- •Учебное пособие для студентов направления
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Прямые методы решения
- •NxU,'xIsp°Kx<01~4
- •lA(x<n)-xIB-^psHxl0,-xL-
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1
- •Системы нелинейных уравнений
- •Ilf-Pnll
- •Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса
Подсчитаем значение квадрата нормы поправки w(n'fl) = w11” - x^'B^Aw**’:
Jw—”||; =(B{W‘", - T,,,*1,B-'AW,",),WI“' - T("*"B-'AWi"i) =
=(Bw(n), w1"’)- Tln*',(Aw"”, W<”,) - T,"*I)(BWi“), B‘1Aw(",)+(T,"*',)J(Aw,“,,B'lAw(n,) =
=(BW1”’. WII”)-2 T,IW')(AW"", W'",) - ( T("'")!(AW("1, B^AW11”^
=||w""|fB-2 TI""||W'">|[ - ( T,,I*")J||AWI",|B, .
При получении последнего выражения использовались следующие соотношения:
(Bw|n,.B lAwi",) = ((B-'A)TBwln|,wl")) = (АВ 'Bw1"’,w|n|j = (AW1"1,w’"').
AT = A, (B ')T=B-‘,
IW<”,|IA =(AW1"1, W*"’),
||Aw,n)£., =(Aw"’ B-'AW'"1).
Очевидно, что величина ||w(”*l)flBбудет минимальной при условии
—L J s . = - 2||w(n)|A+2T,"‘I)||AW<“’1B.I = ° ,
T,„..) = K i l l = |
(Aw(”>, Ww) |
|AW(“’||b., |
(AW" 1, B^AW"”) ‘ |
Для реализации метода минимальных поправок требуется на каждой итерации решать систему уравнений Bw(n) = r(n), откуда находится сама поправка w(n) Кроме этого необходимо определить решение системы уравнений Bv(n) = Aw(n), а именно,
вычислить v(n) = B“,Aw(nJ, требующееся для нахождения итерационного параметра.
Погрешность метода минимальных поправок оценивается следующим образом (с
учетом введенного определения нормы):
lA(x<n)-xIB-^psHxl0,-xL-
Как и ранее, р0 = 7 —\\ |
= |
XminA max |
наименьшее и наибольшее |
1+ S |
|
|
|
собственные значения матрицы |
В *А ; |
п - номер итерации. |
|
Относительно погрешности zin) = х(п) - х итерационная схема Ричардсона, как это было уже показано ранее, принимает вид:
z (n+l) _ z (n)
-+Аzw =0.
-(n -H )
Отсюда, погрешность
z(n +1) _ z(n) _ т<п + ,)д2(п)
Определим выражение
jjz “■“!£= (Az‘ !. z'**") = (A (Z"" - T‘"-"Az ' z ' n; - т1 Az “') =
=(Az'”'. Z(“')-(A T'"'"AZ'°’. Z'"1)-(A Z"”. X'"'"AZ'°I)+(AX'°'"AZ'“I. T'“‘"Az'”’) =
=(Azln’.z,n,)-2xl"*ll(Az(",,Az("’)+(x,"-")!(A,z'“’.Az'nl) =
=|z'n,|:4 -2x'-"|Az",f +(х'"-"):!|Аг,п,|:л.
При выводе последнего соотношения использована симметричность матрицы А
(A AZ1”1. z1"1) =(Az'"‘. AZ‘“’).
Полученное выражение может рассматриваться как квадратичная функция итерационного параметра т1П+|). Воспользуемся теоремой Ферма для нахождения значения итерационного параметра, доставляющего экстремум этому выражению,
„ |A z'"f |
K '. A z " ) |
|A zf'£ |
(A ’Z1”1, Az10') |
Вторая производная |
|
d1z,n" t =jK t >o
d(x'“-"):
положительна в силу положительной определенности А. то есть выражение
|z‘n-|,|’ - (Az'"*1', Z '"*11) принимает наименьшее значение при найденном х (п+,)
Вспоминая, что Az(n> = г(п) - невязка решения системы уравнений, получаем
Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений методом скорейшего спуска оценивается выражением
||х‘"’ -х||А £ р п||х,0,-х||д , р0= Ь 1 , 4
где Xmi ,A.max - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А; п - номер итерации.
