Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения математической физики..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

7.5. Понятие функций Бесселя

	Рассмотрим уравнение
	1 , 1 , 2	V2
	/ + - / + 1к	у = о,
	У	Г
	%2у н +& + {§2к2 - v 2)y = 0.
	С помощью замены х = к%,	Л
	С помощью замены х = к%,	z(x) = у — = у(^)
	нению Бесселя	\ к )
	нению Бесселя	>
	.2	>

z" + - z '+ l - ^ - |z = 0,

x2z" + xz' + (лг2x2 -V2)r = Получим, что его решение

(7.5.1)

сводится к урав-

(7.5.2)

j ( Л - у

(-0*

1/ X\'2k+v

л> к т + * + 1)

функция Бесселя порядка v первого рода. Аналогичным образом можно рассмотреть функцию J_v(x).

Если v е R \ Z , то
z{x) = C,Jv{x)+C2J_v(x).	(7.5.3)

Если v = п е Z, то J п(х) = (- l)wJ _п(х) - линейно зависимы. Вве дем функцию Бесселя второго рода (иначе ее называют функцией Вебера

или Неймана):
„	(vg R \Z \
	sinnv

Nn(x) = lim Nv(x), n e Z .

V—

При этом функции Неймана и Бесселя для одного и того же порядка ли нейно независимы, следовательно, Vv е R

z(x) = CXJ V(х)+ C2N V(х).

(7.5.4)

Асимптотические оценки.

		00,	v < 0,
lim Jv(x) =		1,	v = 0,
.x~>0		0,	v > 0.
		0,	v > 0.
lim Nv(x)= oo,
л—>0			_3
		-V n	_3
•/±V = J ---C0S		-V n	n N
•/±V = J ---C0S	x +--------- + vx 2
7tX	^	2	3

Рекуррентные соотношения.

d L - v

лМ-ЛиМ-лМ.

Л (*)= " Л +i (*) ^ л: Л (*) >

л+|М+Л-1^)=—л(^)’

л:

л+i(*)■-Л-iМ= ~ 2 J v W»

[x/j(x)] = xJ0(x),

j XJ Q(x)dx = xJj (x),

Ортогональность с весом.

Теорема. Если P\,Pi ' К0РНИуравнения

apJv(ju)+pbJ'v{p)=0,

(7.5.5)

(а> О, b> 0, а + Ь> 0, v > -l),

-.2'

то	) (к = 1,2) - ортогональны в L2>p[0,l]:
\ I	)
	\p (xV v \^ j~ y v ( Ю ? dx =			О,		М\ *^2>
	\p (xV v \^ j~ y v ( Ю ? dx =				// И
			I J	к	И\х	М\=И2-
					I 2,р
При этом						..2 >
( Mix						..2 >
( Mix		=				+ f i - 4 k 2U ) .
\		=	1 >	2		+ f i - 4 k 2U ) .
\	I 2,р оО		1 >	2		I к )
		( и	тЛ
		И\х
		Jo	I J 2 .Р	^
		\	I J 2 .Р	^

Уравнение (7.5.5) имеет счетное число корней, все они вещественны.

Задача 7.12.

Решить задачу Штурма-Лиувилля

(

Х ' +- Х ' +	X = 0, 0 <х<1,
X	х
	х
\|ЛГ(о)\| < СО,	aX{l)+bX'{l) = 0 .

Собственные значения неотрицательны: а) Я ф 0.

Сделаем замену X(g) = х [ Л х ) = Х(х), тогда

Х'(х) = Х '( £ )Л , Х"{х) = Х"(<*)Л,

ЛХИ+- 4 л х ' +	.2 ^
ЛХИ+- 4 л х ' +	х 2	х = о ,
	х 2	,
	х	J
Х ” + - ^ = Х ' + 1 -		1 = 0,
xVя	(xVXf

	.2 А
	1 -	*	= 0.
	X{x) = CiJv(t)+C2N_v{Z),
так как \ХЩ < оо => С2 = 0 (лф ) = оо).
	аХ(1)+ЬХ'{1)= aCiJv(>/I/)+6C17Ij;(-N/I/)= О,
	V I/=% ,
	aJv(ji)+ j^f'v(ji) = 0.
Пусть	- положительные корни уравнения, так как J.			М„х' и
Л VnX	линейно зависимы,	то	собственные	значения

/\ 2

Ни	и = 1,2,...	X n{x) = Jv	- соответствующие им собст-
I	и = 1,2,...	X n{x) = Jv	- соответствующие им собст-
\ 1 у
венные функции.
б)Л = 0 .	1	v2
б)Л = 0 .	х ' +- Х ' - ^ г Х = 0
	х	х2

только в случае а = 0 и v = 0 является собственным значением.

Задача 7.13.

Поверхность однородного бесконечного цилиндра, имеющего температу ру Т, начинают охлаждать с момента t - 0 по экспоненциальному закону. Найти распределение температуры в цилиндре в любой момент времени.

