3 Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
Пусть известна некоторая нелинейная зависимость вида у = f(x). Требуется определить все те значения аргумента к =1,2,..., которые обращают функцию в
нуль:
f(xk) = 0. |
(3.1) |
Для поиска корней нелинейных уравнений, как правило (за небольшим исключением: квадратные, кубические, некоторые трансцендентные уравнения) используются итерационные методы.
Первоначально рассматриваются методы решения одного нелинейного уравнения, а затем - системы нелинейных уравнений.
Методы вычисления корней нелинейного уравнения1
Метод половинного деления2
Метод основан на одной из теорем математического анализа. Согласно [10], функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нуль внутри интервала.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [хо,х,]. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длины отрезка для локализации корня уравнения (3.1). Первоначально проверяются значения заданной функции на концах отрезка. В случае, если
f(xo)f(x,) = 0.
один из концов отрезка явЛЛется искомым корнем уравнения.
Пусть на концах отрока значения функции имеют разные знаки, то есть имеет место соотношение
f(x„)f(x,)< 0 .
Дополнительно мсто/Лл решали нелинейных уравнений рассматриваются в разделе, посвященном интерполяции фуАций.
2 Встречаются иные назвгйня этого метода - метод бисекции, дихотомии.
х0+х, Вычисляется значение аргумента в середине отрезка, х2 = ^ , и вычисляется
значение функции f(x2) в этой точке. Далее сравниваются знаки функции в точке х2 и, например, в левой точке х0 отрезка.
Если имеет место соотношение f(x0)f (x 2)< 0 (рис. 3.1), то корень следует искать на отрезке [х0,х 2]. В противном случае - корень разыскивается на отрезке [х2,х,]. В результате выполненной операции исходный отрезок сократился вдвое.
Рис. 3.1. Схема метода половинного деления
Далее, в зависимости от ситуации, отрезок вновь делится пополам,
X, + хп, f(xj)-f(x„)<0;
2
•f(x2) 'f(x«)>0'
и так далее.
Для прекращения вычислительной процедуры применяются различные критерии:
если функция достаточно “пологая”, имеет смысл использовать условие (рис.3.2а)
|хк+, - х к|< 8„;
- если функция “круто” меняет свое значение, целесообразно применять условие (рис.3.2Ь)
|У|ы|<6 у-
В случае, если заранее неизвестен характер “поведения” функции, имеет смысл
использовать одновременно оба условия для прекращения итерационного процесса.
Метод простых итераций
Этот метод заключается в замене уравнения (3.1) эквивалентным ему уравнением
вида |
|
= <р(х). |
(3.2) |
После этого строится итерационный процесс |
|
х<»«> = |
(3.3) |
при некотором заданном значении х,0). Для приведения выражения (3.1) к требуемому виду (3.2) можно воспользоваться простейшим приемом
f(x) = f(x) + x-x = О, х = х + f(x) = ф(х).
Если в выражении (3.2) положить ф(х) = x + xf(x), можно получить стандартный
вид итерационного процесса для поиска корней нелинейного уравнения:
(П+1) _ Y^11) I .
Ь = г - - ' И - ° -
Рассмотрим отрезок длиной 2г с центром в точке а: А = {х | |х - а| £ г}.
Теорема 3.1. Если функция <р(х) на отрезке А удовлетворяет условию Липшица1с
константой 0 < С < 1, причем |
|
|
|
|< р(а)-а|^(1 -С )г, |
(3.4) |
то уравнение (3.2) имеет |
на отрезке А единственное решение х, |
метод простой |
итерации х(п+,) = <р(х(п)) сходится к х при любом х(0) € А и имеет место оценка |
||
|
|x(N)- x |^ C N|x(0)- x |. |
(3.5) |
Доказательство. |
|
|
Докажем “по индукции”, что определяемые в соответствии с |
формулой (3.2) |
|
величины x(n) eA V n . |
|
|
х(0) е А по условию теоремы. |
|
|
Пусть х(п) еА ; покажем, что и x(lkfI) еА . |
|
|
В силу х(п+,) = <р(х(п)j |
имеем |
|
х1"*11- а = ф(х<п|) - а = ф(х(">)- а + ф(а) - ф(а) = (ф(х'*)) - ф(а))+(ф(а) - а), |
||
|х(.-|| _ а| s |
ф(а)| + |ф(а) - а| й С • |х(п| - а|+(1 - С) • г<.С • г+(1 - С) • г = г, |
|
тоесть х(п+1) еА .
