания легко компенсируется усилительными звеньями микросхем. Особенно эффективно использование фильтров из RC-элементов в сочетании с операционными усилителями (ОУ). Эти замечания относятся ко всем фильтрам (ФНЧ, ФВЧ, ФП и др.). В пособии,

восновном, рассматриваются фильтры (пассивные и активные) из элементов RC.

1.3.2. Фильтры верхних частот

Это фильтры, у которых полоса пропускания занимает диапазон с некоторой частоты fc (или f1), называемой частотой среза (подъема), до бесконечности (f2 ≈ ∞ ). Идеальный ФВЧ должен пропускать сигналы без ослабления (без затухания) от частоты среза fc до бесконечно большой частоты, а в полосе затухания (f < fc) не пропускать совсем. Передаточная характе-

22

ристика идеального ФВЧ представлена отрезками 1, 1′ на рис. 1.6,а. Реальные ФВЧ (как и ФНЧ) строят из физических звеньев RC-типа (рис. 1.5,а) или LC-типа (рис. 1.5,б). Передаточная (частотная) характеристика реального ФВЧ первого порядка (однозвенного) из элементов RC (см. рис. 1.5,а) может быть представлена формулой:

Рис. 1.5

Передаточная характеристика ФВЧ (1.31) включает в себя АЧХ и ФЧХ:

23

На практике чаще используют ЛАЧХ:

На рис. 1.6,а приведены ЛАЧХ (1.34) – кривая 2′ и асимптоты (1.35) – отрезок 1 и отрезок 2, имеющий наклон 20 дБ/дек.

ФЧХ (1.33) представлена на рис. 1.6,б кривой 1, а диаграмма Боде – асимптотами 2′, 2, 2″ . Асимптота 2 имеет наклон в 45°/дек.

Как и ФНЧ, типовые звенья ФВЧ (см. рис. 1.5,б) получают из двух полузвеньев ФВЧ. Схема полузвена ФВЧ приведена на рис. 1.5,в. Фильтры, показанные на рис. 1.5, являются фильтрами типа k.

Для получения более быстрого затухания в полосе затухания (f < fc) используют ФВЧ более высокого порядка (n = 2, 3, 4, …) точно так же, как было указано ранее при рассмотрении ФНЧ.

Фильтры верхних частот второго порядка

ФВЧ более высокого порядка (n > 1) получают так же, как ФНЧ (см. п. 1.3.1). Для примера рассмотрим ФВЧ второго порядка (n = 2), показанный на рис. 1.5,г. Его можно получить, соединив последовательно два звена ФВЧ (фильтров первого порядка). Для выполнения (1.18) необходимо, чтобы R2 >> R1, С2 << С1, С1R1 = C2 R2 = τ =1/ ω0 . Частотная характеристика тако-

го фильтра тоже равна квадрату частотной характеристики фильтра первого порядка (1.31):

25

Модуль (АЧХ) выражения (1.36) можно представить в виде

Модуль (1.37) может быть получен и как квадрат выражения (1.32). На рис. 1.6,а АЧХ (1.37) представлена графиком 3′, асимптоты (1.37) – отрезками 1, 3. Асимптота 3 имеет наклон 40 дБ/дек (2·20 дБ/дек). На рис. 1.6,б приведены асимптоты фазочастотной характеристики – отрезки 2′, 3. Асимптота 3 имеет наклон 90°/дек (2·45°/дек). Так же, как для ФНЧ, АЧХ (1.37) имеет

снижение на частоте fc 6 дБ ((1/ 2 )2 ). Снижение АЧХ (1.37) до

уровня – 3 дБ (1/ 2 ) происходит на частоте f1.2 > fc, т.е. тоже уменьшается полоса пропускания ФВЧ второго (более высокого)

26

Из (1.38) легко найти, что f1.2 = 1,55 fc. При любом другом порядке ФВЧ (n > 1) величина f1.n определяется аналогично (1.38):

ФВЧ второго порядка в неидеальных условиях

Как и в ФНЧ второго порядка, рассмотренном ранее, в ФВЧ при n > 1 (такие схемы называют «R-параллель») внутри фильтра (между звеньями) условия (1.18) могут не выполняться. Нередко выбирают в звеньях одинаковые элементы. Например, для схемы

на рис. 1.5,г: R1 = R2 = R, С1 = С2 = С.

При этом тоже анализируется вся схема сразу с учетом взаимного влияния звеньев. Аналогично (1.28) составляются уравнения для контурных токов i1, i2, из которых находятся i2 и U2 = i2R.

