Теория расчет и проектирование авиационных двигателей и энергетичес.-1
.pdf
Пусть система будет задана в виде газа, находящегося в цилиндре под поршнем (рис. 1.1). Первоначальный объем в положении 1 равен V1, давление газа равно внешнему давлению p1 = pн, поршень будет неподвижен.
При уменьшении внешнего
давления до значения pн′ , перепадом давлений p1 − pн′ поршень сместится вправо и остановится в положении 2, в котором давление системы станет p2 = pн′ , а объем – V2. Произой-
дет процесс изменения объема с совершением газом работы расширения. Элементарное значение этой работы будет равно силе, действующей на поршень рF, умноженной на перемещение поршня dS
dLϑ = pFdS, |
(1.2) |
или |
|
dLϑ = pdV , |
(1.3) |
где F – плошадь поршня; р – промежуточное давление газа, p1 > p > p2; dV = FdS – элементарное изменение объема.
Проинтегрировав выражение (1.3) от начального состояния до конечного, получим
2 |
|
Lϑ = ∫ pdV. |
(1.4) |
1 |
|
При увеличении объема системы не вся работа расширения может быть полезно использована, часть ее затрачивается на вытеснение среды. Произведенная системой работа по преодолению внешних сил давления для данного примера
|
|
Lp = pн′V2 − pнV1 , |
(1.5) |
так как |
pн = p1, p′ |
= р , то |
|
|
н |
2 |
|
21
Lp = p2V2 − p2V1 = ∫2 d ( pV ) . |
(1.6) |
1 |
|
Примем допущение, что ΣLпр = 0, тогда |
|
2 |
|
Lвн = Lϑ − Lp = −∫Vdp . |
(1.7) |
1 |
|
Такие интегралы имеют простое геометрическое истол- |
|
2 |
|
кование (рис. 1.2). Так, интеграл вида ∫ pdV |
численно ра- |
1 |
|
вен площади под кривой функции p(dV) V1 – 1 – 2 – V2, а ин-
2
теграл ∫Vdp численно равен площади под кривой функции
1
V(dp)р1 – 1 – 2 – р2.
При увеличении температуры газа объем V1 возрастет (кривая 1–2 сдвинется вправо) и при одном и том же изменении давления p1/p2 внешняя (полезная) работа увеличится.
Величина внешней работы также возрастет при увеличе-
нии p1/p2. Выводы:
1. Газ совершает внешнюю (полезную) работу при расширении.
2. Более нагретый газ совершит большую внешнюю
Рис. 1.2. Работа процесса работу при одной и той же степени понижения давле-
ния p1/p2.
3. При увеличении степени понижения давления величина внешней работы возрастает.
22
Теплоемкость газа
Теплоемкостью газа называется количество теплоты Q (энергии), которое необходимо подвести к рабочему телу (газу) массой m, для изменения его температуры T на 1 K:
С = Q/∆Т [Дж/K]. |
(1.8) |
Удельная теплоемкость – количество теплоты, которое необходимо подвести к 1 кг газа для увеличения его темпера-
туры на 1 K: |
|
|
|
c = C/m [Дж/(кг·K)]. |
|
(1.9) |
|
Величина удельной теплоемкости с зависит от химиче- |
|||
ского состава газа, его средней температуры |
Т1 +Т2 |
|
и ха- |
|
|||
2 |
|
|
|
рактера термодинамического процесса.
П р и м е р. В изохорном процессе, который будем реализовывать подводя тепло к 1 кг газа в замкнутом объеме ( ϑ=V 
m = const – удельный объем газа), система не имеет
возможности совершать работу изменения объема (расширения), поэтому все тепло расходуется на изменение внутренней энергии системы.
Для 1 кг газа
Q = ∆U = cϑ (T2 −T1 ) , |
(1.10) |
где cϑ – удельная теплоемкость в изохорном процессе,
Дж/(кг·K).
Изобарный процесс протекает при постоянном давлении внутри системы (p = const). Для реализации его необходимо увеличивать объем при подводе тепла, поэтому подведенное тепло расходуется не только на изменение внутренней энергии системы, но и на совершение работы расширения. Следовательно, удельная теплоемкость в изобарном процессе ср отличается от удельной теплоемкости в изохорном процессе cϑ
23
на величину работы расширения, совершаемой в изобарном процессе:
cp −cϑ = R , |
(1.11) |
где R – газовая постоянная (работа расширения, совершаемая 1 кг газа при увеличении его температуры на 1 K).
Величина R зависит от химического состава газа и его температуры. Чем легче газ (меньше его молярная масса) и выше его температура, тем большую работу расширения он может совершить. Для воздуха в стандартных атмосферных условиях R = 287 Дж/(кг·K). Для газа, истекающего из ВРД (смесь воздуха и продуктов сгорания топлива при температу-
ре Тс ≈1000 K ), Rг ≈ 292 Дж/(кг·K).
