Формула прямоугольников
Рассмотрим простейший случай, когда в разложении (7.2) удерживается лишь одно слагаемое, содержащее функцию ср0 = 1. В этом случае весовой коэффициент
ч
C0k = Jcp0dx=h, xkI
и на отрезке [хк_,, хк] интеграл заменяется выражением |
|
Jf(x)dx=f(xt ,,2)h . |
(7.5) |
xk-i |
|
Геометрически это означает замену интеграла на указанном отрезке площадью
прямоугольника с основанием h и высотой, равной значению функции в середине
основания прямоугольника (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Схема численного интегрирования методом прямоугольников
Воспользуемся для представления функции f(x) вблизи точки хк_|/2 формулой
Тейлора
f(x) = f(xk-l;!) + f'(xt ,;j)(x -x t „:) + Р'(^ Х *ы/г) , * б[хк.„х к].
Определим погрешность вычисления интеграла на отрезке [xk_,, хк J:
Ч\ = J f(x)dx - f(xk.1/2)h = Ч-I
= jf ^к-1/2)+f'(хк-I/2)(X- х>1<:)+f"(£)^ |
jdx-f(xk,|„)h = |
= f(xt„/2)h + r(xt„ ^ ~ ^ )1 “ |
+ } |
r ( ^ ) ^ p ^ d x - f ( x kl„)h = |
Ч-, |
4- |
1 |
=т jff"(^Xx- хк-.«)а<1х •
"*k-i
Полученное выражение позволяет оценить погрешность:
| ч ф | ! Г' ( Ф - *t-ui)2<ix * - , |
jf'\ 4 \ (X- xk.„,):dx |
|||
|
|
|
|
(7.6) |
. Mi.k (X-Xk.|,;)3 |
=м, |
h5 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
Здесь обозначено: |
М ,к = |
max |f"(x)| |
|
|
|
|
Чч-.ч)1 |
' |
|
Формула (7.6) устанавливает, что при ограниченности второй производной на рассматриваемом отрезке погрешность формулы прямоугольников имеет третий
порядок. Для всего отрезка интегрирования [а. Ь] получаем
где М 2 = max|f"(x)|.
Иными словами, для всего интервала [а. Ь] погрешность рассмотренного способа интегрирования имеет второй порядок.
Аналогичным способом можно проверить также часто применяемую на практике формулу интегрирования
Ч
Jf(x)dx = f(xk,)h.
Ч-i
геометрический смысл которой пояснен на рисунке 7.2.
Оценка погрешности интегрирования на отрезке [xk_,. хк]. аналогично предыдущему случаю, приводит к результату
v k = f'(xi-i)Y + 7 ! f"0;)(x-Xk I ):«*х. “ *k i
|4/k!<0{h;).
Рис. 7.2. Схема численного интегрирования методом прямоугольников
Для всего интервала [а, Ь] погрешность интегрирования составляет
|4/|< ^ jh (b_ a), М, = njajij|f'(х)|.
На рис. |
7.3 приведены графики, |
отражающие |
сходимость |
процесса |
|
|
10 |
|
|
приближенного |
вычисления определенного |
интеграла J e -Xdx |
с помощью |
формул |
|
|
о |
|
|
метода прямоугольников с центральной точкой (формула (7.5)), “левой” точкой (рис.
7.2) и “правой” точкой |f(x)dx * f(xk)h . *k-i
ю
Рис. 7.3. Значения интеграла J e xdx, вычисленные точно (-------) и по формулам метода
о
прямоугольников с центральной (- о -)» “левой” (- Л -) и “правой” (- 0 -) точками на
сетках Оп
Формула трапеций
Заменим функцию f(x) на отрезке [xk4, хк] линейным приближением |
|
|||||
|
|
f(x ) s b _ ^ f(Xii) + £ _ ^ L f(xk). |
|
|||
Это |
означает, |
что в разложении |
(7.2) |
удерживаются две |
функции |
|
Я*о(х) = |
4>,(x) = ^ b = L . |
|
|
|
|
|
п |
|
п |
|
|
|
|
Тогда весовые коэффициенты |
|
|
|
|
||
|
|
с; = /Фо(х)(1х = |
с," = )ч>,(x)dx= |
|
||
|
|
Ч-. |
L |
xk-i |
1 |
|
Отсюда вытекает формула метода трапеций (рис. 7.4): |
|
|||||
|
J |
e f(xk.,) | + f(xk) ^ |
= у [г(хы ) + f(xk)] • |
(7.8) |
||
Воспользуемся формулами Тейлора |
|
|
|
|
||
|
f(xk4) = f(x) + f '(xXxk-i - x) + |
|
■ $ б[хы ,хк], |
|
||
|
Г(хк) = f(x) + f ’(xXxk - x) + |
|
. C e [xk-,'xk]. |
|
||
Рис. 7.4. Схема численного интегрирования методом трапеций
м ;к |
h (x - * k-1)> |
(* -x k-,)4 |
| (x -x k)4 |
t (x-x„)J |
||
~2h |
3 |
■ |
4 |
hr |
x “ |
_ h ~ T ^ |
|
, Mlk |
|h4 |
h4 |
h4 |
h4 |
|
|
2h |
I 3 |
-----н— |
12 |
||
|
4 |
4 |
3 |
|||
Погрешность для всего отрезка интегрирования [а, Ь]
М |
£ |
" Мг П Г " =Ml |
- а) |
(7.9) |
|
имеет второй порядок.
На рис. 7.5 показан график сходимости приближенного значения определенного
ю
интеграла J e 'xdx. полученного с помощью формул метода трапеций.
10
Рис. 7.5. Значения интеграла J e 'xdx, вычисленные точно ( ) и по формуле метода
о
трапеций (- о -) на сетках По