- •В.П. Первадчук, Е.М. Кадырова, В.Ю. Соколов
- •УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
- •1.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
- •1.3. Приведение уравнений к каноническому виду
- •1.4. Упрощение уравнения в каноническом виде
- •2.1. Нахождение общего решения
- •{мдydy = jo dy,
- •3.1. Распространение волн в бесконечной струне. Задача Коши
- •Рекомендуем решить:
- •3.2. Полуограниченная прямая. Метод ограничений
- •4.1. Принцип суперпозиции
- •7.2. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа. Неоднородные задачи
- •7.3. Метод Фурье для уравнений параболического типа
- •7.5. Понятие функций Бесселя
- •(xVXf
- •7.6. Метод Фурье для многомерных задач
- •УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК. ЗАДАЧА ГУРСА
2.1.Нахождение общего решения
Вобщей постановке задача сложна, и не всегда удается найти общее решение уравнения в частных производных. На примерах рассмотрим процедуру нахождения общего решения некоторых частных случаев уравнений гиперболического и параболического типов.
Задача 2.1. Найти общее решение уравнения
^ху ~ 0 •
Решение. Интегрируя по у, получаем
{мдydy = jo dy,
их =с(х).
Далее, интегрируя по х, получим
и = ^c(x)dx + сх{у).
Ввиду произвольности функции с(х), интеграл от нее также функция
произвольная с2(х). |
Далее для |
удобства введем |
обозначения |
||||
об |
об |
ц/(у) , получим общее решение: |
|
|
|
||
С2 0 ) = <р(х), Cj (у) - |
|
|
|
||||
|
|
|
и(х,у) = <р(х) + у/(у) |
|
|
|
|
Задача 2.2. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
||||
|
|
|
иху + 3иу =5 |
|
|
|
|
Решение. Делаем замену v = иу . Получаем |
|
|
|
||||
|
|
|
vx +3v = 5. |
|
(2.1.1) |
|
|
Общее решение |
этого |
дифференциального уравнения |
ищем |
в |
виде |
||
v = v0 + v4, где |
VQ |
общее решение |
однородного уравнения, |
a |
v4 |
||
частное решение неоднородного. Однородное уравнение решаем при помощи характеристического уравнения:
Я +3 = 0,
v,=C(y) е-3"
v4 ищем в виде v4 =A. Подставив эту константу в (2.1.1), находим
v = C (^ )e - 5' + | . |
|
|
Вспомним, что v = uy , получаем иу = С(у)е |
+ —. Интегрируя по у, |
|
имеем |
|
|
и = j C i y ^ d y + + С(х) = <Г3'С2 w |
+ |
+ С, (I). |
Таким образом, общее решение: и(х,у) = е-з • у/(у) + -5у + (р(х).
Задача 2.3. Найти общее решение уравнения 6v=
V£'7+ — = 0 -
7 Решение. Вводим замену w= . Получим
w = 0 => — = -6 => In | w|= 677_1 + In I C(£) |=>
T] w T
v* = w = C(£)e* ^ |
v = C, (£)e * + C2 (7). |
|
|
|
6 |
Общее решение примет вид v(£, if) = |
4 + y/(i]). |
|
Задача 2.4. Найти общее решение уравнения: |
||
Uyy =ху |
|
|
Решение. Интегрируя дважды по у, получим |
||
и„ = ху +С] (х) => и = XV |
+С| (х)_у + С2(х). |
|
Общее решение примет вид и(х,у) |
ху |
|
= ---- + (р{х)у + С2(х). |
||
|
6 |
|
2.2. Решение задачи Коши Алгоритм решения задачи Коши для уравнений гиперболического
и параболического типов
Гаи„ + 2 buxy + сиуу + F(x, у,и,их,иу ) = О,
(2.2.1)
[м Iу=а(х) = f ( x )> их Iу=а(х)~ £(*)>
где f(x), g(x) е С 2(0, со) .
