Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения математической физики..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

= |учитывая, что J 0 (Мп) = 0, J'o{x) = ~ J t(х)| =

		M n Jo \~ V lW
	= R2a2			а
	= R2a2		ipna f- { h R )2
			ipna f- { h R )2
				R2a2MnJ0	hR	\ j x{Mn)
IT				R2a2MnJ0	~	\ j x{Mn)
IT	—	A	M	-	a
J \ 2M	—	A	M	-
a " = R2	Mn			J ,
				J ,
IT	a2Mn			_______2Th2R2_______
Vn	{/ina?	~(hRf		\ Ji k k	k	a)2 - W 2]
Таким образом, получаем
u(r,t) =-			■ « V - Ч т К		*
	Jr		■ « V - Ч т К		*

+ 2Th2R2X

■- г--- ~ TA^I,

где p ,,p 2,• • • - положительные нули функции J 0(x).

7.6. Метод Фурье для многомерных задач

Приведем некоторые сведения из функционального анализа. Пусть р х е С[а,Ъ\ р, (х) > 0, х е [а, р 2 е С[с, 4 р 2 (у) > 0, у е [с,d),

£> = [a,b]x[c,d\ р{х,у)= р]{х)р2{у\ (x,y)eD ,

		{■Xп }и=] с	^ 2,р [ ° ’	О и }/1=1 с		^ 2 ,р [с »d \
		ф пк (* > у ) = Х а (х )г к ( у \ ( * > у )6 D •
Теорема. Если {Х„}”=1 - базис в					I 2,p[a»6L		а	Eli	базис в
12)РЫ	] , то {Фпк }^=1 - базис в I 2)P(D).
Так как	{фпк }®А=1 - базис, следовательно, эта последовательность ортого
нальна и полна:
1) ортогональность:
				О,		п ф т U к Ф j,
	{Фпк >ф пу )		Фщ dxdy	\ф п кЦ р , п = т ,к - j\
				\ф п кЦ р , п = т ,к - j\
2) полнота:
					00
V/ € L2 P (D ) имеет место разложение / =					^ С пкФпк , при этом
					п,к=	I
	/ ~	^СпкФпк	—►О,	N —^ со,		Спк -	i f . * * )
		п,к=\	2,р			Пк	IФ» "2
			2,р			Пк	IФ» "2
IK illlp		=	\| К м *				2	f c i 2
IK illlp		=	\| К м *					Р2

Задача 7.14.

Начальная температура однородного конечного цилиндра радиуса R и

длины 1 (0 < z < /) равна yl(i?2 - г2 )z. Определить распределение тем пературы в этом цилиндре в любой момент времени t > 0, если верхнее основание цилиндра поддерживается при нулевой температуре, нижнее основание теплоизолировано, а с боковой поверхности происходит теп лообмен с внешней средой, имеющей нулевую температуру.

Постановка задачи.

Пусть u(r,<p,z,t)	функция распределения	температур, в силу
симметричности достаточно рассмотреть функцию u{r,z,t).
м/ = а 2Дм,	/>0, 0< r< R , 0 < z < I,	(7.6.1)

(7.6.2)

V=0 <°°> (“r * hu\ r.R =°,

(7.6.3)

“« U ' 0' “l„, = °-

Решение. В силу однородности граничных условий распределение темпе ратур ищем в виде u{x,t) = Ф(г, z)T(t) Ф0.