Таким образом, количество теплоты, подводимой к 1 кг газа в изобарном процессе,
Q = ∆U + Lϑ = cp (T2 −T1 ) . |
(1.12) |
Выражение (1.11) получило название уравнения Майера.
1.1.2. Первый закон термодинамики
Теплота, подведенная к рабочему телу (газу), в общем случае расходуется на увеличение его внутренней энергии ∆U и совершение работы расширения, связанной с увеличением объема газа Lϑ :
Q = ∆U + Lϑ . |
(1.13) |
В 1842 году Майер, а в 1843 году Джоуль экспериментально установили точные значения эквивалента превращения теплоты в изменение внутренней энергии и работу изменения объема для различных газов.
24
Следствия из уравнения Майера
Отношение удельных теплоемкостей в изобарном и изохорном термодинамических процессах называется показателем адиабаты:
cp |
= k. |
(1.14) |
|
c |
|||
|
|
||
ϑ |
|
|
Показатель адиабаты k характеризует долю подведенного тепла, идущую на увеличение внутренней энергии системы.
Величина k зависит от химического состава газа и его температуры (при росте Тг, величина k уменьшается).
Из соотношения (1.14) выразим сp и подставим в уравнение Майера:
cϑk −cϑ = R. |
(1.15) |
Произведем преобразования (1.15) и получим: |
|
|
|
|
|
|
c |
= |
1 |
|
R, |
|
|
|
|
|
(1.16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ϑ |
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
cp |
= |
k |
|
R. |
|
|
|
|
|
(1.17) |
||
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Изменение внутренней энергии |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∆U =U |
|
−U |
|
= c |
(T −T ) = |
|
1 |
RТ |
|
− |
1 |
RТ |
|
, (1.18) |
|||
2 |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|||||||||||
|
|
ϑ |
2 |
|
1 |
|
|
k −1 |
|
k −1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно, величина внутренней энергии может быть определена по формуле
U = |
1 |
|
RT. |
(1.19) |
|
k −1 |
|||||
|
|
|
|||
Экспериментально было установлено: |
|||||
для одноатомного газа (гелий) –U = |
3 RT , следователь- |
||||
|
|
|
|
2 |
|
но, k = 1,67;
25
для двухатомного газа (воздух) –U = 52 RT , следова-
тельно, k = 1,4;
для трехатомного газа (газ, истекающий из ВРД) –
U = 3RT, k = 1,33.
Уравнение, связывающее физические параметры газа в термодинамической системе, получило название уравнения состояния идеального газа:
p ϑ= RT. |
(1.20) |
1.1.3. Виды термодинамических процессов
Изохорный процесс (ϑ = const)
Изохорный процесс реализуется при нагреве (охлаждении) газа в замкнутом объеме. Газ не имеет возможности расширяться (сжиматься) при подводе (отводе) тепла Q и совершать работу по изменению объема, поэтому объем ϑ, занимаемый одним 1 кг газа, остается постоянным, а все тепло расходуется на увеличение внутренней энергии системы
Q = ∆U = cϑ(T2 −T1) .
Рис. 1.3. Диаграмма изохорного процесса
Графически |
изохорный |
процесс можно |
представить |
в координатах |
p −ϑ в виде |
прямой линии, параллельной оси 0 – p (рис. 1.3).
Запишем уравнения состояния для начальной 1 и конечной 2 точек в виде системы уравнений:
p1 ϑ1 = RT1, p2 ϑ2 = RT2 .
26
Разделив первое уравнение на второе и учитывая, что ϑ1 = ϑ2 , R = const, получим соотношение параметров газа в изохорном процессе:
p1 |
= |
Т1 |
. |
(1.21) |
|
p |
|
||||
|
Т |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Работа расширения изохорного процесса равна нулю, потому что изменение объема равно нулю.
Изобарный процесс (p = const)
Изобарный процесс может быть реализован при нагреве (охлаждении) газа в открытом цилиндре. Графически изобарный процесс можно представить в координатах p −ϑ
в виде прямой линии, параллельной оси 0 −ϑ (рис. 1.4).
При |
подводе |
к |
газу |
|
|
тепла +Q растет его темпера- |
|
||||
тура, то |
есть увеличивает- |
|
|||
ся внутренняя энергия U, |
|
||||
вследствие |
чего |
плотность |
|
||
газа уменьшается, |
удельный |
|
|||
объем увеличивается |
(↑ ϑ= |
|
|||
=1 ↓ρ) |
от |
ϑ1 до |
ϑ2 , ком- |
|
|
пенсируя |
|
рост |
давления |
Рис. 1.4. Диаграмма изобарного |
|
(p1,2 = const) (см. рис. 1.3, ли- |
процесса |
||||
ния 1–2). |
|
|
|
|
|
При отводе тепла от газа –Q понижается его температура, то есть уменьшается внутренняя энергия U, вследствие чего плотность газа увеличивается, удельный объем
уменьшается (↓ϑ=1
↑ρ) от ϑ2 до ϑ1 (см. рис. 1.3, линия 2–1) при постоянном давлении (p2,1 = const).