Теперь оценим разность получаемых решений для произвольного п: |Х(.-И) - х(п,| = |ф(Х(п)) —ф(х<п",)jj £ С • |х(п) - х (п-"|.
Отсюда получаем
|х(п+1. _ х(")|^с.|х("> - x (“- " |s C 2.|x("-') - х ("“2,|^ ...^ С "-|х (,) - х (в)|.
Для двух произвольных значений х(р),х(ч) (для определенности положим р > q) на основании этого соотношения имеем
‘Липшиц |
Рудольф Отто Сигюмунд [14.5.1832 - 7.10.1903] - немецкий математик. С 1864 года |
||||
является профессором Боннского университета. В |
1900 |
году избран |
членом |
корреспондентом |
|
Парижской академии наук. |
|
|
|
|
|
Функция |
удовлетворяет условию Липшица |
на |
отрезке [а, |
Ь], если |
V x,,x2 e[a, b] |
|ф(х2) - ф(х,)| £ С|х2 —Х,|, С > 0 - константа [8].
xtp) _ x<4) = |x (p) |
- x l,)) = (xtp) - x tp",))+ (x (*’l) - x (p”2))+ (x (p-2) - x (4)) = |
||
= ... = f (x<k+l,- x <k)), |
|
|
|
k-qV |
|
|
|
L(P) _ x(q)| s g | x<^> _ x»>|s |xo _ x<°>gCk ^ ' W t c - z |
' c |
* = |
|
k-q |
k-ч |
k-0 |
|
= |x<" - x«j C4 |
(l + C +C 2 + ... + C « - ') = |x"' - x » |. C’ l- ^ |
g - |
S|x(I>- x < « > |£ . |
При выводе последнего соотношения использована формула для суммы членов геометрической прогрессии со знаменателем С, а также условие, что 0 < С < 1, и тем более 0 < С1"-4 <1. р > q .
Очевидно, что при p,q -> оо имеет место
|х(р) - х <ч)|-> 0 ,
и в соответствии с признаком Больцано - Коши1
Зх* е А, limx(n)=x*
п-»®
Переходя к пределу в соотношении x(n+,) = <p(x(n)), в силу непрерывности функции
ф(х) получаем
х* = Нш x(n+,) = lim ср(х(п)) = ф(х*),
П—>0О |
n—frao V |
/ |
V / |
то есть х* = х - решение уравнения (3.2).
■Больцано Бернард [5.10.1781 18.12.1848] - чешский математик, философ, теолог. В 1800 году закончил философский, а в 1805 - теологический факультеты Пражского университета. В этом же университете с 1805 года возглавлял кафедру истории религии, откуда был уволен в 1820 году з вольнодумство и лишен права публичных выступлений. После этого занимался исследованием в области логики и математики.
Коши Огюстен Луи [21.8.1789 23.5.1857] французский математик. В 1807 году окончил Политехническую школу', в 1810 юлу - Школу мостов и дорог в Париже. С 1810 по 1813 годы работал инженером в Шербурге. С 1816 года был избран членом Парижской академии наук. С 1816 по 1830 год преподавал в Политехнической школе и в Коллеж де Франс. С 1831 года стал иностранным почетным членом neTq>6yprcKofi академии наук. В 1848 году начал преподавать в Парижском университете.
Признак сходимости числовой последовательности Больцано-Коши [8]: для того, последовательность вещественных чисел имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы х1р; - х(ч) -> 0 при p,q -> оо.
Теперь |
покажем, |
что получаемое решение единственно. В самом деле, пусть |
= ф(х ), |
= <р(х~) |
- два различных решения уравнения (3.2). Тогда |
Iх’ - х~ |= |ф(*’)-ч>(х~12 СК - х" |•
что может иметь место при условии 0 < С < 1лишь в случае х* = х~
Оценим погрешность метода простой итерации после выполнения N итераций: |x‘Nl - х| = |<p(x,N- " ) - ф(х)|sCjxIN‘" - x |s C , |x,N' J1 - х| <;...,
откуда получаем:
|x(N) - x |^ C N|x(0) -х |.