ФГ = а 27ДФ	1
	а2ТФ ’

ГДфоб

	а2!1	Ф
	Т' +Ла2Т = О,
	ДФ + ЯФ —о
Рассмотрим граничные условия
("г + H	„ S “ И ,	=Г(Ф, + АФ)\|,,Л=0.
Так как Г(/)#0,	то (Ф, +ЬФ)п_Л = 0 , аналогично преобразовывая ос
тальные условия, получим следующую задачу:
	ДФ + ЯФ = 0, 0 < г < R,		0 <z <1,	(7.6.4)
	Ф /•=0 <оо,	(ф ,+/*ф)\|г=Л=0,		(7.6.5)
	1ф * и = 0’	ф1г=/=°-		(7.6.6)
	1ф * и = 0’	ф1г=/=°-
Далее будем искать функцию Ф(г,г) в виде произведения
X(r)z(z) Ф0, удовлетворяющую задаче (7.6.4) - (7.6.6).
ДФ = - ^ - (г Ф г)+Ф г2 = Ф , , + - Ф Г+Ф22,
	г or		г
	X ”Z + - X Z + XZ' +AXZ = 0,
	г
	X ”Z +- X Z = -X Z ”-*X Z		X— ,
	г		XZ
	Х ”+ - Х '	- Z " - A Z ° 6
	г	- Z " - A Z ° 6		(7.6.7)
	г	------------= - а .		(7.6.7)

Преобразуя граничные условия, получаем задачу Штурма - Лиувилля.

Х ’ +- Х ' + аХ = 0, 0 < r< R,

Г	(7.6.8)
\|^(0)\|<оо,	* '(* )+ ^ ( * ) = О-
Общее решение задачи:
Х(г) = С,	(Jar)+ C2N0 (j^r).

В силу ограниченности функции Х{г) С2 = 0. Из второго условия

X '(R )+ hX(R) = C]JaJ'0(jar)+ С]к10Уаг)= 0, так как мы ищем нетри виальное решение, следовательно, Q ф 0.

- J a J 1(jar)+ hJ0 (jar)= 0.

Обозначим Ja r = /л, получим
			(7.6.9)
Пусть		- последовательность положительных корней уравне
ния.
f	\	(	л
Тогда а п =	—	- собственные значения, X n(r) = J 0	- собствен-
\	R J	V	R .

ные функции. Последовательность этих функций составляет базис в

L2tf>]p,R] при р(г) = г

Подставляя собственные значения в уравнение (7.6.7), получим

,	ч	об
Z" + (Я - а п )Z = О, Л - а п = р
Из граничных условий Фг\|г=0 =0»		Ф\|г=/ = 0 получим условия для функ
ции Z. Таким образом, получаем задачу Коши для функции Z.
(Z" + /3Z = 0,		0 < г < /,
U о м	ZW -0,		(7'6ло)

А = ( ^ | ^ ) 2 Z i(Z) = c o s ^ ± l ) z, А =0,1,2,...

Таким образом, получаем, что Л - а п = р к, т.е.

Я = 1,2,..., к = 0,1,2,...

Согласно теореме Фпк{г,г)= X n(r)Zk(z) является базисом, вер немся к исходной задаче (7.6.1)-(7.6.3).

u(r,z,t)= £ Tnk{t)0nk{r,z). n=l,fc=0

Следовательно, можно построить задачу для нахождения Тпк:

	Т'пк +а2ЛпкТ = 0,
	Т ( o ) - ( ^ i ) _ v
		пк\У / “ „ „О “		Упк»
			Фпк \г,Р
	Г ( г , 2 ) = а { я 2 - г 2 У
Решение задачи является функция Тпк (t) = Апке а2Дп*', причем кон
станты Апк = у пк
Вычислим константу:
			Ям(л2- ^ y ^ n H Z ^ d r d z
_	( f ^ n k )	_	р
/ пк	и и2		\ \ x 2n{r)zl{z)drdz
	ИпЛг.р		\ \ x 2n{r)zl{z)drdz
	ИпЛг.р		D
			D
\г(я2 - r2U		^	f ) dr \z cos	+ ^ zdz
= A-				- A 71-/2
				/ 3 ^4

w t e y icos2 n{<lk2i ^ zdz

4Г	7l{lk + 1)	_ 2/2(-l)A	4/"
* cos—--------z		(2+l)	яг2(2Л:-ь l)2
я 2 (2k + l)2	21

2Г ^ + lX-l)* - 2 |

ж2(1к + \)2

A =	•4 U ,)+ ./\|2(ft.)]= -2^	•A)0O + VMn)	^О&п)

