Теорема 7.1. Если квадратурная формула Jf(x)dx = ]£ d kf(xk) является точной для |
||
. |
к=0 |
|
многочленов степени п, то она является квадратурной формулой |
||
интерполяционного типа. |
|
|
Доказательство. Покажем, что |
|
|
а.-с.-К[ ■ - ^ 4 - ^ - а - к ) |
k.G. |
|
{ (xk - x„)... (xk - xk ,)(xk - xk„ )... |
(xk - x„) |
|
Пусть функция f(x) является полиномом степени п, тогда ее можно представить
в форме полинома Лагранжа
|
1-0 |
|
|
/ч |
(х -х „ )...(х -х , .Х х -х и1) ...( х - х п) |
. |
---- |
Поскольку все функции Ф,(х), i = 0.n являются |
по |
построению полиномами |
|
степени п. то в соответствии с условием теоремы |
|
|
|
|
j<p1(x)dx = X d k<P1(xk) = X d k5 lk =dj, |
i = 0,n, |
|
так как согласно правилу построения полинома Лагранжа Ф*(хк) = 6л .
С другой стороны, согласно выражению (7.16)
г |
d v |
г |
(х-х„) |
...(х-х, ,)(х-х, .)... |
(x-xn) |
--- |
|
/ч, |
х ^ х = М |
----- И -а ----- |
^ |
---- ^dx = c ,. |
i = 0,n, |
||
. |
|
,(Х,-Х„)... |
(х,-х,.,Хх|- х ы )... |
(х,-х0) |
|
||
то есть d, = С,, |
i = 0,п, что и требовалось доказать. |
|
|
||||
Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса
Зададимся целью построить на заданной сетке П п точную квадратурную формулу вида (7.3) для полинома максимально возможной степени.
Рассмотрим полиномы вида х“, а = 0,ш. Для каждого такого полинома запишем
точную квадратурную формулу интерполяционного типа:
Jxadx = ]TCkx“. |
a = 0,m. |
(7.17) |
|||
. |
kMi |
|
|
|
|
В компонентной записи (после интегрирования): |
|
||||
|
a = 0, Ь -а = ]ГСк ; |
|
|||
|
, |
Ь’ - а 1 |
^ |
|
|
|
a = 1 - |
— |
L |
^ Z c kxk; |
|
|
|
|
k=o |
|
|
|
а = 2. |
^ |
3 |
= ± с л ; |
|
|
|
|
k=« |
|
|
|
|
b4 - Я4 |
n |
|
|
|
а = 3- V - = I C kx l; |
|
|||
|
а = ш, |
bm+l - a m+l |
m |
||
|
m + 1 |
= Z c kxk |
|||
|
|
k=0 |
|
||
Выражения (7.17) можно рассматривать как систему (m+1) нелинейного алгебраического уравнения относительно (2п+2) неизвестных,
С0,С р С2, ..., Сп, х0, хр х2, ..., хп.
Для разрешимости этой системы уравнений потребуем, чтобы число уравнений
было равно числу неизвестных, то есть ш+1=2п+2, откуда следует, что ш=2п+1.
Иными словами, задача заключается в выборе сетки Пп, содержащей (п+1) узлов,
обеспечивающей точность формулы (7.3) для полиномов степени (2п+1).
Пример |
7.1. |
Пусть |
а |
= |
-I, |
b = 1; |
рассматривается разностная сетка Ц , |
содержащая |
два |
узла: |
Хо |
и |
Х|. |
Требуется |
определить положения этих узлов м |
коэффициенты С0, С, для полинома степени ш = 2n + I = 3.
Система уравнений (7.17) для рассматриваемого случая принимает вид
- =С0 +С,; 0 = Сох0+С,х,;
~ = С0хп +С,х,;
0 = C„xJ +C,xJ.