Что и требовалось доказать.
Следствие 1. Если |ф'(х)| < С < 1 Vx € А , а также имеет место соотношение |<р(а)- а| S (1 - С)- г, х(0) <=А ,
то уравнение (3.2) имеет единственное решение, метод простых итераций сходится и имеет место оценка (3.5).
Действительно, согласно теореме Лагранжа1,
|ф(Ь) - ф(а)| = |ф'(^Хь - а)| = |ф'(01'|Ь а| й тах)ф '(^)| •|b - а|.
то есть в качестве константы условия Липшица можно принять
с= тах)ф '(^.
Вэтом случае условия теоремы (3.1) выполняются и все ее утверждения имеют
место.
1 Лагранж Жозеф Луи [25.11.1736 - 10.4.1813] - французский математик и механик. В 1755 году стал профессором Туринской артиллерийской школы. В 1759 году был избран членом Берлинской академии наук. С 1766 года был директором Математического класса Берлинской академии наук, с 1772 года - членом Парижской академии наук, с 1776 года - иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1795 году стал профессором Парижской Нормальной школы, с 1797 года профессором Политехнической школы.
Теорема Лагранжа [10]: если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [a, bj и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри этого интервала существует хотя бы одна
сй f(b)-f(a)
точка для которой-------------- |
= I (£). |
Ь- а
Рис. 3.4. Геометрический смысл процедуры метода Ньютона
Пример 3.2. Требуется определить корни уравнения |
f(x) = х2 - а = 0. |
||||
Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура |
|||||
ХМ 1 . Х, , . Ф |
1 |
|
|
||
|
- Х |
Г |
И |
‘ |
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
f'(x,°)) = 2x,“l , |
|
|
|||
,(«♦!) _ „О _ (Х' |
) ~ 8 _ х(»> _ 1 х1») + _ ± |
||||
|
2х(о) |
х |
|
2^ |
' 2х(п) |
Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению |
|||||
приводит к вычислительному процессу |
|
|
|
|
|
х,п*1 = |
+ |
— |
1 . |
|
|
х |
2l |
|
x M J |
|
|
Для а=2 “точное” решение х = Л = 1,4142135624. Результаты расчетов
приведены в табл. 3.2.
Последовательность получения приближенного решения уравнения х2 - 2 = 0 методом Ньютона
Номер |
Приближения решения |
||
итерации |
|||
2,0 |
-10,0 |
||
1 |
|||
2 |
1,5 |
-5.1 |
|
3 |
1,416666667 |
-2,746078431 |
|
4 |
1,414215686 |
-1.737194874 |
|
5 |
1,414213562 |
-1.444238095 |
|
6 |
1,4142135624 |
-1,414525655 |
|
7 |
1,4142135624 |
-1,414213597 |
|
8 |
1,4142135624 |
-1,4142135624 |
|
Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие предположения: |
|||
- х - корень уравнения |
f(x) = 0; |
|
|
- первая производная f'(x) * 0 Vx е А = {х | |х - х|< г}; |
|
||
- вторая производная f "(х) непрерывна в А; |
|
||
- константа С = |
- х| < I . где М, = inf|f'(x)| >0, |
М ; = sup|f"(x)| |
|
Тогда, если х(0) е А, то метод Ньютона сходится, причем |
|||
|
x(N)- x < с 2‘ -' х |
(3.7) |
|
Доказательство.
Для оценки погрешности решения воспользуемся формулой Тейлора для функции
f(x) возле точки х(п):
f(x) = f(x(nl) + f'(x<n,) (x - х"”) + J ^ ( x - х"")2 $<•> 6 (х '"\х ).
В силу f(x) = 0 получаем соотношение
f(x‘">) |
j , r t ' “ ) ( ; |
г (х (п)) |
> 2f'(x<"f |
С другой стороны, согласно методу Ньютона
f(x |
г |
/ ,n. |
f ( X ' n ) |
|
х'п1 - - |
Г |
/ i - |
||
|
(х |
), |
1 |
> Г (х - ) |
=(*<"' -*)+(*- *'“1 +^ | Ц ( х - ‘“О1
Отсюда,
fWc(n)\
X<D+1) - X = ТГ7-4(х- Х<П) )2. (3.8) 2f'(x(n)) V '
то есть имеет место квадратичная сходимость.
