Основы теории цепей. Часть 1

Запись уравнений Кирхгофа

Для произвольно выбранных и обозначенных на схеме (см. рис. 2.37) положительных направлений токов ветвей и совокупности независимых контуров запишем:

– уравнения по I закону Кирхгофа: для узла А: I1 – I2 – J3 = 0,

для узла В: I7 – I6 – I4 – I1 = 0,

для узла С: I4 + I2 – I5 = 0,

– уравнения по II закону Кирхгофа:

для контура I: I1R1 + I2R2 – I4R4 = E1,

для контура II: I4R4 + I5R5 – I6R6 = –E6, для контура III: I6R6 + I7R7 = E6,

для контура IV: J3R3 – I5R5 – I2R2 = UJ.

После подстановки численных значений коэффициентов получаем разрешимую систему уравнений с семью неизвестными вели-

чинами I1 , I2 , I4 , I5 , I6 , I7 , U J :

Метод контурных токов

Для рассматриваемой четырехконтурной цепи (см. рис. 2.37) система уравнений относительно контурных токов, совпадающих по направлению с обходом контуров, примет вид:

71

Для выбранных контурных токов I44 = J3. Подсчитаем значения коэффициентов системы:

– собственные сопротивления контуров:

R11 = R1 + R2 + R4 =19 Ом, R33 = R6 + R7 =12, 2 Ом,

R22 = R4 + R5 + R6 =19 Ом, R44 = R2 + R3 + R5 =17,6 Ом;

–общие сопротивления контуров:

R12 = R21 = −R4 = −6,8 Ом, R13 = R31 = 0,

R14 = R41 = −R2 = −6,8 Ом, R23 = R32 = −R6 = −6,8 Ом, R24 = R42 = −R5 = −5, 4 Ом, R34 = R43 = 0;

– контурные ЭДС:

E11 = E1 = 20 В, E22 = −E6 = −40 В,

E33 = E6 = 40 В, E44 =U J .

После подстановки численных значений коэффициентов и необходимых преобразований система уравнений примет вид:

В случае решения данной системы при помощи определителей необходимо совместно решить систему из первых трех уравнений относительно неизвестных токов I11, I22, I33, а затем из четвертого уравнения системы определить UJ.

72

Результаты расчета системы уравнений следующие:

I11 =1,191 A, I22 = 0, 4 A, I33 =1,35 A, U J = 20,05 B.

В соответствии с принятыми (см. рис. 2.37) положительными направлениями токов в ветвях вычисляем их значения:

Метод узловых потенциалов

В соответствии с алгоритмом расчета (см. раздел 2.3.3) принимаем потенциал узла А равным нулю (см. рис. 2.37). Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов относительно

ϕВ, ϕС, ϕD:

73

ϕBGBB + ϕC GBC + ϕDGBD = J BB ,

ϕBGCB + ϕC GCC + ϕDGCD = JCC ,

ϕ + ϕ + ϕ =

BGDB C GDC DGDD J DD .

Выпишем и подсчитаем значения коэффициентов системы:

– собственные проводимости узлов:

Система уравнений после подстановки численных значений коэффициентов примет вид:

−0,332ϕB −0,185ϕC + 0,517ϕD = 7,882.

74

Результаты расчета системы уравнений:

ϕB = −9, 668 B, ϕC = 0, 6048 B, ϕD = 9, 249 B.

Рассчитаем значениятоковвветвяхпообобщенномузаконуОма:

Метод эквивалентного источника напряжения

Определим ток I2 методом эквивалентного источника напряжения в соответствии с разделом 2.3.5 по формуле

Определим напряжение холостого хода Uxx между точками А и С, когда ветвь 2 разомкнута, а сопротивление R2 удалено (рис. 2.38).

Для определения Uxx составим уравнение по II закону Кирхгофа для контура цепи, обозначенного на рис. 2.38 и включающего в себя участок AС с напряжением Uxx:

I1x R1 +Uxx − I4 x R4 = E1 ,

поскольку I1x = J, то из вышеприведенного выражения следует, что для определения Uxx необходимо вычислить ток I4x,

75

Окончательно получаем

что совпадает с результатом, полученным при расчетах цепи методами контурных токов и узловых потенциалов.

Метод наложения

Определим ток I2 методом наложения.

Подлежащая расчету цепь представляет собой суперпозицию трех подсхем (рис. 2.40, а – в).

Рассчитаем составляющую тока второй ветви I2E1 от действия

источника ЭДС E1 (см. рис. 2.40, а), для чего воспользуемся законом Ома:

Рассчитаем составляющую тока второй ветви I2E6 от действия источника ЭДС E6 (см. рис. 2.40, б), для чего сначала определим ток I6E6 по закону Ома:

77

По формуле токов в параллельных ветвях определим ток I5E 6 ,

и треугольник сопротивлений R46 R56 R7 в эквивалентную звезду (рис. 2.40, д) с сопротивлениями:

После преобразований ток I2J3 определяется по формуле токов в параллельных ветвях:

79

Полный ток

I2 = −I2E1 + I2E6 + I2J3 = −0,09 A.

Полученный результат совпадает со значением, полученным другими методами.

80