Из второго уравнения |
0 = (2-С ,)х0+С,х|; *0 = |
С,*, . |
|||
С ,- 2 ’ |
|||||
|
|
|
|
||
Из последнего уравнения |
0 = (2 —С,) |
с М |
|
|
|
|
|
(С ,-2)3 |
|
||
Отсюда, при условии, что х, *0, получаем |
|
|
|||
C,J = (C ,-2 )J |
С, = ± (С ,-2 ), |
С, = 2—С ,, С ,=1. |
|||
Соответственно, |
|
|
|
|
|
С, = 2-С , = 1; |
х0 |
- ^ i - = -Xr |
|||
|
|
|
С ,- 2 |
1 |
|
Из оставшегося уравнения
- = С„х" + С,х? = 2xf
Отсюда вытекает, что
Jf(x)dx=f(x„) + f(xl) =
I
Эта формула точна для любого полинома третьей степени.
Теорема 7.2. Квадратурная формула (7.3) является точной для любого многочлена
степени m=2n+l тогда и только тогда, когда выполнены условия: |
|
1. Многочлен |
|
0)(х) = (х - х „ )(х - х ,) - ...(х - х п) |
|
ортогонален любому многочлену q(x) степени не выше п, то есть |
|
ь |
|
Ja>(x)q(x)dx = 0. |
(7.18) |
2. Формула (7.3) является квадратурной формулой интерполяционного типа,
ьрччем коэффициенты Ск. к О.п определяются согласно (7.16).
Доказательство. Докажем необходимость условия теоремы.
Пусть формула (7.3) точна для любого полинома степени ш=2п+1. Это означает, что она точна и для произведения to(x)q(x), имеющего степень не выше 2п+1, то есть
ьп
J<o(x)q(x)dx = £ C k<B(xk)q(xk) = 0.
a k=0
так как ©(xk) = 0 Vxk е£2п по построению функции ш(х).
Формула (7.16) справедлива в силу выполнения условий предыдущей теоремы 7.1. Докажем достаточность условии теоремы. Пусть выполнены требования 1 и 2;
f(x) - многочлен степени (2п+1). Представим f(x) в виде:
f(x) = a(x)q(x)+r(x),
причем q(x) и г(х) имеют степени не выше п.
Конструктивно такое разложение можно получить следующим образом. Для простоты положим п=1 (два узла), тогда ш=3. Пусть
f(x) = а + bx + сх: +dx3
- полином степени ш=3; ш(х) = (х - х 0)(х -х 1).
Пусть
q(x) = а + Рх, г(х) = у + 5х
- функции с коэффициентами а,р ,у ,5 , подлежащими определению. В этом случае
<о(x)q(x) + г(х) = Рх5 + (о -р (х 0 +х,))х! +(рх0х, - а(х„ +х,) + б)х +(ах0х, + у).
Из условия <o(x)q(x) + г(х) = f(x) получаем систему алгебраических уравнений
P=d;
a -P (x 0+xk) = c;
Px0x0-a (x 0+x0) +5 = b; ах0х„+у =
относительно искомых коэффициентов a,p,y,6 .
h |
b |
b |
ь |
Jf(x)dx = J©(x)q(x)dx + Jr(x)dx = Jr(x)dx.
a |
a |
a |
a |
Поскольку (7.3) является формулой интерполяционного типа, то она точна для полинома г(х). имеющего степень не выше п. Отсюда получаем
| r(x)dx = £ C kr(xk) = Z C k(f(xk)-ffl(xk)q(xk) ) = £ C kf(xk) .
J |
k-0 |
k=0 |
k=0 |
В последнем соотношении вновь учтено, что <o(xk) = 0, Vxk бП„.
Из двух последних выражений следует,
Jf(x)dx = £ C kf(xk),
ак=0
то есть формула (7.3) оказывается точной для любого многочлена степени (2п+1), что и требовалось доказать.