Пусть х(0) е А, £ е А . Из формулы (3.8) получаем
+ 2f'(x(0|) V >
то есть оценка (3.7) выполнена для N=1. Допустим, что формула (3.7) верна для произвольного q. С учетом условия С< 1, имеем
|х(ч>- х| < с 2<, ||х<0) - х| :£ |х,0) - х| < г ,
то есть х(ч) € А, £(ч) е А , а следовательно определены
М, = infjf'(х)| >0, М2 = sup|f"(x)j.
Из соотношения (3.8) получаем
2f'(x«)' > 2МЛ /
Согласно (3.7)
(х « - х ) 2 = |х<’>-х |'|х (ч) - х |^ С 2,-‘ •С2,-'(х(0) - х ) 2 =С 2,+,-2(х<,|) - х ) 2
С учетом этого, из предыдущего выражения следует:
и,*» |
1 2M,V |
< Ма.с ^ -» (х<« _ х)2 = с ,,*,-г[- ^ -|х ,°| - х|1 |х,0>- |
||||
1 |
' 2М, |
V |
' |
[2М ,1 |
'J 1 |
|
= С2<Н"2С-|х(0) - х| = С2<Н_1|х(0) -х|.
Но это как раз и означает, что формула (3.7) справедлива при N = q+1.
В силу С<1 из выражения (3.7) следует сходимость метода Ньютона:
|х(п) - х|--------- |
>0, |
что и требовалось доказать.
Модификации метода Ньютона
Одна из модификаций метода Ньютона заключается в том, что производную от функции f(x) определяют лишь один раз для начальной точки итерационного процесса (рис. 3.5 а):
х (п+1) _ х (п)
При таком способе решения уравнения скорость сходимости уменьшается, иногда существенно. Эту модификацию метода целесообразно применять в том случае, когда вычисление производной связано с большими затратами вычислительных ресурсов (времени, оперативной памяти), либо когда аналитический вид функции f(x) неизвестен, что часто бывает при решении прикладных инженерных проблем. Кроме того, практически всегда можно подобрать начальное значение х((1) таким образом, что f'(x(0)) * 0, то есть не будет аварийной остановки вычислительного алгоритма.
Другая модификация (метод секущих) заключается в замене производной функции f(x) ее разностным аналогом (рис. 3.5 Ь):
х (п+1) _ *<*»)
Г(х,п,)~ f(x<n_0) *
В этом случае получена двухточечная схема, то есть для начала расчетов необходимо задать две начальные точки х(,,\ х(,)
Пример 3.3. Определить корни уравнения
f(x) = х2 -4х + 3 = 0.
Точное решение этого уравнения: х, = I, х2 = 3.
Для использования метода простых итераций представим это уравнение в форме
(3.2): |
|
_ х2 +3 |
(р(х) = хг +3 |
4 |
4 |
4
Для проверки условий сходимости в качестве константы условия Липшица возьмем
|
X |
С= тах|ф'(х)| = т а х - |
|
хеЛ 1 v 71 |
х е Л 2 |
Очевидно, что 0 < С < 1 на интервале (-2, 2), г = 2. Центр интервала а = 0. При этих параметрах условие теоремы
|ф(а) “ а| = ^ > (1- С) • г = (1 - 0,9999...) • 2 = 0,0000.. .02
не выполняется, чем объясняется отсутствие сходимости решения, например, при начальном приближении х(0) =4.
Поскольку
Р(х) = 2х -4,
алгоритм метода Ньютона в соответствии с выражением (3.6) записывается в виде
|
и |
1 - » |
2х(п)- 4 |
2х(в)- 4 * |
|
Результаты вычисления по обоим алгоритмам приведены в табл. 3.3.
Рис. 3.5. Схемы модифицирования метода Ньютона:
а - с начальным значением касательной; b - метод секущих
Возможно, что на заданном отрезке может оказаться несколько корней. В этом случае итерационный процесс позволит вычислить какой-то один корень уравнения. Для отделения корней в некоторых случаях можно воспользоваться следующим приемом.