Неявный метод скорейшего спуска
Рассмотрим неявную итерационную схему вида
х(п+1) _ х (п)
В+ Ax(n) = f
х(п+1)
ссимметричной и положительно определенной матрицей В.
Для погрешности z(n) = х(п) - х эта схема принимает следующую форму:
- + Aztn) = 0 .
т (п+1)
Отсюда, z(n+,) = z(n) - T(n+1)B",Az(n).
Как и ранее, с учетом симметрии матрицы А, определим выражение
||zln*"|£ =(Az," " .z ,n*,,) =
= (Az",l.z lnl)-2 T 1"*l,(Az(n,,B 'lAz(n,) + (x,ntll)2(AB''Az(n,, B lAzl"l) =
= l|z,nt - 2 T'"*,>||AZ-”'£ .1+(X‘- ) 2||B"AZ>"'1;.
Благодаря положительной определенности матрицы А, (Az(n+I). z<n+n) >0,
минимум полученного выражения достигается при значении итерационного параметра
Цв-'A z'i; > v t '
Погрешность неявного метода скорейшего спуска оценивается неравенством:
|
К - XL *Ро1х - 4 |
Ро = i z i |
где kmin.A.max |
наименьшее и наибольшее |
собственные значения матрицы В_|А; |
п - номер итерации. |
|
|
Контрольные вопросы и задания
♦Какие методы решения системы линейных алгебраических уравнений называются прямыми и итерационными?
♦Сформулируйте условия существования и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений.
♦Сформулируйте условия разрешимости системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
♦ Покажите, какую структуру будут иметь матрицы, равные произведениям
А 'В. АВ"‘ если А и В являются обратимыми верхними (нижними)
треугольными матрицами.
♦Как можно вычислить определитель матрицы коэффициентов, используя процедуру метода Гаусса?
♦Обоснуйте возможность построения обратной матрицы с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений.
♦Выбор "главного" элемента при использовании метода Гаусса возможен с помощью перестановки либо строк, либо столбцов. Обоснуйте, какой вариант предпочтителен.
♦Сформулируйте условия применимости метода "квадратного корня" для решения системы линейных алгебраических уравнений.
♦Сравните методы Гаусса и квадратного корня для решения системы линейных алгебраических уравнений. Укажите достоинства и недостатки каждого из этих методов.
♦Сформулируйте понятие устойчивости системы линейных алгебраических уравнений.
♦Чему равно и что характеризует число обусловленности системы линейных алгебраических уравнений?
♦Определите смысл условия ||5А||<||а ' ,|| ' теоремы 2.3 .
♦ Какую погрешность, относительную у у или абсолютную ||бх||, целесообразно
IM
оценивать при выполнении вычислений на ЭВМ?
♦Приведите классификацию итерационных методов решения системы линейных алгебраических уравнений. Какие критерии можно использовать для остановки итерационного процесса?
♦Укажите геометрический смысл сходимости (расходимости) решения системы алгебраических уравнений при использовании итерационных методов.
♦Дайте определение понятия скорости сходимости итерационного процесса.
♦Обоснуйте идею и поясните условия применимости метода Якоби.
♦Обоснуйте идею и поясните условия применимости метода Зейделя.
♦ Покажите, что из условия В - 0.5тА > 0 теоремы 2.4 следует существование
обратной матрицы В*1.
♦Докажите справедливость неравенства (Dx, х) > 0. использованного при доказательстве следствия 1 из теоремы 2.4.
♦Укажите условия применимости метода верхней релаксации.
♦Сформулируйте условия сходимости стационарного итерационного метода.
♦Сформулируйте задачу, решение которой приводит к построению полинома Чебышева на отрезках [-1. 1] и [а, Ь].
♦В чем преимущество метода решения системы линейных алгебраических уравнений с чебышевским набором параметров?
♦Опишите порядок выбора итерационных параметров в методе минимальных невязок.
♦Опишите порядок выбора итерационных параметров в методе минимальных поправок.
♦Опишите порядок выбора итерационных параметров в явном методе скорейшего спуска.
♦Опишите порядок выбора итерационных параметров в неявном методе скорейшего спуска.