Использование в условии ортогональности (7.18) в качестве q(x) системы
полиномов а = ().п позволяет рассматривать это условие как систему
алгебраических уравнений относительно координат узлов разностной сетки хк, к = 0,п, что позволяет упростить построение формул Гаусса:
' ь |
|
|
Jl |
(х - х 0) ... (x-x„)dx = 0: |
|
а |
|
|
Ь |
|
|
, Jx |
(x-x„)-... (x-x„)dx = 0; |
(7.19) |
Ь
|х " (х -х„) „. (x-x„)dx = 0.
ъа
Пример 7.2. Пусть, как и в примере 7.1, а = -1, Ь = 1; рассматривается разностная сетка, состоящая из двух узлов: n = 1. Требуется определить положения узлов разностной сетки для полинома степени m = 2n + 1= 3.
(1
|
Jl-(x-x„Xx-x,)dx =0, |
|
-I |
|
I |
|
fx (x - x 0Xx-x,)dx =0. |
Интегрируем первое уравнение: |
|
| |
1 |
Jl • (х - х„Хх - Х1)<& = /(х 1 - х(х0 + Х|) +x0x,)dx = |
|
X X- , |
. |
у - у ( Х п + Х ,) + ХХ„Х, = -+2хЛх, =0,
Аналогично интегрируем второе уравнение системы:
J x (x -x 0)(x-x))dx= J(x3 - х 2(х0 +x,) +x x 0x,)dx =
х4 х3 / ч х2
— - y l X o + X . j + y X o X ,
х0=-х,.
Совместно решая полученные уравнения, получаем
- 4
что совпадает с результатом примера 7.1.
Рассмотрим условия существования и единственности системы уравнений (7.19). Представим полином
о(х) = (х-х0)-...(х -х 11)
в виде
(o(x) = a„ +а,х +а2х2 +... + xn+l
Условия ортогональности (7.18) |
|
|
|
jx“ (а0 + а,х + а2х2 + ... + xn+1)dx = 0, |
а = 0,п, |
b |
h |
|
Jxu |
(a„+a,x+ a2x2 - ...+anxn)dx = -Jxu |
xn+,dx. a = 0,n |
можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно
коэффициентов а к, к = (),п.
Рассмотрим соответствующую систему однородных уравнений |
|
|
Jxa (а,, + а,х + а 2х2 + ... + aIlxn)dx =0. а = 0,п. |
(7.20) |
|
Домножим каждое из этих однородных уравнений на соответствующее аа и |
||
просуммируем: |
|
|
п ^ |
|
|
£ j a (Ix“ (а0 +а,х + а 2х2 + |
-fanxn)dx = 0. |
|
а=»„ |
|
|
Ь |
п |
|
J(aH+ а,х + а2х2 + ... +anx")^aaxadx = 0, |
|
|
а |
|
|
j ' f11=0i X/ x“] |
dx=0- |
|
Отсюда очевидно, что последнее равенство возможно лишь при условии
= о .
i/ -0
откуда, в силу линейном независимости функций \ и а =0,п . следует
=-- 0, а = 67п .
Это означает, что однородная система (7.20) имеет только тривиальное решена, то есть определитель системы уравнений отличен от нуля. Таким образом. Полином
о>(х)-(х х,,)-... (х -х„)
определяется единственным обр;
Теорема 7 3 . Если многочлен а (х ) степени п ортогонален на [a,b] любому
многочлену степени меньше п, то корни многочлены <о(х) различны и расположены на этом отрезке.
Доказательство. Предположим, что многочлен ©(х) имеет m различных корней нечетной кратности на [а, Ь]. Очевидно, что ш < п. Покажем, что m = п.
Обозначим корни 4|. £2..... £m; представим ©(х) в виде
и(х) =(х -^ )и'(х - ^ Г - ...(х - ^ П1)а*г(х),
где а , . а 2,...,а т - нечетные числа, функция г(х) не меняет знак на [а, Ь]. Вычислим интеграл:
J = |ш(хХх-^Хх-^.; ... (x-^m) r(x)dx=
(7.21)
= } ( х - ^ Г '( х - ^ Г 1• ..,(x - ^ m)“*tl .r(x)dx.
