- •Учебное пособие для студентов направления
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Прямые методы решения
- •NxU,'xIsp°Kx<01~4
- •lA(x<n)-xIB-^psHxl0,-xL-
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1
- •Системы нелинейных уравнений
- •Ilf-Pnll
- •Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса
Формула Симпсона1
Заменим на отрезке [хкч, хк] функцию f(x) полиномом Лагранжа. В частности,
для трех точек xk_|t хк_1/2, хк полином второй степени имеет вид
L / л (х - хк-1/2Xх~х )f(хfc-■) , (x - xt-,Xx- x t)f(xt-W) | (x -»t.lXx~ xi-w)f(x*) -
( x k-l - х к -1 /гХ Х И "" X k ) |
( x k-l/3 ~ x k - lX X k-l/! ~ X k ) |
( x k “ X k - lX * k — X k -V l) |
= ^ [ ( x - xk-i/iXx " xk)f(xk i) - X х - xk-iX х - xk)f(xk-w) + (x - xk-.Xx - xk-w)f(xk)]-
Это означает, что в разложении (7.2) оставлены три функции:
2
<p«(x)= p -(x- xk-i/2Xx- xk)'
ф.(х) = - £ ( х- хЛ х-*к).
4>!(X) = -j^(X- Xk-lXX- Xk-|«)-
Для определения коэффициентов С,1;, С,к, С2 вычислим интегралы:
с; = / ф„(х)<1х=Л J(x- хк-шХх- xk)dx=Л jf(x- хк+хк - хк-шХх- хк>ь=
(x ~ xt )3 , h ( x - x t ); |
h. |
||
J (x -x k)2dx +^ jf(x -x k)dx |
2 |
2 |
6 ’ |
3 |
|||
C,k = jf<Pi(x)dx =~j^7 jf(x-x k.lXx-x l[)dx =- ^ jf(x-xk+xk-x k_,Xx-xk)dx = |
||||
•I |
*k-l |
|
|
|
'k |
*k |
= ■ |
(x - xJ 3 , h (x ~ x0 2 |
2h |
J(x - xk)2dx + h J(x - xk)dx |
' 3 ’ |
|||
|
|
|
|
|
c 2k = |
/ ф 2(х)с1х = |
J ( x - x k.,X x -x k_1/2)dx = |
|
|
1 Симпсон Томас [20.8.1710 - 14.5.1761] - английский математик. С 1713 года был профессором Вулиджской военной академии, с 1746 года был избран членом Лондонского королевского общества.
Рассматриваемый метод интегрирования иногда называют также методом парабол.
156
*k |
h %k |
(X —Xk—1/2)3 |
h (x-X k_1/a)2 |
|
j |
( x - x k.l/2)2dx + - J ( x - x k.w)dx |
|||
|
|
3 |
2 |
2 |
Формула приближенного интегрирования Симпсона (рис. 7.4):
1 f(x)dx « |[ f ( x k.,)+4f(xk_m)+f(xk)]. |
(7.10) |
Рис. 7.6. Схема численного интегрирования методом Симпсона
Для оценки погрешности выражения (7.10) приближенного интегрирования, как и ранее, воспользуемся формулами Тейлора для представления f(x), f(xk_,), f(xk) вблизи
точки xk_, |
|
|
f(xk.,) = f(xk.|/!) - f ,(xk_l„ )|+ f" (x k.,n) Y |
vhJ . - .ftxh* |
|
- f",(xk_,n) ^ + f ', ( ^ ) ^ . |
||
f(xk) = f(xk.,n) + r( x k.,n) ^ f " ( x k.t)I) ^ |
v h 3 . c » tr\ h |
|
+ f"'(xw;j) i - + f №( C ) ^ . |
||
((x) = ((Хк-кг) + f ’(Хц/,)- |
k(x-x„-,n)3 |
|
+ (*(Хцв) |
2 |
|
Здесь принято, что £,£,<; б[хк_,,хк].
