- •В.П. Первадчук, Е.М. Кадырова, В.Ю. Соколов
- •УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
- •1.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
- •1.3. Приведение уравнений к каноническому виду
- •1.4. Упрощение уравнения в каноническом виде
- •2.1. Нахождение общего решения
- •{мдydy = jo dy,
- •3.1. Распространение волн в бесконечной струне. Задача Коши
- •Рекомендуем решить:
- •3.2. Полуограниченная прямая. Метод ограничений
- •4.1. Принцип суперпозиции
- •7.2. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа. Неоднородные задачи
- •7.3. Метод Фурье для уравнений параболического типа
- •7.5. Понятие функций Бесселя
- •(xVXf
- •7.6. Метод Фурье для многомерных задач
- •УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
V&1 |
1 |
\ л - 2£)vg + (2rj - «^)v7? ] = 0 (замена |
£ = - 2 ^ y |
+ j Vx3", |
||||
+ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Щ 2 - л 2) |
|
|
|
|
|
||
r] - |
- 2-yJ- у - ^ л/х3” |
|
при |
x > 0, y <0 |
и |
замена |
||
£ = 2j ^ y +Zy[x* ,7J= 2<y/-7 - f |
Vr*" при x < 0,y > 0 ). |
|
||||||
3) эллиптический тип при j > 0j > 0u x < 0,j/< 0 : |
|
|
||||||
|
+ v,^ - -J-+ — = 0 |
(замена |
£ = 2y[y,ij = j 4 x* |
при х > 0, у >0 и |
||||
замена £ = 2^ - |
у ,TJ = |
V -x 3 при x < 0,у < 0 ). |
|
|
||||
|
Для закрепления материала рекомендуем привести к |
|||||||
каноническому виду следующие уравнения: |
|
|
||||||
|
а) иж + AUxy +13Uyy +3их + 24иу - 9и + 9(х + у) = 0, |
|
||||||
|
б) (l + x2)2 |
+w^ + 2x(l + x2^/.c = 0 , |
|
|
||||
|
в) у 2!/** + 2хум^ +X2Uyy = 0 , |
|
|
|||||
|
г) (l + x 2^ |
^-(l + y 2)/^ |
+хих +уиу - 2и = 0 , |
|
|
|||
|
д) и** - 2sin х MXV - cos2 xww -cosxw =0 |
|
|
|||||
|
1.4. |
Упрощение уравнения в каноническом виде |
|
|||||
Линейные уравнения в каноническом виде с постоянными коэффициентами
Vgq +dvg + evn + Jv + g = 0 (гиперболический тип),
+ vw + dv^ + ev^ + Jv + g = 0 (эллиптический тип),
+dvg + evn +Jv + g = 0 (параболический тип)
спомощью замены переменных:
v = e ^ +Mrtw(^T}) |
(1.4.1) |
можно привести соответственно к виду:
W4T] + yw +о. = 0 ,
+ wrjTj +yw + cc = 0 , w,in + yw + a = 0 .
При этом параметры Х,/л каждый раз находятся из условия обращения в
нуль некоторых коэффициентов.
Задача 1.8. Привести к каноническому виду и проделать дальнейшее упрощение уравнения.
ихх - 4иху + 5Uyy - Зих +иу +и = 0 .
Решение. Обычным образом уравнение с помощью замены переменных
£ = 2х + у, Tj = x приводится к виду |
|
+vr]T1~ 5v4 ~ 3v7 + V = ° |
(1-4.2) |
Делаем замену (1.4.1). Выражаем частные производные функции v через частные производные функции w:
|
v4 = e ^ +M(w4 ^Xw^v^ = e^ +W (Wj7 + jm), |
||
v44 = |
+ 2Xw4 + X2w),v,jn = e ^ +M’’(wлп + 2fjw^ + /л2w). |
||
Подставляя полученные выражения в (1.4.2), имеем: |
|||
е |
(w^ + 2Awg +A w + wTjJj +2juwn + ju w —5(wg +Aw) — |
||
|
- 3(WJJ + juw) + w) = 0. |
||
Приравняв коэффициенты при w4 и |
к нулю, получим |
||
|
Г2Я —5 = 0, |
|
|
|
[2 //-3 |
= 0. |
|
Поделив обе части уравнения на е |
и подставив конкретные значения |
||
А,и(х, получим |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
w44+wnn - y |
w = 0 |
|
|
|
|
$4+in |
Ответ. С |
помощью замены |
u(j], £ - 2i]) = е 2 w(£, rf) исходное |
|
уравнение приводится к виду w44 + wnn - ^ w = 0 .
Для закрепления материала рекомендуем привести к каноническому виду следующие уравнения и провести дальнейшее упрощение:
а) Зихх + иху + Зих +иу - и - у = О,
б) 5иж +1 бЫф +16Uyy + 24их +32иу + 64и = 0,
в) 3иху - 2иХ2 - иуг - и = 0 ,
г) иж - 2иху + иуу - 3их +12иу + 21и = О