Д2Л2и . ) к 2 + * 2*2 2 /4

Таким образом,
_ 2RAJ a{M nfaM -M l)u2)p{2k + i i - \ Y - 2 j2 • 2цДЮ				_
Укп			+R2h2\l
Mi* (2k + r f Rl 4			+R2h2\l
16R2(2Rh - ju2n )\л{2к +lX- i f - 2]
А * 2(Ы +\)2^о{рп%12 +R2h2\
Ответ:
	^ (2* + 1)2!/0		+ л 2A ]
21	\a t	^	л(2к +1)
21		^	л(2к +1)
xe		^cos—!*--------
	X	R /	21

jU\,ju2,Мз>• • • " последовательность положительных корней уравнения

Пусть дана функция и(р), р е						Rn , тогда
Ли = 0 - уравнение Лапласа,
Ли = f{ p )	- уравнение Пуассона.
Ли - оператор Лапласа для функции и ,
при п = 2		д2и		д2и
	Ли = —- + — -				- в декартовых координатах,
		дх2		ду2
	1 д (		диЛ		1	д2и
Ли = ■		г	—	+ — + — - - в полярных координатах.
	г дг	.	д г )	г 2		дер2
Тогда
Ли = 0,		р е G		внутренняя задача Дирихле.
« L = / М

Ли = 0,		р е R \G			- внешняя задача Дирихле.
u\L = fip )

Ли = 0,		р е G
ди	_			- внутренняя задача Неймана.
дп
Ли = 0,		р е R \G
ди	= f{p )				- внешняя задача Неймана.
дп

Здесь G e R n • область в «-мерном пространстве, L - ее граница, п
нормаль к границе.
Задачи, приводящие к краевым задачам для уравнений эллиптического
типа:

1. Задача о форме равновесия мембраны.

Рассмотрим задачу о колебаниях мембраны. Она описывается сле

дующим уравнением:
p{x,y,t)	,а	2 Т	^ ,	л
utt = я 2(«х* +м ^ ) + ----------	,а	= — ,x ,y e G ,t>		О,
Р		Р

при этом в случае стационарного процесса, не зависящего от времени, получаем

Л р{х,у)

Ди = ихх + Uyy = ----- - уравнение Пуассона.

2. Задача о стационарном распределении температуры.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в цилиндре (в пла стине, в фигуре), она описывается уравнением

2 (	\	p{x,y,t)		2	к
щ = ^ [ и хх+иуу)+		v	’■*	а2	= — .
			ср		ср

Тогда задача о стационарном распределении температуры, т.е. вне зави симости от времени, описывается уравнением Пуассона:

Uхх ^уу ~	р{х,у)
	к

Задача 8.1.

Найти форму равновесия прямоугольной мембраны ОАВС, если на сторо ну ОВ действует сила линейной плотности а (у), сторона АС свободна, а

стороны ОА, ВС закреплены в положении х2, х соответственно.

Постановка задачи:

Uxx+Uyy=0'	0 < х< а > 0 < У <Ь
« 4 =0= « М	« * U e 0
М1,=0= *	U\y=b = *
Решение.
В силу неоднородности граничных условий по у решение ищем в виде

суммы и = v + w , где w(x,y) = А(х)у2 + В{х)у +С(х) удовлетворяет неод

нородным граничным условиям.			х —х2	о
			х —х2	о
Наиболее простой вид функции: w(x,y) =			-у + х2 Тогда исходная
Наиболее простой вид функции: w(x,y) =			О
			О
задача принимает следующий вид:
vrr+vvv=; 4* V	-	2 ^ - = f(y ),
^ Ууу	-	^

			,об
,	2 a - l		_ 06 ( 4
\x=a		——+2a = y/\y),
\x=a
v	n = v		. = 0.
iy=0		I y=b

Далее решение ищем в виде произведения v(x,y) = X(x)Y(y).