1.Привести уравнение к каноническому виду, если это необходимо.
2.Найти общее решение уравнения в каноническом виде и перейти к старым переменным.
3.Найти частное решение задачи, т.е. конкретное аналитическое выражение для функций q>,41, входящих в общее решение.
Задача 2.5. Решить задачу Коши:
Ux y + U x = О,
«ly=*=sinx, их | ^ = 1.
Решение. Уравнение уже в каноническом виде. Получаем его общее решение:
u(x,y) = e~y(p(x) +i//(y).
Далее нам понадобится следующее выражение: их = е 'у<р'(х). Отсюда, учитывая начальные условия, получаем систему для определения неизвестных функций:
е~х<р(х) + t//(x) = sin х,
(е~х<р'(х) = 1.
Удобно проинтегрировать второе уравнение и подставить выражение для (р в первое уравнение:
<р'(х) = ех => (р{х) = ех +С => е~х(ех +С) + ^(х) =* sinx => ^(х) = sin х -1 - Се~х
Итак, <р(х) = ех + С, <//(у) = sin у -1 - Се~у Тогда, подставив полученные выражения в общее решение, получим:
и = е~у (ех + С) +sin у -1 - Се~у = ех~у + sin у ~ 1 •
Задача 2.6. Решить задачу Коши:
^ ^ху ^УУ ^у ~
^ l_v=o 2 5 \у=о sinx.
Решение. Так как коэффициент при второй производной по х равен нулю,
то необходимо |
сделать |
замену |
и(х,у) = и(у,х) |
и записать |
|
вспомогательную задачу Коши. |
|
|
|
|
|
|
-йхх + ехиху + их = 0 , |
(2.2.2) |
|||
|
у 2 |
|
=~smy. |
(2.2.3) |
|
|
= |
|
|
||
Далее с помощью замены переменных |
|
|
|||
|
£ = ех +у,т] =у , |
(2.2.4) |
|||
уравнение (2.2.2) |
приводится |
к каноническому виду v^ |
= 0. Общее |
||
решение этого уравнения |
|
|
|
|
|
|
v(Z,,4) = <?(fy + W(r]) |
|
|||
Учитывая (2.2.4), получим общее решение уравнения (2.2.2): |
|
||||
|
й(х,у) = <р(ех +у) + у/(у), |
(2.2.5) |
|||
|
их = <р'(ех + у) ■ех |
|
(2.2.6) |
||
Итак, из (2.2.4)-(2.2.6) |
|
|
|
|
|
f |
|
у 2 |
|
|
|
^(1 + у) + ^(у) = - — , |
|
|
|
||
- |
|
^ |
=> (р{1 + у) = cos у +С => |
||
<р'(\ +у) = -sin у |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
=>cosy + С + ц/{у) = |
|
|
|
||
|
|
V2 |
|
|
|
|
Ч'(у) = ~ — |
- c o s y - С |
|
||
В данном случае получено выражение для значения функции ср от
аргумента |
1 + у |
Для подстановки в |
(2.2.5) понадобится выражение |
значения функции от аргумента ех + у |
Сделаем замену 1 + у = а Тогда |
||
у = а - 1 . |
Отсюда |
$?(l + y) = cosy + C |
Получим <р(а) - cos(a - 1) + С |
Далее подставляем а = ех + у , имеем |
|
||
Используя полученные выражения для функции, подставляем в (2.2.5), получим
2
и(х,у) = cos(ex + у -1) + С - —— cos у - С ,
и(х, у ) - и.(у, х) = c o s ( e + х - 1) - — - cos х .