и( = а2Аи,	t > 0, 0 < г < R,
\|«(0,f)\|<oo,	u\r=R=Te -А2/

4=0 = Т Граничные условия неоднородны, т.е. решение необходимо искать в виде

u(x,t) = v(x,t)+w(x,t), где w(x,t) удовлетворяет неоднородным гранич ным условиям. Но при этом, используя свойства экспоненты, можно най ти функцию

w(r,t) = f(r]e~h2‘,

(7.5.6)

удовлетворяющую одновременно и однородному уравнению, и неодно родным граничным условиям.

.	d2w	1 dw
Aw = — r- + - —
	dr	r or

Подставим функцию в виде (7.5.6) в исходное уравнение и граничные ус ловия. Получим

/ " + - / ' + :V / = о,

гСГ

|/(о )| < « , / ( R ) = т

Решаем полученную задачу:

yW-c,./0( - W			„ f - ]
	Уа J		\ а )
т.к. \|/(0)\| < со, a J 0(0) = 1,	N0(О) = 00, то С2 = 0.
	rhRy = Т	=>	Cj =
	а )		fh R V
			\ a J
Итак, w(r,t) = -	hr_ -h2t	удовлетворяет однородному урав
Итак, w(r,t) = -	a ,
rhR^ •Jr.	a ,
J С

к а ,

нению и неоднородным граничным условиям. Тогда для нахождения v(r,t) получаем задачу

vf = а	f	1	^	,	t > 0, 0 < г < R,
vf = а		угг ^ уг		,	t > 0, 0 < г < R,
		V Н---- V	J
			J

|v(0,/)( < 00, г|г=Л=0,

'	,	( h r V
	J o		об
V t=0 = Т ' 1—		V a j	= (p{r).
	T	hR'
	J Q	---
		\ a JJ

Далее решаем стандартным методом, аналогично предыдущим примерам.

Ar,t)=T(t)x(r).

Для нахождения	ставим задачу Штурма —Лиувиляя*.
	Х" +-ГХ ' + АХ =О,
	[Wo)\| < 00,	*(д)=о.
По свойствам	задачи Л > 0.	Общее решение имеет вид

Х{г) = с М Л г )+ СгЛ^Дл/Яг). Из первого условия С2 = 0. Из второго -

Х{г) = С ^ 0{Л г)= 0 .

Cj ф 0	=> о/’о(л/Яг)= 0.
Делаем замену лДг = ц , получим уравнение
Л Ы	= 0-	(7.5.7)

Пусть ц ъ ц 2,... - последовательность положительных корней уравнения (7.5.7), тогда собственные значения Л„ = ( t b } 2, а собственные функции,

	\ R j
соответственно, X n(r) =	л-1,2,....
Ставим задачу для нахождения функции Т.
• ' J	EH£ ' Т = 0
	1 п

г.(0

W 2,Р

В этой задаче функции Х п{г) ортогональны с весом р(г)=г Решение

задачи будут функции

-i— f ' r nW =e«e ^ R

Вычислим коэффициент а п. Для этого сначала найдем норму:

'Xnf2tp = \ rJi [ ^ j f ) dr = k2(Mn)+J\(Mn)]=^Y J>2^ )•

Найдем коэффициенты разложения в ряд Фурье функции (р.

r	( h r Y
	J г

	(ч>,х„)=т I 1 —			ГЫС		Jr	R	dr
			Л		a
					a
= Т		/ V	dr —	1___	Rc	тf hr\ „		ц пг ^
= Т	]rJQ	R	dr —				Jr	dr
	]rJQ	R	Л	W	о	° L		R
			Л	—	о			R
				a
			= ——rJ]			R	R 2
			= ——rJ]			R ) 0	= — J i M -
			Mn			R ) 0

Для вычисления второго интеграла необходимо воспользоваться сле дующей формулой:

		(к > —1,
\	/		-Л
/	^0	п	Jr =
/	1	Л	J

a ,j3 sR ,

г II ^1

dr =

( Г - а 1

а* (5)

=\R y jJ ^ ^ jQ { /u ny)dy =

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022667.66 Кб9Управление социальным развитием организации учебное пособие..pdf
#
15.11.202211.46 Mб33Управление техногенными отходами..pdf
#
15.11.202222.56 Mб21Управление электронно-лучевой сваркой..pdf
#
15.11.20221.61 Mб27Управленческие решения..pdf
#
15.11.20226.06 Mб10Управленческий учет 2013 N 11..pdf
#
15.11.20225.66 Mб44Уравнения математической физики..pdf
#
15.11.2022243.7 Кб80Уравнивание спутниковых сетей. Предварительная оценка точности проек.pdf
#
15.11.20225.88 Mб104Устный последовательный перевод ключевые аспекты теории и практики..pdf
#
15.11.202215.3 Mб59Учение о нефти..pdf
#
15.11.20223.55 Mб12Факторный анализ планирование и прогнозирование экономических и упр..pdf
#
15.11.20225.12 Mб109Физика для бакалавра Часть 2..pdf

7.5. Понятие функций Бесселя

(xVXf