Глава 4. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

4.1. Принцип суперпозиции

При решении различных краевых задач для уравнений в частных производных (в частности для решения задачи Коши) бывает полезно сводить задачу к совокупности более простых задач, часть условий кото­ рых становятся однородными, используя множество операторов входя­ щих в уравнения или краевые условия. Рассмотрим абстрактную идею

где L:C 2(D )-±C(D ) - линейный оператор, Pk :Mk —> C(Lk) - линейный

функционал, М к cC (Z A), Lk cd D (&= 1,п). Из линейности L, Рк вы­ текает, что решение ы(х) задачи (4.1) представимо в виде

Предлагаем непосредственно проверить равенство (4.1.2). Каждая из по­ лученных п +1 задач часто бывает проще исходной тем, что в ней необ­ ходимо оставить либо только уравнение, либо одно из краевых условий. Аналогично можно разбить в случае необходимости задачу (4.1.2) на сис­ тему из т < п задач, каждая из которых содержит неоднородность в ка­ кой-либо части граничных условий. Например, и = v1+ v2 + v3, где vk

есть решения задач

Ю*IIО = 0,

Ы, =о - Ы | „ ■0=°’

<

- 2(-з)^ . <> о, х > 0, - ("3 С-0 = м{<),

= (“з),|,в.0 = ° Решения задач ик, к = \,т найдены в 3.2 (см. задачи 3.3 - 3.5).

Если не удается разбить исходную задачу на несколько вспомога­ тельных задач описанным выше способом, бывает полезно освободиться от неоднородностей, входящих в часть граничных условий. Пусть для оп­ ределенности требуется сделать однородными первые т<п граничных

Как правило, такое выражение функции неоднозначно, но не представля­ ет технических трудностей в конкретных ситуациях. Предположим, что wk(х) найдены. Подставляя (4.1.3) в уравнения и граничные условия, по­

лучаем

т

Lu = Lv + Y , Lwk = /(* )’

Л=1

т

P jU = P jV + ] Г P jW j = PjV + <

М

Таким образом, сводим исходную задачу к новой краевой задаче для функции v:

почтительнее тем, что в ней первые т граничных условий однородные. Рассмотрим частный случай краевой задачи для волнового уравне­

Один из возможных вариантов (стремимся к тому, чтобы функция имела

4=o= -4°)* ■ 4°)>v/L =4*)- y'(°)x - 4 °)

Задача 4.2. Освободиться от неоднородности в граничных условиях: ut = а2ихх -2 u + t x - t 2(l + x),t>0,Q<x<2,

<{их ~5и]х=0 = 5.5/2, и\х_2 =22cost,

Решение: и = v + w, где wудовлетворяет граничным условиям, ищем со­ гласно (4.1.7)

|я(г)-5С (/) = 5,5/2

[4Л(0 + 2B(t)+ C(t) = 22 cos t.

Удобно положить A(t) =0. Тогда из первого уравнения системы получим

Подставляем и = v + w в начальные условия и в исходное уравнение:

4=0 = *• Иногда бывает возможно освободиться от неоднородности как в гранич­

ных условиях, так и в уравнении. В частности, если в задаче (4.1.4)- (4.1.6), где f{x,t) = f(x), /i{t) = ju, v(t)=v, т.е. когда неоднородности не зависят от /.

Задача 4.3. Свести задачу к задаче с однородными граничными условия­ ми и однородным уравнением.

Решение: u{x,t) ищем в виде u{x,t)~ v(x,t)+ w(x) >где A x) удовлетвори ет (4.1.11), (4.1.12), т.е. является решением задачи

Ответ: решение u(x,t) представлено в виде w(x/) = v(x,f)+ w(x), где w(x) определяется неравенством (4.1.15), a v(x,/) есть решение задачи

отсюда w(x) = x3 + x - 4.