Задача 2.7. Решить задачу Коши:
х2ихх - y 2Uyy - 2-уи.у = О, X > О, у < О,
(2.2.8)
И * - 1 = У> »х\х=\ = У-
Решение. С помощью замены ^ = ху,т] =— уравнение приводится к виду
У
Для его решения делаем замену w = |
, получим |
|||
Л |
■* |
Л |
-I |
|
07] |
_ |
w = ° ^ — = — дт]=> In| w |= £ ln|7|+ln|C (£ )|=> |
||
271 |
W |
27] |
z |
|
=>w = C( ^ ) |^ |2 => v =| 7712 <p(g) + y/(rj). Учитывая, что при x > 0,у <0 имеем 7 < 0 , получим
V(&*7) = ( - 7 ) X £ ) + <K»7).
( |
v 1 |
(х_ |
X |
||
U(x,y) = |
9>(ху) + Г |
|
Тогда |
У) |
\У, |
|
|
|
их:(Х’У) = - Х 2(~у) 2 <Р(ху) + Х2 (-у) |
2(р'(ху)у + —1//'(х_ |
|
Далее из начальных условий |
|
У \У. |
|
|
|
- 1 |
I |
1 |
= у, |
(-у) 2 |
<р(у) + И - |
||
|
ку) |
|
|
1 (- у )~2<р(у) + (- у )~2 <р'(у) ■у +- у/'Г1 Л= У- |
|||
2 |
|
|
у |
Из первого уравнения системы имеем |
|||
|
|
|
_1 |
|
¥ |
= у - ( - у ) 2<р(у)> |
|
.У>
' ¥ f-1 = i + i ( - y f 2iK y)-(-y)'V (y)-
У
Отсюда
<р\у) - (-у)2 => (Ку) = - 1 (-у)2 + с
r t y ) = У + j (-У ) 2 ( - У )2 ч - у р С => <Ку) = | - ( - у ) 2 с .
Далее получаем выражения для |
<р(ху),ц/ГУ) . Подставляем их в общее |
||||||
решение. |
|
|
|
V *; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 х |
\ |
4f |
| х |
у |
\ J L c = |
l x i y + i - |
|
и(х,у) =- |
х г(~У)г + J — |
С +У- |
|||||
3 4~У |
|
|
- у |
Зх |
V - у |
3 |
Зх |
Задача 2.8. Решить задачу Коши |
|
|
|
|
|
||
х2ихх2ху -иху- 3 у 2иуу = 0, |
х > 0, у > 0, |
|
|||||
«Iy=\=f(x), |
uy \y=x=g(x), |
|
|
|
|||
где / (x), g(x) е С2(0,оо) - заданные функции.
Схема решения. Обычным образом находим общее решение уравнения, получим
и(х,у) = х 4у3 4<р X + ¥ (хъу), (2.2.9) \У )
или
Учитывая предстоящую подстановку, удобнее воспользоваться видом (2.2.9) общего решения. Однако далее мы будем умышленно исходить из вида (2.2.10), предоставляя студентам самостоятельно проделать выкладки для случая (2.2.9) и сравнить полученные результаты.
В случае (2.2.10) система для определения <р,у/ примет вид
х*<р' О + у/ (х3 ) = / ( * ) ,
\ X J
|
I |
|
4 (\ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
J^J+x V[^“j+*V(*3) =£(*)• |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из первого уравнения системы имеем |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
И х 3) = f ( x)-x*<P\ х ) |
|
|
(2.2.11) |
|||
|
|
|
|
( |
|
||||
|
3х 2у/'(х3) = f ' { x ) - ^ x |
|
- 5 |
|
|||||
|
*<р( - ) + 1 |
V |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
UJ |
|
|
|
подставляя полученный результат во второе равенство, получим |
|||||||||
1 1 ( 1) |
-1 |
/гПп |
1 |
ч |
1 4 Г О |
1 |
-1 |
/ Р |
|
( Л |
4 |
|
- |
+ - х / ' ( х ) - - х 4<р - |
\ + - х |
V |
- = g(x), |
||
- х Аср — |
+ Х |
АФ — |
|||||||
\ х ) |
|
|
4 |
m |
|
|
|
|
\XJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
—v 4<р‘^ x j |
|
|
|
|
|
|
Замечание. В отличие от предыдущих примеров, где для функций f{x)vig(x) было дано конкретное аналитическое выражение, здесь нельзя брать неопределенный интеграл от обеих частей равенства, иначе решение задачи Коши получим с точностью до константы, а нам нужно единственное решение. Поэтому возьмем интеграл с переменным верхним пределом интегрирования.