а
Поскольку а, +1, а 2 +1..... а т +1 - четные числа и г(х) знакопостоянна на [а, Ь], то интеграл (7.21) отличен от нуля. С другой стороны, если m < п, то многочлен
4(x)=(x-4lXx-^)---(x-^m)
имеет степень меньше п. и по условию теоремы имеем J = 0. Следовательно. m=n, что и требовалось доказать.
Погрешность интерполяционных формул Гаусса определяется выражением
^ = |
s е(а ь ] |
и оценивается неравенством
М;п=п|ах1|г|!",(х^
Контрольные вопросы и задания
♦Определите понятия “квадратурная формула” и “квадратурная сумма”.
♦Как оценивается погрешность квадратурной формулы?
♦Как определяется порядок погрешности квадратурной формулы?
♦Получите оценку точности квадратурной формулы для варианта метода прямоугольников, изображенного на рис. 7.2.
♦ Поясните с помощью рисунков 7.1 и 7.2 преимущество формулы (7.5) перед
Лк
квадратурной формулой J f(x)dx » f(xk_,)h .
♦Оцените точность квадратурных формул методов трапеций и Симпсона.
♦Оцените погрешность квадратурной формулы Эйлера (7.13).
♦ Поясните идею оценки погрешности квадратурных формул методом Рунге.
♦ При оценке точности квадратурных формул методом Рунге используется
выражение J k - Jh k ; |
2P-I |
I (*^h/2.k Jh.k)‘ Проанализируйте величину погрешности |
|
|
2*~х-V |
в случае, когда р = 1.
♦Как оценить погрешность квадратурной формулы при интегрировании с переменным шагом?
♦Какие формулы приближенного интегрирования относятся к квадратурным формулам интерполяционного типа?
♦В каком случае квадратурная формула интерполяционного типа является точной?
♦Какие формулы приближенного интегрирования являются квадратурными формулами наивысшей точности?
♦Какая идея лежит в основе построения квадратурных формул Гаусса наивысшей точности?
♦Проверьте точность интегрирования полиномов для случая, рассмотренного в примере 7.1.
♦ Покажите, что если формулы Гаусса точны V ха, а = 0,п, то они точны и для
любого полинома Рп(х) степени п.
П Р Е Д М Е Т н ы й У К А З А Т Е Л Ь
А
аппроксимация функции |
94 |
— Ньютона |
|
80,88 |
------в гильбертовом пространстве |
117 |
------модифицированный |
|
84 |
Б |
|
— обратных итераций |
|
141 |
|
— половинного деления |
|
73 |
|
Больцано Б. |
78 |
— простых итераций |
48, 75, 87 |
|
В |
|
—релаксации |
|
88 |
|
— решения итерационный |
|
42 |
|
Вандермонд А.Т. |
95 |
—решения, прямой |
|
17 |
|
|
—с чебышевским набором пнрамегрон |
61 |
|
Г |
|
------------ , неявный |
|
65 |
Гаусс К.Ф. |
17 |
— секущих |
|
84 |
— скорейшего спуска |
|
69 |
||
Горнер У.Д. |
96 |
|
||
--------- , неявный |
|
70 |
||
|
|
|
||
3 |
|
— стационарный |
|
48 |
|
— степенной |
|
140 |
|
Зейдель Ф.Л. |
45 |
|
||
— явный |
|
48 |
||
И |
|
—Якоби |
|
42, 90 |
94 |
модель математическая |
|
8 |
|
интерполяция функции |
|
|
|
|
—, сходимость |
101 |
Н |
|
|
—, — поточечная |
101 |
норма “кубическая" |
|
36 |
—, — равномерная |
101 |
-"сферическая”- |
|
36 |
—сплайнами |
106 |
— матрицы |
|
36 |
, СХОДИМОСТЬ |
ПО |
Ньютон И. |
|
80 |
к |
|
О |
|
корней отделение |
85 |
округление |
13 |
Коши О.Л. |
78 |