Ответ: заменяя u(x/) = v(x,t)+ x3 + x - 4, сводим исходную задачу к следующей задаче с однородными условиями:

vt = ^vxx» *> 0, 0 < х < 1,

v* L o = (v* +vL i =0- vl,-o= 4.

Освободиться одновременно от неоднородности в уравнении и в гранич­ ных условиях можно в случаях, когда правая часть (4.5) и неоднород­ ность в уравнении имеют следующий вид:

При этом u(x,t) следует искать в виде u(x,t)=v(x,t) + w(x)/i(?), где функ­ ция w(x)h(t) удовлетворяет неоднородному уравнению и граничным ус­ ловиям.

Задача 4.5. Свести неоднородную задачу к задаче с однородным уравне­ нием и граничными условиями.

ии ~ ихх + 3н* +4cosx sh 2t, t> 0, 0 < x < ;r,

Решение: u(x,t) = v(x,/)+ w(x)-sh2t

Подставляя функцию w(x)-sh2t в неоднородные уравнения и граничные условия, получаем

f4w = w”+ 3w' + 4cosx,

}w'(o) = 0, w(n) = 1.

Решая уравнение системы, обратимся к решению неоднородных диффе­ ренциальных уравнений

W —w° + w“,

где w° - общее решение однородного уравнения и>1+ Зи'о - 4w0 = 0 Составляем уравнение характеристик:

А2 + ЗА - 4 = 0

17 .

+—cosx— smx.

22

4.2.Метод Дюамеля

Метод Дюамеля заключается в сведении задачи для уравнения ги­ перболического и параболического типа с неоднородным уравнением и однородными граничными условиями к вспомогательной задаче с одно­ родным уравнением и неоднородными граничными условиями.

Пусть дана задача Коши для уравнения гиперболического типа.

(из формулы дифференцирования по параметру и второго начального ус­ ловия задачи (4.2.2)). Далее напишем уравнение задачи, используя пред­

Таким образом, u(x,t) удовлетворяет уравнению задачи (4.2.1). Тем са­ мым теорема доказана.

Задача 4.6. Доказать формулу Даламбера (3.3).

Предлагаем провести решение задачи самостоятельно по следующей схе­ ме.

1.Решение задачи (3.1)-(3.2) в силу принципа суперпозиции представлено

ввиде и = v + w , где v и w - решение задач

соответственно.

2. Найти решение задачи Коши методом характеристик. Доказать непо­ средственной подстановкой, что при введенных в теореме 3.1 ограниче­ ниях на функции <р(х) и у/{х) , функция v действительно удовлетворяет (4.2.4). В результате получим:

< x+at

t

Согласно теореме 4.1 функция, заданная v(x,t) = $V(x,t,r)dT, удовлетворя-

о

ет уравнению и начальным условиям задачи, таким образом v = v2. Преобразуем задачу (4.2.13), положив в ней z =t - т и введя но­

вую функцию v(x,z,r)= V (x,t,r). Тогда v при г> 0 является решением задачи

VL=о v?lz=0 Итак, получаем после преобразования

В ряде остается только одно слагаемое, соответствующее Л=0, поэтому вопрос о сходимости ряда решается положительно и решение выясняется

Autt -/co s2 r = Au r 2 = x2 + y2 + z2 > 0, t> 0,

Решение: задачу удобно решать в сферической системе координат. Итак, исходная задача эквивалентна задаче (4.3.1) при

странственных координат в сферической системе

Отсюда

AV = '*2»

AV s=-гy(r22r), = 6>

Для удобства введем функцию g(r) = cos2r, в силу линейности Ак имеет

Д1S = [г2 (- 2sin 2r)J. = -i- [- 4r sin 2r - 4r 22 cos 2r] =

Введем еще одну вспомогательную функцию h(r) = -S-m

Ч -о

Задача 5.1. Поставить краевую задачу о малых поперечных коле­ баниях струны длиной L в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если правый конец струны закреплен жестко, а левый переме­ щается по закону /(*), начальная скорость отсутствует, а начальное от­

среды.

