Электронные генераторы. Фильтры учебное пособие

Из выражений (1.13) с учетом (1.10) следует:

Равенства (1.16), (1.17) позволяют по экспериментальным АЧХ определять эквивалентные параметры сложных преобразователей частоты (например, микроэлектронных), для которых не могут быть использованы равенства (1.1) – (1.12).

Замечание. При создании резонансного усилителя задаются величинами f0 и ∆F. Из (1.17) определяют необходимую величину Qэкв, а из (1.7) – R рез. Контуры среднего качества имеют Qэкв = 20… 100. Если Qэкв < 20, то контур плохой, если Q > 100, то контур хороший. Q может достигать нескольких сотен. У кварцевых резонаторов Q > 10000.

Пример 1.1. Пусть имеется контур с Qэкв = 20. Требуется передавать сигналы, занимающие полосу частот шириной 6 кГц, т.е. ∆ F = f2 – f1 = 6 кГц. На какой несущей частоте f0 это возможно?

Согласно (1.17) f0 = ∆ F Q = 6 20 = 120 кГц. Приблизительно с такой частоты начинается длинноволновый диапазон радио.

Связанные контуры

В резонансных усилителях часто используют связанные контуры. Так называют два контура, между которыми имеется электрическая (индуктивная или емкостная) связь. АЧХ такой системы представлена кривой 2 на рис. 1.2,б. Связанные контуры позволяют получить более широкую полосу пропускания (∆ F′ > ∆ F) и более крутой спад АЧХ.

11

1.3. Пассивные фильтры

Анализ и синтез фильтров и теория частотного преобразования (фильтрации) электрических сигналов составляют обширный раздел науки. Потребность в такой фильтрации сигналов огромна и имеется во всем диапазоне частот от долей герца до сверхвысоких частот (СВЧ). Подробно фильтры рассмотрены в работе [1]. В пособии фильтры рассматриваются кратко.

В зависимости от диапазона пропускаемых частот фильтры подразделяются на следующие виды:

–фильтры нижних частот (ФНЧ);

–фильтры верхних частот (ФВЧ);

–полосовые фильтры (ПФ);

–заграждающие (режекторные) фильтры (РФ).

1.3.1. Фильтры нижних частот

Это фильтры, у которых полоса пропускания занимает диапазон от нулевой частоты (f1 = 0) до некоторой частоты fс (или f2), называемой частотой среза (спада). Идеальный ФНЧ должен пропускать сигналы без ослабления (без затухания) от нулевой частоты до частоты среза fс (при f ≤ fс), а выше fс (f ≥ fс) не пропускать совсем. Передаточная характеристика идеального ФНЧ представлена отрезками прямых (асимптотами) 1, 1′ на рис. 1.4,а. Однако реализовать идеальный ФНЧ нельзя. Все фильтры, в том числе и ФНЧ, строят из реальных физических элементов. Простейшие варианты ФНЧ, называемые звеньями, приведены на рис. 1.3 (а – звено RC, б – звено LC, в – полузвено LC). Фильтр, состоящий из одного звена, называют фильтром первого порядка, из двух звеньев, включенных последовательно, – фильтром второго порядка и т. д.

Звенья фильтров типа RC любого порядка в дальнейшем анализируются, как правило, при выполнении идеальных условий для каждого звена: выходное сопротивление Rг источника сигнала (предыдущего звена) много меньше входного сопротив-

12

ления Rвх последующего звена (на входе звена – источник ЭДС); сопротивление нагрузки Rн много больше выходного сопротивления Rвых звена (на выходе звена – холостой ход):

Рис. 1.3

Внутри многозвенных фильтров для выполнения этого условия последующие звенья выбираются более высокоомными, чем предыдущие. Например, для фильтра на рис. 1.3, г

или

R2 >> R1, С2 << С1, R1 C1 = R2 ·C2 .

Передаточная (частотная) характеристика ФНЧ первого порядка типа RC (см. рис. 1.3,а) может быть представлена формулой

где τ = RC, ωc = 2π fc = 1/RC.

13

Частотная характеристика (1.19) включает в себя амплитуд-

но-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики:

На рис. 1.4,а приведен график ЛАЧХ (1.21) (кривая 2′) и диаграммы Боде (1.22) (асимптоты 2 и 1) ФНЧ первого порядка (n = 1). Частоту fс называют также частотой сопряжения асимптот (2 и 1), (1 и 1′). Асимптота 2 и кривая 2′ вдали от fс имеют наклон в 20 дБ/дек в полосе затухания (f > fс), что весьма далеко от идеального фильтра. Чтобы получить более быстрое затухание (ближе к идеальному), используют фильтры более высокого порядка (второго, третьего и т. д.) – многозвенные фильтры. Каждое звено в таком фильтре дает наклон диаграммы Боде в 20 дБ/дек, а общий наклон – n 20 дБ/дек, где n – порядок (или число звеньев) фильтра.