— =	= Я
X ~	Y ~
Получаем задачу Штурма-Лиувилля для Т(у):
?Г' + ЯУ = 0,
\|У(0)=У(б)=0.
Собственные числа данной задачи -	Хп - т \12	, п = 1,2,..., а соответст

вующие им собственные функции - Yn(у) = sin .

Таким образом, решение ищем в виде ряда Фурье по собственным функ циям задачи Штурма - Лиувилля:

и(х> у )= ^ Х п{хУп(у)- П=1

Получаем задачу для нахождения функции Х п(х):

ь
\f{y)svz^r-d y
Х'п -Л пХ п =±-	b	2	^ . т у	об
Х'п -Л пХ п =±-	------ = ~		\f{y )sm —	dy = сп,

\(p{y)sm ^-dy

К (о )=

= ^\<p{y)sin^-dy = an,

X '*W “ ------

r ~ 2 -------

= | \y /(y)sin ^-d y = bn.

Решение уравнения имеет вид

X „ (x )= A „ c h ^ + B„sh ттх cnb

оb т

Подставляем данное уравнение в граничные условия, получим
(	т (* -в)
	Ьп

	* » м = —				- +с.
		т			sh та
Окончательно решение исходной задачи имеет вид
					т (х -а )
и(х,у) =	х - х	2	V	^	bn ~ an°h	sin	т у
и(х,у) =		■у + х	+ £ —		■+с„	sin
				т	та
					sh
Задача 8.2.
Решить краевую задачу
		Ди(х,у)= х2у,			0 < х < а , 0< у< Ь,
		• ы(0,у)=0,		и{а, у) = О,
		ы(*,0) = 0,		^ ( x ,b ) = 0.

Решение.

Отметим, что сложность данной задачи в том, что на трех границах зада но условие Дирихле, а на четвертой {у = Ь) - условие Неймана (нормаль ная производная от решения).

Так как в задаче однородные краевые условия, то можно сразу искать ре шение в виде и(х,у)= X(x)Y(y). Подставив в исходное уравнение и гра ничные условия, получаем задачу Штурма - Лиувилля.

рг+лдг = о,

Х{0) = 0,	Х(а) = 0.
Собственные числа данной задачи -	Л„	к = 1,2,..., а собствен

ные функции - Х п{х)= sin---- .

Получаем, что решение нужно искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля:

M sin“	-
А=1	а

Для постановки задачи необходимо разложить по этим функциям и пра вую часть уравнения:

2 v"1 •	к ю с
X У =У’Ъ 8к*т ---- >
	л
к- 1	а
к- 1	”

Z Г 2	“г	х	2 . клх j
£*= -]■		х	sin---- ах.
Па	*'
“	о

2 а Ч - \Т '	402(-l)*	4а2	(8.1)
8к	(k n f	{knf
кл

Таким образом, подставляя полученное разложение в исходное уравне ние, получим:

гк(у)~{— 1 Ук(у) = У£к>		0 <У<Ь,
V а )
>*(о)=П'(о)=0.
Отсюда		2
кду	_кяу	2

= V “ + вке ~ - У В Ж , \кп)

Подставляем это решение в краевые условия, получаем систему для на хождения констант:

Ak +Bk = О,				/сяЬ
,	/	,	N	/сяЬ
Лк~ 7 е °	V	а	V	е - 7 - ^	=	0.
. а	V	а	)	(Ляг)2
Отсюда
			At = -В* = ■			a3g*
			At = -В* = ■			.3 , клЬ
					2(for)3 ей
						a
Окончательно, решение исходной задачи примет вид
			(			\
				а*8к	sh^SL- ^ Щ .		. ктгх
				а*8к	sh^SL- ^ Щ .		sin----
			к=\	(1kn fch —		а ikn)	а
				а

где gk вычисляется по формуле (8.1).

Задача 8.3.

Решить задачу Дирихле в кольце между окружностями радиусов гj и г2.