определитель Вандермонда |
95 |
коэффициент перекоса |
129 |
|
|
Кронекер Л. |
29 |
П |
|
Л |
|
параметры итерационные |
48 |
|
"переполнение" |
15 |
|
Лагранж Ж.Л. |
79 |
погрешность абсолютная |
12 |
Липшиц Р.О.С. |
77 |
— аппроксимации |
99, 146, 150 |
Лопиталь Г.Ф.А. |
86 |
------, порядок |
146 |
М |
|
— арифметических операций |
14 |
|
— исходных данных |
II |
|
мантисса |
13 |
— математической модели |
10 |
матрица треугольная, верхняя |
21 |
— неустранимая |
10 |
------, нижыяя |
22 |
— округления |
13 |
— положительно определенная |
49 |
— относительная |
13 |
метод верхней релаксации |
48 |
— проведения расчетов |
13 |
— Гаусса |
18 |
— регулируемая |
12 |
------, "обратный" ход |
21 |
— численного метола |
II |
------, “прямой" ход |
21 |
полином интерполяционный |
95 |
— Зейделя |
45. 90 |
------Лагранжа |
99 |
— интерполяции |
132 |
------Ньютона |
95 |
— квадратного корня |
30 |
----- Эрмита |
103 |
— линеаризации |
138 |
— характеристический |
126 |
— наименьших квадратов |
122 |
— Чебышева |
55 |
— наименьших невязок |
66 |
“потеря порядка” |
15 |
— наименьших поправок |
67 |
|
|
разности разделенные |
р |
95 |
|
решение приближенное |
9 |
— точное |
9 |
численное |
9 |
Ролль М |
115 |
Рунге К.Д.Т. |
161 |
С |
|
Самарский А.А. |
8 |
Сильвестр Д.Д. |
50 |
Симпсон Т. |
156 |
скорость сходимости |
54 |
собственное значение |
126 |
наибольшее |
140 |
наименьшее |
141 |
, устойчивость |
129 |
собственный вектор |
126 |
вектор, устойчивость |
130 |
сплайн |
106 |
сумма квадратурная |
149 |
схема Горнера |
96 |
сходимость итерационных методов |
47 |
Т |
|
Тейлор Б. |
80 |
У
устойчивость системы уравнений |
36 |
Ф
Фабер Г. |
101 |
Ферма П. |
6-1 |
формула Гаусса |
164 |
—квадратурная |
149 |
------интерполяционного типа |
163 |
— парабол |
156 |
— прямоугольников |
150 |
— Рунге |
161 |
— Симпсона |
156 |
— трапеций |
153 |
— Эйлера |
160 |
Фурье Ж.Б.Ж. |
121 |
Ч
Чебышев П.Л. |
55 |
число обусловленности |
38 |
Э
Эйлер Л. |
160 |
эксперимент вычислительный |
8 |
ЭрмитШ. |
103 |
Якоби К.Г.Я. |
Я |
42 |
б и б л и о г р а ф и ч е с к и й |
с п и с о к |
1.Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1989. - 432 с.
2.Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1978.
-512с.
3.Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1976. - 304 с.
4.Крылов В. И.. Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1977. - 400 с.
5.Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1977. - 304 с.
6.Бронштейн И. Н.. Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1986. - 544 с.
7.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1988.- 552 с.
8.Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1967. - 416 с.
9.Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1980-496.
10.Бермант А.Ф.. Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1973720.
11.Фаддев Д.К.. Фаддева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Физматгиз. 1960. - 656 с.
12.Коллатц Л. Задачи на собственное значение. - М.: Наука, 1968. - 504 с.