На рис. 1.4,б приведена фазочастотная характеристика (1.20) ФНЧ первого порядка (кривая 1). Асимптотическая ФЧХ

14

(диаграммы Боде) на рис. 1.4,б представлена тремя отрезками прямых – 2′, 2, 2″ :

Рис. 1.4. (См. окончание на с. 16)

15

Произведение комплексных сопротивлений последовательного Z1 и параллельного Z2 звеньев постоянно и не зависит от частоты:

Оно является параметром фильтра. Параметр k используется в теории фильтров (при расчетах и анализе). По параметру k такие простейшие фильтры называют фильтрами типа k. Фильтрующие свойства фильтров типа k не высоки. Значительно лучшими фильтрующими свойствами и постоянством этих свойств обладают LC-фильтры типа т, в которых элементы L, C заменяются резонансными контурами. Фильтры типа т в пособии не рассматриваются. Приоритетными в пособии считаются активные RС-фильтры на базе ИМС.

Фильтры нижних частот второго порядка

Самый простой (но не самый эффективный) способ получения фильтров более высокого порядка (n > 1) – это последовательное соединение n одинаковых звеньев фильтра (фильтров первого порядка). Для примера рассмотрим ФНЧ второго порядка (n = 2), показанный на рис. 1.3,г. Его получают последовательным соединением двух звеньев ФНЧ. При выполнении идеальных условий (1.18а): R2 >> R1; C2 >> C1; R1C1 = R2C2 – частот-

ной характеристикой такого фильтра будет квадрат выражения

(1.19):

17

Модуль (1.26) может быть получен и как квадрат выраже-

ния (1.20).

На рис. 1.4,а АЧХ (1.25) представлена графиком 3′, асимптоты (1.26) – отрезками 1, 3. Асимптота 3 имеет наклон 40 дБ/дек

(2·20 дБ/дек).

На рис. 1.4,б показаны асимптоты фазочастотной характеристики (1.26) – отрезки 2′, 3. Асимптота 3 имеет наклон 90°/дек (2·45°/дек). На частоте fс каждое из двух звеньев ФЧХ дает снижение АЧХ на 3 дБ (1 2 ). Следовательно, снижение АЧХ

АЧХ (1.26) до 40 дБ/дек происходит уменьшение полосы пропускания фильтра второго (более высокого) порядка (0 – f2.2) по сравнению с полосой пропускания фильтра первого (более

низкого) порядка 0 – f2.1(f2.1= fс). Частоту среза ФНЧ второго порядка f2.2 можно найти из условия, что на частоте среза f2.2 мо-

дуль (1.26) уменьшится в 2 раза. Следовательно,

1 + ν22.2 = 2

или

18

Здесь было рассмотрено, как изменяются свойства фильтра при включении последовательно двух одинаковых звеньев (n = 2) с ω c= 1/ RC (при выполнении (1.18)). На практике (при расчете

фильтра) задача несколько иная: нужно рассчитать фильтр второго порядка с заданной полосой пропускания, т. е. заданной частотой среза ωс.з (величина ωс.з определяется требованиями нагрузки). Число звеньев увеличивается ( n >1 ) для улучшения избирательности (для увеличения крутизны спада ЛАЧХ в переходной области). Применительно к рассмотренному ФНЧ второго поряд-

что и даст заданную частоту среза fc.з = f0′ = 1,55f0.

19

Другими словами, как в усилителях, заданное на весь фильтр снижение в 3 дБ надо распределить между двумя (или между n) звеньями по 1,5 дБ (или по 3/n дБ), и тогда каждое звено на заданной частоте среза ωс будет давать снижение АЧХ (затухание) на 1,5 дБ (или на 3/n дБ).

ФНЧ второго порядка в неидеальных условиях

В многозвенных фильтрах идеальные условия (1.18) выполняются не всегда. Нередко включаются последовательно одинаковые звенья. Это приводит к взаимовлиянию звеньев и изменению параметров фильтра и требует совместного рассмотрения одновременно всей схемы фильтра с использованием традиционных методов (законов Кирхгофа). Для примера рассмотрим тот же фильтр НЧ второго порядка, показанный на рис. 1.3,г, но при равных величинах емкостей и сопротивлений звеньев (такую схему называют «C-параллель»):

R1 = R2 = R , C1 = C2 = C .

По рис. 1.3, г составляем уравнения для контурных токов

I1 , I2 :

где X =1/ jω C .

Из уравнений (1.28) находим I2 и U2 :

20