3 -1
Итак, домножим обе части последнего равенства на - —х 4 и
проинтегрируем его в пределах от а до х , где а >0 - произвольно.
h i |
Л" |
|
-1 d t = \ |
||
9>' |
||
у |
a L |
<p |
-<p |
= - 7 f<f |
+ 7 k ' v w j f ■ |
\ x j \ a ) |
4 aJ |
4 aJ |
|
(2.2.12) |
|
|
|
Первый интеграл в правой части оставим без изменений, а во втором избавимся от производной под значком интеграла, взяв его по частям:
J* " W |
) |
= f ' № |
* |
+ \ j< f * /(£)<*£ |
|
|
Отсюда и из (2.2.12) получаем |
|
|
|
|
||
ГО |
+ |
|
+ |
|
(2.2.13) |
|
<Р |
; |
|
16 |
|||
и |
|
|
|
|
||
'О |
y (£ ) = < f 4 l / ( £ ) - 4 g ( £ ) ] . |
|
||||
где С = ^ — - л ~ / ( а ) , |
|
|||||
w |
|
|
|
|
|
|
Подставляя полученное выражение в (2.2.11), имеем: |
|
|||||
|
)= |
- * ‘ С |
+ 1 |
/ ( х ) - |
j'r ( 4 ) d 4 |
(2.2.14) |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
а |
|
Из (2.2.13) и (2.2.14) получаем следующие аналитические выражения:
|
|
|
|
|
|
X |
( у ) |
|
1 |
- i |
1 |
+- |
з |
(р — |
= С + - х |
V |
/ f-1 |
|
||
с |
- |
4 у4 1 — |
16 а\г<ЛЩ |
|||
|
|
4 |
|
О , |
|
|
у) = -X V 4С - 1 Д ху5) - h |
X-4у 4 Jr(€)d£ |
|||||
|
|
|
|
|
|
а |
Подставляя полученные выражения в (2.2.10), получим:
и(*,У) = 7 / |
ху3 |
1 |
( V |
+ ^ У |
| У 4|/( £ ) - 4 Д £ ) ] ^ |
+ тУ / |
у |
||||
4 |
V ) |
4 |
16 |
J |
|
|
|
|
|
|
ху% |
зз
2.3. Решение задачи Гурса
Задача для уравнения гиперболического типа
ciUxx + 2Ъиху + сиуу + F(x, у,и,их,иу) = 0 (х, y ) e D a R 2,
u\y«,w - /W > |
= |
|
|
где q>и у/ |
две линейно |
независимые характеристики уравнения, |
|
называется задачей Гурса в узком смысле. |
|
||
Задача 2.9. Решить задачу Гурса: |
|
||
|
ихх + Зиху - 4Uyy - Ux + иу |
= О, |
|
|
и\ . |
=5х + е , и\ |
=1. |
|
\у= 4х |
\ у = - х |
|
Решение. С помощью замены £ = х +у, т?= у - 4х уравнение приводится к
виду |
1 |
, после этого находим общее решение и получаем |
|
v — v£ = 0 |
|||
|
|
х + у |
|
|
|
и = <р(у - 4х)е 5 + ц/{х + у ) . |
|
Далее из дополнительных условий получаем |
|
||
|
|
\<Р{0)ех + у/{5х) = 5х + ех |
(2 3 1) |
|
|
[р(-5х) + ^/(0) = 1 |
|
После подстановки в общее решение выражений для (р(у-4х)иу/(х + у ) , получим
х + у |
х + у |
х + у |
и(х,у) = х + у + е 5 |
+е 5 - е |
5 [^(0) + ^(0)]. (2.3.2) |
Значение постоянной <р(0) + у/(0) |
находим с помощью любого из |
|
уравнений системы (2.3.1). Например, второго <р(0) + у/(о) = 1. |
||
С учетом (2.3.2) имеем |
|
|
|
х + у |
|
и(х,у) = х + у + е |
5 |
|
Задача 2.10. Решить задачу Гурса: |
|
|
иху+хих =0, |
х>0,у>0, |
(2.3.3) |
и|*=0 =<Р(У)’и\у=о = У'(Х)>
тде<р,ц/ е С2 (х >0) П С(х >0).