27
Работа изменения объема (расширения) Lϑ , совершаемая системой при подводе тепла, графически эквивалентна площади фигуры ϑ1 −1 −2 −ϑ2 :
ϑ |
|
|
Lϑ = ∫2 |
pdϑ= p(ϑ2 −ϑ1 ). |
(1.22) |
ϑ1 |
|
|
Запишем уравнения состояния для начальной и конечной точек в виде системы уравнений:
p1 ϑ1 = RT1 , p2 ϑ2 = RT2 .
Разделив первое уравнение на второе и учитывая, что p1 = p2, R = const, получим соотношение параметров газа в изобарном процессе:
ϑ1 = Т1 .
ϑ2 Т2
Выразим из уравнений состояния: |
ϑ = |
RT1 |
, |
ϑ |
|
= |
RT2 |
|
||||||||||||||
р |
|
р |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
и подставим в выражение (1.22), тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Lϑ = p1,2 |
|
RT2 |
− |
RT1 |
= R (Т2 −Т1 ) . |
|
|
|
(1.23) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
p2 |
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, что теплота, подведенная в изобарном про- |
||||||||||||||||||||||
цессе, |
Qp = cp (T2 −T1 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.24) |
||||||||||||||
а изменение внутренней энергии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∆U = cϑ (T2 −T1 ), |
|
|
|
|
|
(1.25) |
|||||||||||||
и разделив (1.24) на (1.25), получим соотношение |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Qp |
= |
cp (Т2 −Т1 ) |
= |
ср |
= k. |
|
|
|
|
(1.26) |
|||||||||||
|
∆U |
|
с (Т |
2 |
−Т |
1 |
) |
с |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ϑ |
|
|
|
|
ϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28
Выражение (1.26) иллюстрирует физический смысл показателя адиабаты k, который оценивает долю от подведенного тепла Qp, идущую на изменение внутренней энергии системы ∆U.
Изотермический процесс (T = const)
Изотермический процесс может быть искусственно реализован следующим образом. В цилиндре из абсолютно теплопроводного материала под поршнем находится газ, имеющий температуру окружающей среды. Если приложить внешнюю силу к поршню, то она будет совершать работу по сжатию газа (линия 2–1 на рис. 1.5). Из-за уменьшения объема с ϑ2 до ϑ1 давление
внутри системы будет увеличиваться от p2 до p1. Температура останется постоянной, так как изменения внутренней энергии системы не произойдет вследствие передачи тепла через стенки в окружающую среду.
При снятии внешней силы с поршня газ будет расши-
ϑ2
ряться, совершая работу расширения Lϑ = ∫ pdϑ, эквива-
ϑ1
лентную площади фигуры 1 −2 −ϑ2 −ϑ1 , при этом внешняя
p2
(полезная) работа Lвн = ∫ ϑdp эквивалентна площади фигуры
p1
2 – 1 – p1 – p2 (см. рис. 1.5). Давление газа будет уменьшаться
29
с p1 до p2, а температура будет оставаться неизменной за счет подвода тепла из окружающей среды.
При расширении газа тепло +Q подводится к газу по линии 1–2, при сжатии тепло –Q отводится от газа по линии
2–1 (см. рис. 1.5).
Запишем уравнения состояния для начальной и конечной точек в виде системы уравнений:
p1 ϑ1 = RT1 ,
p2 ϑ2 = RT2 .
Учитывая, что RT1 = RT2, можно записать уравнение
p1 ϑ1 = p2 ϑ2 . |
(1.27) |
Из уравнения (1.27) следует, что соотношение параметров газа в изотермическом процессе
p1 = ϑ2 pϑ= const .
p2 ϑ1
Внешняя работа, совершаемая системой,
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
Lвн = − ∫ ϑ dp. |
|
|
|
||||
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
Вычислим интеграл (1.29): |
|
|
|
|
|
|||
p2 |
dp |
|
p2 |
dp |
|
p |
2 |
|
Lвн = − ∫ ϑ1 p1 |
|
= −p1 ϑ1 |
∫ |
|
= −p1 ϑ1 ln |
|
||
p |
p |
p |
||||||
p |
|
p |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
или
Lвн = p1 ϑ1 ln ϑ2 ,
ϑ1
так как p1 ϑ1 = RT1 , получим
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
30