Если сопротивление среды в задаче пропорционально отклонению при наличии непрерывно распределенной вынуждающей поперечной си­ лы /(*), то

f(y,t)= ku + f(y )

если конец струны закреплен упруго (например, правый), то

(ИУ + Ч , , 0 =О'

Задача 5.2. Поставить краевую задачу о малых продольных коле­ баниях стержня длиной L в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если один конец стержня закреплен упруго, второй перемеща­ ется по заданному закону, заданы начальные скорости, отклонение отсут­ ствует.

так как правый конец перемещается по заданному закону, следовательно, u(L, t) = g(t). Левый конец закреплен упруго: (их + hu)x=Q = 0.

В среде присутствует сопротивление, в данном случае

р - плотность. К- коэффициент упругого закрепления, то h вычисляется

по формуле h =— , S- площадь поперечного сечения.

ES

Задача 5.3. Поставить задачу об определении температуры стерж­ ня, если на боковой поверхности происходит конвективный теплообмен со средой постоянной температуры по закону Ньютона. Концы стержня поддерживаются при заданной температуре, начальная температура v(y).

Постановка задачи: левый конец стержня у = 0, правый у = L . За­ дача об определении температуры описывается уравнением

и, = a 2U yy{y,i )+ bf{ y,t),

где f { y , t ) - плотность внешних источников.

Так как концы стержня поддерживаются при заданной температуре, u(0,t) = const j,

u(L,t) = const 2, начальная температура задана, т.е.

w(0,f)= v(y), конвективный теплообмен со средой по закону Ньютона

q\r =a(ux-u)f ,

здесь q - тепловой поток на границе Г, а - коэффициент внешней тепло-

Задача 5.6. Поставить задачу о распространении тепла в цилиндре радиуса R, если верхнее основание теплоизолировано, на нижнем задана постоянная температура А, а на боковой поверхности происходит кон­ вективный теплообмен с внешней средой, имеющей температуру А. На­ чальная температура равна D.

к- коэффициент внутренней теплопроводности, х- коэффициент внешней теплопроводности, с- удельная теплоемкость, р - плотность.

Задача 5.7. Поставить задачу о форме равнобокой прямоугольной мембраны ОАСВ, если сторона ОА подвешена в положении х2, сторона АС свободна, сторона ВС закреплена упруго, а на сторону ОВ действует сила поверхностной плотности sin(г •

Постановка задачи:

ихх + Uyy =0, 0 <х<а, 0 <у <Ь,

их\х=0= -^г -> их\х=а =0, ^ е М >

где Т - натяжение мембраны, h = —, к - коэффициент упругого закрепле­

ния стороны ВС.

Рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка.

зависящее от произвольного числового параметра X. Будем строить реше­ ния уравнения, удовлетворяющие граничным условиям

ОД(х) = аГ(о)+ДГ(о) = 0, r 2X(x) = rX](l)+SX{l)=0,

где а,р,у,8 - постоянные и а 2+(52 * 0, у2 + 82 ф0.

Задача построения нетривиального решения уравнения, удовле­ творяющего этим граничным условиям, носит название краевой задачи Штурма - Лиувилля; значения параметра X, для которых эта задача имеет нетривиальное решение, называют собственными числами, или собствен­ ными значениями, а решения, им соответствующие - собственными функциями задачи Штурма - Лиувилля. В силу линейности и однородно­ сти уравнения и граничных условий собственных функций определяются с точностью до постоянного множителя. Множество собственных значе­ ний X называют спектром задачи; число линейно независящих собствен­ ных функций, соответствующих данному собственному значению X, на­ зывают его кратностью, и если кратность Я равна единице, то его назы­

Х\(х), Х 2(х),..,х е (О,/) называется ортогональной на отрезке [О,/] с весом

6.1.Свойства собственных функций

исобственных значений

Свойство 1. Краевая задача имеет счетное множество собствен­ ных значений, и все они вещественны; если собственные значения распо­ ложить в порядке возрастания: Я] < ^ <.... < Я <.., то

lim Лп = оо. «->00

Свойство 2. Все собственные значения задачи Штурма - Лиувилля простые, то есть каждому собственному значению соответствует одна собственная функция.

Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различ­ ным собственным значениям, ортогональны с весом р(х) на отрезке [о,/].

то собственные числа неотрицательны.

Задача 6.1. Х" + ЛХ = о,

jr(o )= * (/)= o .

Решение:

Все собственные значения Лк > 0 . При Я >0 общее решение уравнения может быть записано в виде

2f(x)= Cj cos4kx +C2 sin-JXx, из граничных условий получаем

С, = О, С2 ф О => sin yfxi = О VX = -y-,

где п - любое целое число. Следовательно, неотрицательные решения за­

я= лк 2

Т

X n{x)=Dn c o sy * .

Задача 6.3.

Х ' +ЛХ = О,

-А " (0)-А Л Г (0)= 0,

* '(/)+ АДГ(/) = 0.

Решение:

при Я > о Х(х) = С\ cosVIx +C2 sin VIx, ЯГ'(я)= Cj V l(- sin VIx)+ С2 VI cosV I*,

| с 2л/1-ЛС, =0,

(Cj V l(- sin VI/)+ C2 VIcos VI/+ /гС] cos VI/+ hC2sin VI/= 0,

C, * 0, sin VI/* 0, так как в противном случае 2/гcos VI/= 0, что не­ возможно, следовательно,

2h ctg VI/= VI- Д== —7=-

VI VI

ctgVI/=я - /? 2

2AV I

Пусть //!, //2, ,... - последовательность положительных корней уравне­ ния

Лиувилля. Подставим вместо Я = /лп, а вместо С2 - выражение из перво­ го уравнения в общее решение уравнения:

Х п(х) = С] cos /лпх +— С| sin ц пх . Рп

Так как собственные функции определяются с точностью до константы,

Решение:

обозначим v = Я - 2 и решим задачу для уравнения

X" + vX = 0.

Тогда данная задача сводится к задаче 3. При этом собственные значения

Лп = ju2 + 2, где цп- положительные корни уравнения ctg /л! = 1 а Л h ц

Собственные функции те же:

Х п(х) = /лпcos/лпх + hsinjunx .

х(о)= * (/)= о.

Решение:

По свойствам 4, 5 собственные значения Л„>0. Характеристическое уравнение имеет вид

к2 +3к + Л = 0,

, -3 ± 7 9 -4 Я *1,2 = ------- j -------

Необходимо рассмотреть три случая:

9

а) 0<Я—, тогда

Х{х) = Схек'х +С2екг*,

Х(ъ) = Сх+С2 =0,

X{l)=Cxek'1+ С2екг = 0.

Получили систему линейных уравнений относительно С\,С2 . Так как система однородна, а определитель системы отличен от нуля,

второй кратности

з

—х Х(х) = {СхХ + С2> 2

х ( р ) = с 2 = о,

X{l)= Cxle 2 = 0=>С, =0,

9

т.е. Я = — не собственное значение 4

в) Я > —•. 4

так как С2 * 0- иначе получим тривиальное решение, е 2 ф 0 по опреде­ лению. Тогда

Л„ = —- я 2п212 - собственные значения.

Тогда собственные функции имеют вид

6.2. Разложение функции в ряд Фурье по системе

собственных функций задачи Штурма - Лиувилля

Основное свойство системы собственных функций задачи Штурма -

Лиувилля {хп}™=1 - то, что она является базисом в пространстве L2[o,/].

Врассмотренных задачах системы собственных функций ортогональны.

Вследующей задаче необходимо найти вес для системы собственных функций.

I K f = \x ld x

о