вычислений и оперативной памяти). Поэтому необходимо придерживаться "золотой
середины”: достижение приемлемых затрат ресурсов при получении удовлетворительной точности.
Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
Оценка погрешности результата вычисления при заданной ошибке в представлении данных может быть проведена следующим образом. Пусть х - точное
значение, |
а х - приближенное значение той же переменной. Обозначим абсолютную |
||
погрешность б в определении переменной разностью |
|||
|
|
6 = х —X . |
|
Поскольку точное значение х неизвестно, введем “верхнюю” оценку Д для |
|||
величины |
погрешности: |
|б| < А . Определим |
также величину относительной |
погрешности |
|
|
|
|
|
6 _ Х-Х |
X |
|
|
X X |
X |
Абсолютная погрешность делится на приближенное значение перемен ной. поскольку ее точное значение неизвестно.
Погрешности округления чисел в ЭВМ
Округлением будем называть операцию замены заданного числа другим числом,
первые S значащих цифр которого совпадают с соответствующими цифрами исходного числа, а начиная с S+I разряда содержат нули.
Многие практические способы округления чисел выполняют отбрасывание “лишних” разрядов, хотя возможны варианты, при которых в “младший” разряд
округленного числа, в зависимости от ситуации, может добавляться единица.
Пусть, |
например, х= 123456789, |
тогда при S=7 округленное число принимает |
значение |
х = 123456700. В этом |
случае погрешность округления равна |
б = х - х = 89<100=Д ,то есть не превышает единицы'(с соответствующим порядком) в младшем разряде округленного числа.
Всякое вещественное число в компьютере представляется в нормализованном виде
х = а рь, где р - основание, b - показатель степени (целые числа), - мантисса
(вещественное число). |
Для определенности и однозначности будем считать р=И), |
0.1 < а < 1,0. Ошибки |
округления появляются при хранении именно мантиссы |
вещественного числа. В представлении чисел на персональных компьютерах IBM достоверными могут быть 7 значащих цифр (для хранения числа отводится 4 байта оперативной памяти), 15 цифр (8 байт) или 19 (10 байт).
Рассмотрим оценки погрешности округления при S=7. Округленное число представляется в виде ±0,ХХХХХХХ-10ь, где под символом X может пониматься любая цифра от 0 до 9. Очевидно, что абсолютная погрешность определяется
значением |
|
|
|
|
|б| = |х - х| <; А = 1• 1(Г7 • 10b = 10b-s, S = 7. |
||
Модуль относительной погрешности |
|
||
|
j x - x l , --------- 101!-------- |
< J 0 l L =10- |
|
|
1 1 |х| |
О.ХХХХХХХЮ" |
0,1-10 |
Для некоторых частных случаев погрешность представления вещественных чисел |
|||
оценивается: |
|
|
|
S = 7, |
|е| <10^ =0,0001%, |
|
|
S = 15, |
|е| < 10'14 = 0,000000000001°/ |
|
|
S = 19, |
|е| < КГ'* = 0,0000000000000001%. |
|
|
Для всех чисел, представимых в электронно-вычислительной машине, относительная погрешность одна и та же, что очень существенно при получении оценок
погрешностей математических моделей.
Погрешность результатов вычисления арифметических операций
Оценим погрешность результата сложения двух чисел, заданных с ошибкой:
6=(х, + х ,)-(х , +х2) = (х, + х2)-(х , -6 , + х2 - 8 2) = 8 ,+ 8 2, |
|5|^Д , +Д2. |
Аналогично определяется погрешность результата вычитания: |
|
6 = (х ,- Х ;) - ( х1- х2) = (х1- х2) - ( х, - 5 , - х2 +52) = 8 1- 8 2, |
|8|< Д ,+ Д ; . |
Для определения абсолютных погрешностей операций умножения и деления двух чисел проведем соответствующие выкладки:
6 =(x, Xj)-(x, |
Xj) = (х, |
x,)-(x, -8,) |
(x, -8 .) = x, X, -x, •x, +8,x, +8,x, -6,6. = |
||
= 8,x2+ 62X, - 8,82; |
|
|
|
|
|
s _ x , |
X, |
X| |
x ,- 6 , _ V ( x , - 6 , ) - x , ( x , - 6 ,) _ x: 6 ,- x , 6 : |
||
x2 |
x, |
Xj |
x2 - 8 j |
x. (ic2 - 6 2) |
x. ( x ,- 6 .) |
Оценим относительные погрешности результатов умножения и деления:
. _х, |
|
8, _ |
8: |
Хг__х2 _ х2*81 - х, 8 2 |
х. |
х, X; |
х, • х2 _ е, - е |
Xj (X j-S 2) |
х, |
|
Хл |
X, |
|
|
В последних выражениях учитывается, что величины е ,.е 2 « 1 .
Таким образом, при выполнении арифметических операций сложения и вычитания
складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении относительные погрешности.
“Потеря порядка”и “переполнение”при проведении вычислений на ЭВМ |
|
|
||||
Пусть |
со |
наименьшее положительное |
число, |
представимое |
в ЭВМ: |
|
со = 1,1754943-10 п |
при использовании 4 байт, и |
со = 2,2250738585072014-10 |
при |
К- |
||
байтовом |
представлении вещественной переменной. |
Это означает, |
что |
все |
||
Действительные числа из интервала -со<х<со нельзя представить в ЭВМ в
Нормализованном виде. В этом случае приближение истинного числа в компьютере равно х = 0. Но это означает, что имеет место катастрофическая потеря точности арифметических вычислений:
х
Е = 1------ > ± эс, X * 0 . X
С другой стороны, пусть fl - наибольшее положительное число, представимое в ЭВМ. Все действительные числа |х| > fl нельзя представить в нормализованной форме. Приближение числа х определяется как х = П . Очевидно, что и в этом случае имеет
\
место потеря точности: е = 1------- |
>±х, х = П = const, х -> ± х . |
