Рекомендуем решить: |
|
|||
1) |
/7 = 2, |
Т = 8, |
^(ДС) = ^[-8;-4](*)'(л + 8)-^(_4;4)(*)•* + |
|
+ ^[4;8](х - 8)’ И » = °> *=g |
0' = °’9) |
|||
2) |
/7 = 1, |
Г = 16, |
(р{х) = -Х[-3;-2]W-(3 + x) + ^(_2;_l]Wx |
|
X (х + 1) + ^[з;4](3 - X) + Х{4;5](*) • (* “ 5>’ К *) = °> |
||||
t = -L 0 = о , ш ) |
|
|
||
|
1о |
|
|
|
3) |
/7 = 1, |
Г = 3, |
^(х) = 2х -^[0;1](х) + (4х - 2 х2)-д 1;2](х), |
|
K'W “ О, |
г = -£ |
(/ = w ) |
|
|
4) |
/з = 3, |
Г = 12, |
$?(х) = 0, |
= 4^[0>i](x) - 4^[з 4](х), |
Г= | , 0=0,4^) |
|
|
||
5) |
/7 = 3, |
Г = 3, |
$?(х) = 0, if/{x) = -4^[_2;_,] - 2^[_10](х), |
|
6) /7 = 5, Г = 80, р(х) = 0, ^(х) = 2х-^[01](х), / = ^ ,
(7 = 03).
3.2. Полуограниченная прямая. Метод ограничений
Теорема 3.2. Если в условиях теоремы 3.1. функции <р, у/, /(•,/) (/ > О)
нечетные (четные), то для решения |
задачи Коши (3.1), (3.2) справедливо |
|
равенство u\x_Q= 0 (соответственно |
и^| |
=0). |
Задача 3.4. Решить смешанную задачу: |
|
|
|
utt = a2uxx,x> 0, t >0, |
(3.4.1) |
||
ML o =0’ |
|
0 .4.2) |
|
4 .0 |
= «<*).■<,1-0 =!"(*>• |
|
|
<р€ С2 [0;°о), у |
е С1[О.оо) |
|
|
Итак, согласно формуле Даламбера |
x+at |
|
|
, |
|
|
|
f/(x,r) = i[0 (x + ar)+ 0(x -a/)]+ \+(£)d$ |
(3.4.4) |
||
2 |
|
x-at |
|
Для того чтобы формула (3.4.4) |
удовлетворяла условиям задачи (3.4.1- |
||
3.4.3), рассмотрим три случая: |
|
|
|
X
1) x + at > 0, т.е. t> — (согласно (3.4.4))
а
ф(х + at) = q>{x+ at), ф(х - at) = -tp(x - at), +(^) = ^(£), £ е [х - at, х + at].
|
|
X |
X |
2) x - a t <0, x + at >0 , т.е. t> —,t> |
— Поскольку нас интересу- |
||
|
|
а |
а |
ет неравенство х > |
_ |
х |
выполняется везде. |
0, то неравенство |
t >— |
||
|
|
а |
|
ф(х + at) = <р{х + at), ф(х - at) = <р(х- at), +(<!;) = у/{^), если £ е [0, х + at] .
= -v(~ £)>если £ е [х - at,0].
x+at |
0 |
x+at |
0 |
*-д/ |
*-д/ |
0 |
дг-.х |
|
*+д/ |
.х+д/ |
|
0at-x
3)х + а/ < 0. Это невозможно, так как х, а и t - положительные значения. Итак, суммируя результаты случаев (1) и (2) и используя суже
ние U\D = и , получаем ответ:
|
- [<p(x+ at)+ <p(x- at)[ + |
|
j |
y/(<^)d^,x>0,t < - , |
||
|
^ |
|
x-al |
|
|
|
u(x,t) ~ ' 1 |
|
x+at |
|
X |
||
|
~[<p(x + at)-<p{at-x'^+ |
|
J |
y/{%)dZ,x>Q,t>-. |
||
|
9 |
|
at-x |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
||
Задача 3.5. Решить задачу |
|
|
|
|
|
|
|
Utt = a2Uxx + f(x,t), x > 0 ,t> 0 , |
|||||
|
|
u U o = ° - |
|
|
|
|
|
|
4 - o = l/' U |
|
= 0 - |
|
|
Решение. Продолжим функцию /0 ,0 следующим образом: |
||||||
|
|
\ /(*,/), |
х> 0 |
(3.4.5) |
||
|
F(x,t) = |
х< 0 |
||||
|
|
{ -/(x,t), |
|
|||
Тогда согласно теореме 3.2 решение U(x,t) задачи Коши |
||||||
(xeR,t>0) Utt = a 2UXX + f ( x ,t\ U\/=0 = U, |<=0 = 0, |
удовлетворяет усло |
|||||
вию i/| |
= 0, и поэтому сужение этого решения на D = (0,х)2 есть ре |
|||||
шение u(x,t) исходной задачи. Согласно формуле Даламбера |
||||||
|
t х+a(t-r) |
|
|
|
|
|
u(x,t) = U(x,t) = J |
| F{x,r)i^dT, |
x> 0 ,t> 0 |
|
|||
|
0 x -a(t-r) |
|
|
|
|
|
1) x>0, |
x - a t < 0 ,^/< —j . |
Тогда при |
изменении |
гот 0 до / функция |
||
а(т) = x - a (t - г) возрастает от x - a t до |
х, причем при переходе через |
|||||
точку г е [О,t\ при котором а(т) =0, знак меняется и точка находится по
формуле г* = / ——. Тогда при т<т* x - a ( t - T ) < 0 , а при т>т*
а
х - a(t - г) > 0, отсюда и из (3Л2) следует:
О x+a(t-r) / x+a(t-r)
“(*.<)= j| | |
F {4 ,№ + |
j i i e . r t e |
dr+ |
J |
jF(£,r)/<*tfr = |
|
|
_x-a(t-r) |
|
О |
|
T*x-a(l-T) |
|
г* |
0 |
х+я(/-г) |
t х+аЦ-т) |
|||
|
|
|
dr+ J |
\ m |
m d r . |
|
0 |
x -a(t-r) |
|
0 |
T*x-a(t-r) |
||
Далее, используя свойство нечетности функции и сделав замену в первом интеграле, получим:
т*х+а(1-т) |
t x+a(t~T) |
«(*.0= J J f(^,r)d^dr+ |
J | f{^,r)d^dT |
О в(к )-* |
т*х-а(/-т) |
Отсюда, объединяя полученные ответы, решение задачи принимает вид
t x+a(t-r) |
|
|
|
|
f |
f(^,r)d^dT, x>0,t < — , |
|||
t\x-a{t-r) |
|
a |
|
|
u(x,t) = |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
~a a{t-r)+x |
|
|
|
|
J |
I f{^^)d ^d r + |
J |
J |
f(^,r]d^dr,x > 0 ,t> —. |
0 a(t-r)-x |
t_x_ a(t-r}-x |
° |
||
Задача 3.6. Решить задачу |
|
|
|
|
|
ult = a2uxx, |
x > 0, / > 0, |
||
“L o = F (>1
И,_о = И<1„0 = ° Решение. Граничный режим вызовет волну, распространяющуюся от гра
ницы х = 0 в положительном направлении оси х со скоростью а . Поэто му решение будем искать в виде u(x,t) = f( x - at). Из начального и крае вого условий вытекает
и|/=о= ^0О = 0’ *> 0, |
(3.4.6) |
и, |,=0 = -«/'(*) = °> х>0 . |
(3.4.7) |