Числитель (1.39) можно представить так: (0 + jν )(0 + jν ) = = (0 + jω /ω 0)(0 + jω /ω 0), что означает, что асимптота числителя (1.39) выходит из нуля с наклоном 40 дБ/дек и проходит через точку ω0 на оси частот.

На рис. 1.6,в,г представлены асимптоты (диаграммы Боде) ЛАЧХ и ФЧХ функции (1.39). Асимптотическая ЛАЧХ (отрезки 1, 2, 3) получена суммированием асимптоты числителя (отрезок 1), асимптоты множителя полюса ω1 (отрезок 4), асимптоты множителя полюса ω2 (отрезок 5).

Знаменатель (1.39) совпадает со знаменателем (1.30), поэтому полюсы (1.39) те же:

ω1 = 0,38ω0, ω2 = 2,62ω0.

27

Асимптотическая ФЧХ (отрезки 6, 7, 8, 9, 10) получена суммированием асимптот 6 (φ = +180°), 11 (асимптота полюса ω1), 12 (асимптота полюса ω2) и 10 (φ = 0). Асимптоты 11, 12 построены по выражению (1.23) для частот среза ω1, ω2 (вместо ωс в (1.23)).

1.3.3. Полосовые фильтры

Полосовыми называются фильтры, которые пропускают

полосу частот от f1 до f2 (∆F = f2 – f 1), при этом f1 ≠ 0, f2 ≠ ∞ . С этой точки зрения некоторые типы усилителей (например, УНЧ) наря-

ду с усилением выполняют также функцию ПФ. Простейшим (но не лучшим) способом получения ПФ является последовательное соединение ФВЧ (см. рис. 1.5) и ФНЧ (см. рис. 1.3).

Полосовые фильтры типа LC

Наибольшее значение, особенно в радиотехнике, имеют ПФ из LC-элементов, имеющие малое затухание в полосе пропускания и большое – в полосе затухания.

Однозвенный Т-образный ПФ типа LC показан на рис. 1.7,а. Он составлен из двух полузвеньев (рис. 1.7,б). Последовательное плечо фильтра образуют элементы L1, C1, параллельное плечо – L2, C2. На рис. 1.7,в приведена АЧХ этого фильтра.

Из таких же двух полузвеньев может быть получено П-образное звено ПФ, имеющее такую же АЧХ. Для этих фильтров выбирают L1·C1 = L2·C2, а резонансная частота f0 последовательного и параллельного плеч (частота, на которой коэффициент передачи K0 максимален) является среднегеометрической величиной частот среза фильтра f1, f2 согласно (1.16):

28

включенный на входе или на выходе усилителя, а все остальные (неизбирательные) каскады усиливают сигналы в более широкой полосе. Однако все фильтры типа LC, в том числе и ФСС, несовместимы (или плохо совместимы) с микроэлектронной технологией. Поэтому иногда звенья типа LC используются как навесные элементы к усилительным микросхемам.

Для этого в микросхемах имеются специальные выводы, к которым подключаются навесные LC-звенья (это могут быть резонансные контуры и различные фильтры). Наиболее совместимыми по технологии с микросхемами являются фильтры на поверхностных активных волнах (ПАВ), которые с успехом заменяют ФСС из LC-звеньев. Фильтры на ПАВ будут рассмотрены далее.

Полосовые фильтры типа RC

ПФ типа RC можно получить тоже последовательным соединением ФВЧ и ФНЧ. Однако такие ПФ имеют большое затухание в полосе пропускания, низкую избирательность и не имеют практического значения. При необходимости применить любые фильтры типа RC (в том числе и полосовые) используют активные фильтры, в которых затухание в RC-фильтрах компенсируется усилением.

1.3.4. Режекторные (заграждающие) фильтры

Режекторные фильтры (РФ) не пропускают (подавляют) сигналы с частотами от f1 до f2, т.е. у РФ имеется полоса затуха-

ния ∆Fзат= f2 – f1. Сигналы с частотами f < f1 и f > f2 (вне полосы затухания) не должны подавляться РФ. Таким образом, РФ имеет

частотную характеристику, обратную частотной характеристике ПФ. Т-образная схема звена РФ типа LC приведена на рис. 1.8,а. Звено состоит из двух полузвеньев РФ (рис. 1.8,б). Параллельные контуры ПФ (см. рис. 1.7) заменены в РФ последовательными резонансными контурами, и, наоборот, последовательные колебательные контуры ПФ заменены в РФ параллельными контурами.

30