Подсчитаем интеграл в левой части формулы (7.10):
jf(x)dx = *к I
f(xk„,,Jx + f t x k„i;0 ^ ^ |
+ f1 x 1„lza ^ ^ |
+ f'1 x k„1,2)^ |
хк-1/г) |
|
24 |
||||
|
|
|
+J f^ ) (x-2rx )<dx=
*k-l
Подсчитаем выражение в правой части (7.10):
^[f(x k.,)+4f(xk.„2) + f(xk)] =
(хк-1/2) + f ”(Хк-,/!) + (f " (С) - f " (4)) + 4f(х к.„ ) •
Определим величину погрешности формулы Симпсона:
Vk = ][f(x )d x -|[f(x k.l)+ 4f(xk.i;j)+ f(x k)] =
Xfc-I
6f(xk-,«) + f"(xk.,(1) ^ + ^ ( f '* (c) - f"(?))]■
Лк-1 |
24 |
2304v |
|
|
Модуль погрешности на отрезке [xk_p xk]:
K N
■ .Ы г Ц ;г 5 *тн}-м“Я
Для всего отрезка [а. Ь] интегрирования погрешность
hs ■ |
|
|
|
; — У |
720 |
720v |
(7.11) |
7201? |
имеет четвертый порядок.
В последних выражениях использованы обозначения
M“ %№l|lf,vWl’ М<=ЭДИ4
На рис. 7.7 изображен график сходимости приближенного значения
ю
определенного интеграла Je'M x. полученного с помощью формул метода Симпсона.
Рис. 7.7. Значения интеграла Je Mx. вычисленные точно ( ------- ) и по формуле метода 0 Симпсона (- о -) на сетках П.
Формула Эйлера1
При исследовании численного интегрирования методом трапеций получена формула для вычисления погрешности на отрезке [хк_р хк ]:
Vk = - J |
г (у Л Х*-. - Х)'(Хк - х ) |
ч(»к - х ) г( х - х к-,) |
||
' ’ |
2h |
К> |
dx. |
|
|
2h |
|||
Положим ^=C = xk-i/2* то |
есть равными |
координате в середине указанного |
||
отрезка. Тогда может быть приближенно вычислена величина погрешности интегрирования:
|
•и |
*k |
|
| ( x k-, - x ) !(xt -x)dx+ |
J(xk - x )J( x - x k_,)dx |
2h |
,xk-i |
(7.12) |
f"(xk-i/2) |
|
|
12 + 12 |
|
|
2h |
|
|
Учитывая, что |
|
|
Vk = J f(x)dx -^[f(xk_,) + f(xt )],
xk-l
получим уточненную формулу интегрирования
} f(x)dx *y[f(xk.,)+ f(xk)]-^ -f"(xk.,„).
xk-l
Вспоминая, что согласно теореме Лагранжа f"(xk_I/2)h ® f'(xk) - f '( x k_,)> получим формулу интегрирования Эйлера:
J f(x)dx =^[f(xki)+ f(xk)]- Y^-[f'(xk)-f'(Xk-|)]• |
(7.13) |
xk-l |
|
Погрешность формулы (7.13) на отрезке [а, b] оценивается Формулой, |
|
совпадающей с выражением (7.11). |
|
1 Эйлер Леонард [4.4.1707 7.9.1783] математик, механик, физик. В |
1720 ^ д у Поступил в |
Базельский университет, где получил степень магистра искусств. С 1727 года работал в П^рбургсхой академии наук. В 1741 году занял пост директора класса математики Берлинской акад^цщ Двух. С 1759 года в течение ряда лет руководил этой академией. В 1766 году вернулся в Петербург гд^ до конца жизни подготовил около 400 научных трудов. Был избран членом Парижской ^кадерЦт наук и Лондонского королевского общества.
Оценка погрешности методомРунге1*
С целью получения оценки погрешности рассмотрим формулу интегрирования методом трапеций. Для отрезка [xk_,, хк ] введем обозначения:
= 'jffMdx.