Решение. Поскольку функции (рпу/ непрерывны в точке (0,0), то из (2.3.4) имеем и(0,0) = #>(0) = ^(0).
Таким образом, целесообразно рассматривать два случая:
1)$9(0) * у/(0) . Задача (2.3.3), (2.3.4) не имеет решения;
2)<р(0) = ^(0). Тогда вначале ищем решение (2.3.3) в общем виде. Делаем замену v = ux . Отсюда
dv
— + xv = 0,
ду
dv
— = -xdy, v
ln|v| = -ху + 1пС(х),
их(х,у) = е~хуС(х).
Интегрируя последнее равенство в пределах от 0 до х, получим:
u(x,y) = u(0,y)+ je
о
X
и{х,у) = (р{у) + \е~&С($Щ.
Тогда из второго начального условия имеем
л
р(0)+ J C K y f = (K*).
Дифференцируя по х, получим
С(х) = i//'(x),
|
|
X |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
и = <р(у) + JfT^V'(£)</£ = <Р(У) + Jе~& |
|
= <р(у) ■ |
|
||||||
|
|
О |
|
|
|
X |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ е“*У Су)|* + У\е~®у/(£Щ. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
О |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и(х, у) = e ^ y /ix ) + (р{у) - <р{0) + у \е~&yi&dB, |
|
||||||||
Задача 2.11. Решить задачу Гурса: |
|
|
|
|
|
|||||
|
м „,------— (их - и у )= 1, |
у < - х ,х > |
2, |
|
||||||
|
ху |
х - у |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
и\ |
|
=0, и\ |
|
|
.2 |
|
|
|
|
|
у=-х |
= 2 + 2у + \-у" |
|
|
|||||
|
|
I |
|
>х>х=2 |
|
' |
2 |
|
|
|
Решение. |
Сделаем |
замену |
V |
С |
помощью |
указанной |
замены |
|||
и = • |
||||||||||
|
|
|
|
|
х - у |
|
|
|
|
|
выразим |
иху,их,иу |
через |
|
x,y,v и |
частные |
производные v |
Затем |
|||
подставим полученные выражения в уравнение задачи Гурса. После приведения подобных
vxy = x - y .
Непосредственно интегрируя полученное выражение, имеем
v = ^ |
+ <р{х) + у/{у) . |
|
||
Далее, учитывая первоначальную подстановку и = ■ |
получим |
|||
|
|
|
х - у |
|
|
+ |
|
х - у |
(2.3.5) |
Из краевых условий находим |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(р(х) + у/(-х) = х , |
|
|
|
|
<р(2) + у/(у) |
|
- |
1 2 |
|
у + г±_/—r_±sj__ 2 + 2у + —у |
|
|||
2 - у |
|
|
2 |
|
Из второго уравнения имеем
y/(-x) = 2 - X + —X1 (2 + x)-<p(2).
2
Подставив полученный результат в первое уравнение системы, имеем
<р(х) = хъ - |
2 - х + —х 2 |
|(2 + х) + <р(2). |
V |
2 |
) |
Подставляя выражения для |
(р{х)\лц/{у) |
в (2.3.5), после приведения |
подобных получим |
|
|
и(х,у) = {х + уУ