Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

Обозначим через D область «-мерного евклидова пространства Еп

точек

JC= ( д г | ) с

декартовыми ортогональными

координатами

хь ...,хп, п ^ 2 .

Пусть F(x,...,pi

h

- заданная действительная функция точек

хе D

и действительных

переменных Piwj n с неотрицательными

целочисленными индексами

П

___

ц,..лп, £ ij = к,

к = 0,т,т>\, по крайней

М

мере, одна из частных производных которой

3F

* 0,

>1

Уравнение вида

dPib-in

F

( x

■9 U , ,..•) = О,

xeD .

(1)

cbcj1...дх1”

Уравнение (1) называется линейным, если F линейно зависит от

д^и

0<к<т.

всех частных производных —:----- —,

дх1...дх1"

Линейное уравнение можно записать в виде Lu = / (х), х е D , где

L

дифференциальный оператор первой степени относительно всех

лишь от

дх‘п

1 (Г т .

ах{‘ ..илп

я

1.1. Классификация уравнений в точке

Рассмотрим квазилинейное (линейное относительно всех старших

производных)

дифференциальное

уравнение

второго

порядка

относительно функции и(х) = и(х},х2,...,хп)

д2и

ди

ди

У &у (*1»Х2>• • • » )

dxjdxj + Ф

Х|,..., Xfl, дх.

дху

= 0 ,

(1.1.1)

‘J=]

ау(х)

Ч

“лп У

где коэффициенты

непрерывно дифференцируемые

функции

содержит при i ф j

не отдельные слагаемые ау

д2и

и а

д2и

, а их

lJ

dxjdxj

Jl dxjdxj

сумму (ау +aji)

д и—. Выражение ау + ajk

можно

разбить

на два

обладают различными аналитическими свойствами.

Зафиксируем точку х° е G

и рассмотрим уравнение (1.1.1) как

уравнение с постоянными коэффициентами ау = а(у (х°):

0

д и + ... = 0 ,

(1.1.2)

1 «.'J

дх :дх,

Ук = с к\х \ + с к2х 2 + • • • + с кпх п

(к = 1,2

(1.1.3)

Предполагаем, что преобразование

(1.1.3) неособенное, т.е., что

ди

ди

дук

ди

tei

~ 2~i а ,,

^

~ 2-jcki

$Ук

ы \дУк dXi

к=1

д2и

_

д2и

ду,

_

^

д2и

дх,-9 *j

к М

& к f y i

Ckl

d x j

k j l IСк' C>J

дУкдУ/

Подставляем в уравнение (1.1.2), получим:

п

0 О U

п

п

д2и

Z

О

...=

а и ^ Г Т 7

+ - - = L

a v

L

c kiCtj

+

дукду,

i,j=\

д х & 1

i,j=\

к м

(1.1.4)

п

( п

д2и

п

,

л ()

и

= Z

T al ckicij

V

+... - О,

+ ... =

a kl

kj=\\i,j=\

дукду,

kj=1

дукду.

где

новые

коэффициенты

Щ выражаются через старые

согласно

формулам:

2$ = Z

a fjc kic ij

(1-1-5)

<J=i

Рассмотрим соответствующую уравнению (1.1.2) квадратичную

форму от вспомогательных переменных t s

0-16)

'.7=1

Если в квадратичной форме (1.1.6) перейти к новым переменным

rs

при помощи матрицы, транспонированной к матрице

\\ckj\\

в (1.1.3),

выражая старые переменные ts через новые гЛ

t, =сит] +с2,т2 +... + сп,тп

(/ = 1,2,...,и),

(1.1.7)

получим:

'>7=1

= Z 4

Z

cfor/ tZ c/yr/

/,y=l

U=1

/=1

n (

n

= Z

Z 4 jCkiClj

TkTl = Z 5* / ^ ,

Л,/=1\/,у=1

у

A./=l

5 > /2 -

2 >,2, т<п

(1.1.8)

/=1

/=/-+)

Кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм целые

числа г и я ? не зависят

от преобразования (1.1.7).

Это позволяет

Если в квадратичной форме (1.1.8)

т = п и все слагаемые одного

знака (т.е. либо г = т, либо г = 0 ), то

уравнение (1.1.1)

называется

уравнением эллиптического типа\ если

т = п, но имеются

слагаемые

разных знаков (т.е.

1 < г </7- 1), то уравнение (1.1.1) —гиперболического

типа (при г = 1

или г = п —1

нормально-гиперболического типа);

у = у(х) в уравнении (1.1.1), т.е. при

Ук=Ук(*\'Х2,...,х„) (к =1,2....,я),

(1.1.9)

D _ д{У\’Уг,--;Уп) Q

2И(у )= 2 > *

dxt dxj

(1.1.10)

При

этом,

так

как

D * 0,

то в

некоторой

окрестности можно

выразить переменные х через переменные

у,

х = х(у).

Обозначим

ы(х(д/)) = «(у).

Для того чтобы одним и тем же преобразованием (1.1.9) можно

было привести уравнение (1.1.1) к каноническому виду

г

д2~

т

и U

z/=1

v-'

dyf

i=r+1 dyf

+ . . . =

о ,

необходимо, чтобы число условий в соответствии с (1.1.10)

ак/= 0, / * к,

1,к = 1,2,...,и;

(1.1.11)

a,i =£iau ,

I = 2,3,...,л;

£ ,,*0,

где

£•/ = 0, ± 1,

не

превосходило

числа

неизвестных

функций

у к,

к - 1,2,...,л:

я(и - 1) + н -1 < я,

т.е. п <2 .

2

В

противном

случае

система

уравнений (1.1.11) -

з

/

= х 2 + 2xlx 2- 2xixi + 2*2 + 2*3 = ^О уХ ^у

<J=i

Причем,

так

как

ау = ajt,

то

<*\\ =* 1, «12 = 1, ^i3 = -1, а22 = 2, «зз = 2. Поскольку, например,

яп * 0,

то, как легко

проверить,

выражение

а ^(а п х^ + ai2x2 +

+а\„хп)2

х = х 2 ,

^ r =(x!

*2

xn), A

симметрическая

матрица

\ XnJ

квадратичной формы f причем Ат = А .

В нашем примере

1

1

- П

х\

/

= (х,,х2,х3

1

2

0

х2

-1 0

2 , КХ2

Линейное

преобразование

X = GZ,5

X T = Z TGT приводит

форму / к

виду

/

= Z T[pTAG^fZ,

где

1 - Г | 1 - 1

1

0

0" 1

2 N ( \

0 °1

(G T A G )= - 1

1 0

1

2

0

0

1 - 1 = 0 1 0

U

- 1

и 1 -1

0

2J1° 0

1 , 10

0

o j

Таким образом,

"1

0

0

"

м

/

= (21>22>г з)| 0

1

0

z2

= (^b Z 2,23l

= z \

+ z 2 ■

,0

0

0

,

г

2

l

o j

у = 2х - у + z.

Делая замену переменных

в исходном уравнении, получаем

( u(a,/3,y)=u(x,y,z)):

их =иа -ах + ир

{Зх +иу -ух = йа - й р +2иу ,