Jh .k= -[f(Xk) + f(*k-,)]-
В соответствии с полученным выражением (7.12) можно записать:
v - = J |
+f(xk.,)]=Vk - ~ |
г к и). |
или иначе, |
|
|
|
Jk- J , k «C kh3 |
(7.14) |
Теперь уменьшим шаг вдвое и вновь проведем интегрирование на том же отрезке [хк_,, хк];в этом случае общая погрешность
(,,я
Вычитая формулу (7.15) из выражения (7.14), получаем
Jh/U - Jhik*C kh -2Ск^—j =Ск .
Отсюда можно определить коэффициент
“jjjH^h/lk “ Jh.k)
иподсчитать погрешности вычисления интегралов:
~” ^h.k)’
I Рунге Карл Давид Тольме [30.8.1856 - 3.1.1927] - немецкий физик и математик. В 1876 - 1877 годах учился в Мюнхенском, в 1878 - 1880 годах - в Берлинском университетах. Работал в Берлине, Ганновере, Геттингене.
Следовательно, зная величины J^ k , Jh k, можно получать оценки погрешностей, получаемых при вычислении интегралов.
В более общем случае (для произвольной схемы интегрирования с порядком погрешности р), можно получить следующие выражения:
Jk ~ J^k * Ckhp,
|
|
|
р |
|
^к ^ь/lk |
|
|
г |
2?h?h |
|
I ^ |
Отсюда, оценки погрешности принимают вид |
|
||
^к |
2*~1 |
(^Ь/U |
Л,к)» |
^h.k * |
|||
_1_
К-*Ы2.к™ 2 ^ - 1 '(^ёОк “ ^Ь.к)*
Приведенные формулы позволяют автоматизировать процесс вычисления интегралов с заданной точностью. Пусть на каждом из отрезков половинное дробление
производится до тех пор, пока не выполнится условие
|Vk| =|jk _ ^h/Lk| * ^р-1 _ | (^h/2.k ~ \k ) ^ ^ _ a * k = l.n.
Тогда общая погрешность интегрирования |
|
||
lJ - |
I = Z K N |
|
Z h = е • |
|
k=l |
О ” a |
k=l |
Таким образом, вычисления с переменным шагом позволяют проводить численное интегрирование с заданной точностью при наименьших затратах.
Квадратурные формулы интерполяционноготипа
Представим функцию f(x) на всем отрезке [а, Ь] полиномом Лагранжа:
L { х ) = £ |
( Х ~ Хо ) - - - { Х ~ Xk-lX х ~ Xk » l } - - { X ~ х в ) |
f(xk). |
|
к=о(Хк Хо)*— *(Х к X k - l K X k Х к*1 )■ *• |
|
||
” Х п ) |
|
||
Сопоставляя полученное выражение с формулой (7.2), получим явный вид для функций срк(х):
„ , й
(xk - x w)...(xk - х к ,)(хк - х ы )...(хк -х„)
Теперь весовые коэффициенты формулы (7.3) определяются явным образом:
^ |
г / |
г (х —х0) -..(х —хк -)(х —хк*,)... |
(х —х„) |
, |
, — |
|||
С, |
= f<Pk |
x)dx= fr ^ -- |
У - А ----- ---------- |
"О |
V |
ш> |
dx, |
к = 0,п. (7.16) |
{; (хк - х 0)...(хк - х к.,Ххк -Хы )...(хк -х„)
Для подсчета погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа воспользуемся полученной ранее оценкой погрешности интерполяционного полинома:
г(* )-М * ) = -^ ; У м( 4 4б[а,Ь], а)(х) = (х -х ,)(х -х ,)-...(х -х „ ).
Погрешность формулы приближенного интегрирования на отрезке [а, Ь]
Ь |
„ |
b |
h f ( n+,) / c ) |
* = }f(x)dx - g € kf(xk) = j[f(x) - L„(x)]dx = j - J ® ( x ) d x ,
Из последнего соотношения очевидно, что квадратурная формула интерполяционного типа выполняется точно для всех функции, являющихся полиномами степени не выше п. В этом случае в формуле (7.3) имеет место точное равенство.
J f(x)dx = |
Ckf(хk). |
a |
k-1 |
Справедливо и обратное утверждение.