	Аи(х,у) = О,			Г]2 < х2 + у 1 < г2
	wL w = n 2 = ^				^ ’	0<(р<2ж
	иЬ +у2=1^ = Л М					0 <(р<2я
Решение.
						Г~2	2		У
Перейдем к полярным координатам г = ^х							+ у	и	tg<p = — .
Таким образом, задача принимает вид
,	д2и	1	ди	1	д2и .			Г\ < г < Г2,
	д г	г	дг	г	д(р			Г\ < г < Г2,
	д г	г	дг	г	д(р

w\|r=n= / i W	§<<р<2п

Кроме того, имеются краевые условия на боковых сторонах прямоуголь ника - условия периодичности:

и(0,г) = и(2я,г),

дф дф

Таким образом, получаем задачу Штурма-Лиувилля для функции Ф(<р)\ Ф" + ЛФ = О,

Ф(0) = Ф(2я\ Ф'(0) = Ф'(2лг).

Решая эту задачу, находим собственные значения, которые имеют вид -

Л	а	собственные	функции
Л„=п , п = 0,1,2,...,
		2 ^	^ Q

{

Метод Фурье для задачи в кольце состоит в том, что решение мы ищем в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля:

00 00

u(<p,r) = £i?*(r)cos£<p + £s*(r)sinfy>.

к=0 ы

После подстановки этого ряда в исходное уравнение получаем уравнения для радиальных функций:

К + - К - 4 * „ = 0 ,

	s;+i s ; - V » =0-
	г	г 2
Таким образом,	Rn = Апгп +Впг п, п ф О,
	=Cnr n +Dnr -П
	Во -	+ Во Inг

Получаем общее решение однородного уравнения Лапласа в кольце:

и(<р,г)= А0 + В0 1пг + ^ ( а „гп + B„r~n)coskp +

к= 1

+^ (c„r " +Dnr п)sin к(р.

к=\

Произвольные постоянные находятся из краевых условий:

	j 2n
AQ + 50lnri = —		ffi(<p)d<p,
		0
		2к
^o + 50lnr2 = -^-		\ f 2{<p)d<p
и при Л = 1,2,...
Л /Г +	” = ~	\f\(<p)cosk<pd<p,

*о

^2л*

Anr2 +Bnr2n = — [/2 (^)c°s kcpdcp, ТГ •

Cnr\n +Dnr\ n = - j"/i(^)sin k<pd(p,

n О

« 2/r

Cnr2 +Dnr2n = - \ f 2{(p)^k(pd(p. 'ТГ J

Список использованной литературы

1.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям ма тематической физики. -М .: Наука, 1977. - 224 с.

2.Комеч А. И. Практическое решение уравнений математической фи зики: Учеб.-метод.пособие. - М.: Изд-во Моек, ун-та, 1986. -160 с.

3.Николенко В.Н. Уравнения математической физики: Учеб.-метод, пособие. -М .: Изд-во Моек, ун-та, 1981. -392 с.

4.Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред. В. С. Владимирова. - М.: Наука, 1974. -272 с.

5.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики - М.: Наука, 1966. - 724 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022667.66 Кб6Управление социальным развитием организации учебное пособие..pdf
#
15.11.202211.46 Mб16Управление техногенными отходами..pdf
#
15.11.202222.56 Mб10Управление электронно-лучевой сваркой..pdf
#
15.11.20221.61 Mб16Управленческие решения..pdf
#
15.11.20226.06 Mб4Управленческий учет 2013 N 11..pdf
#
15.11.20225.66 Mб29Уравнения математической физики..pdf
#
15.11.2022243.7 Кб50Уравнивание спутниковых сетей. Предварительная оценка точности проек.pdf
#
15.11.20225.88 Mб65Устный последовательный перевод ключевые аспекты теории и практики..pdf
#
15.11.202215.3 Mб47Учение о нефти..pdf
#
15.11.20223.55 Mб8Факторный анализ планирование и прогнозирование экономических и упр..pdf
#
15.11.20225.12 Mб69Физика для бакалавра Часть 2..pdf