Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории цепей. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

5.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Таким образом, при «развязывании» двух индуктивно связанных ветвей, подключаемых к одному и тому же узлу, в эти ветви последовательно включены сопротивления mZ M = m jX M = m jωM , а в ветвь ме-

жду общим узлом и остальной схемой – сопротивление ±Z M . Отсутст-

вие магнитных связей дает возможность вести расчеты в эквивалентной схеме всеми методами, основанными назаконе Ома и законах Кирхгофа безкаких-либоограничений.

5.7.ТРАНСФОРМАТОРЫ

5.7.1.Уравнения трансформатора без ферромагнитного сердечника

Трансформатор – устройство для передачи энергии из одной цепи в другую посредством электрической индукции. Он предназначен для преобразования величин токов и напряжений, для гальванического разделения электрических цепей, для преобразования сопротивлений по величине и для других целей.

Трансформатор может состоять из двух и более обмоток. Мы будем рассматривать трансформатор из двух разделенных обмо-

171

ток без ферромагнитного сердечника (воздушный трансформатор), схема которого представлена на рис. 5.12.

1	I&1 R1	M I&2 R2		2
	*	*
U&1	X L	X	L2	&
U&1	1		L2	Z н U 2
	1’	Рис. 5.12		2’
		Рис. 5.12

Обмотка с зажимами 1-1’, присоединенная к источнику питания, – первичная; обмотка, к которой подключается сопротивление нагрузки Z н = Rн + jX н , – вторичная. Сопротивление первичной об-

мотки

определяется

Z1 = R1 + jX L1 ,

сопротивление вторичной –

Z 2 = R2

+ jX L .

Уравнения трансформатора при принятой полярности катушек

и направлении токов имеют вид:

= R I&

+ jX

− jωMI&

1 1

L 1

(5.21)

0 = R

+ jX

+ R I&

+ jX

− jωMI&.

L2 2

н 2

172

Этим уравнениям соответствует векторная диаграмма на рис. 5.13. Построение ее велось относительно тока I&2 , который направлен по действительнойоси.

5.7.2. Входное сопротивление трансформатора

Обозначим R2 + Rн = R22 , X L2 + X Lн = X 22 , тогда уравнения (5.21) можно переписать

U&1 = (R1

+ jX L

) I&1 − jωMI&2 ,

(5.22)

0 = ( R

+ jX

) I&

− jωMI&.

Входное сопротивление трансформатора Z вх1

U&1

. Учитывая,

что I&2

jωMI&

иподставляявпервоеуравнение(5.21), получим, что

R22

+ jX 22

(R1

+ jX L

)I&1 +

ω2 M 2

I&1

+ jX

ω2 M 2

= Z

+ Z

вх1

вн

. (5.23)

+ jX

Таким образом, входное сопротивление трансформатора со сто-

роны первичных зажимов состоит из двух слагаемых: Z1

– комплекс-

ное сопротивление первичной обмотки без учета явления взаимоиндукции и Z вн , которое «вносится» вторичной обмоткой за счет явления взаимоиндукцииипоэтомуназываетсявносимым сопротивлением.

5.7.3. Входное сопротивление идеального трансформатора

Идеальным трансформатором (теоретическое понятие) назы-

вают такой трансформатор, в котором выполняются условия

U&1	=	I&2	= n,	U&1 = nU&2 ,	I& 1	=	I&2	.	(5.24)
U&		I&
							n
2	1

173

При этом M 2 = L1L2 ; R1 = R2 = 0. С определенной погрешно-

стью такие условия можно выполнить в трансформаторе с сердечником с высокой магнитной проницаемостью, на который намотаны провода с малым активным сопротивлением.

Входное сопротивление этого трансформатора

Z	вх	=	U1	=	nU2	= n2	U2		= n2 Z	.	(5.25)

			I1		I2 n		I		н
								2

Следовательно, идеальный трансформатор, включенный между нагрузкой и источником энергии, изменяет сопротивление нагрузки Z н пропорциональноквадратукоэффициентатрансформацииn.

1 I&1	R1	M I&2 R2	2
	*	*
&	X L	X L	Z н	U&
U1	1	2	Z н	2
1’		Рис. 5.14	2’
		Рис. 5.14

Свойство трансформатора преобразовывать величины сопротивлений широко используется в различных областях электротехники, связи, радиотехники, автоматики и прежде всего с целью согласования сопротивлений источника и нагрузки.

5.7.4. Схема замещения трансформатора

Схема двухобмоточного трансформатора без ферромагнитного сердечника может быть изображена так, как это представлено

1		R1 j( X L1 − X M ) j( X L2 − X M ) R2	2
U&1	I&1	jX M I&2	Z н	U&2
1’		Рис. 5.15	2’

174

на рис. 5.14. Токораспределение в ней такое же, что и в схеме на рис. 5.12 без общей точки между обмотками.

Произведем в схеме на рис. 5.14 развязку индуктивных связей. При этом получим схему замещения трансформатора (рис. 5.15),

вкоторой отсутствуют магнитные связи.

5.7.5.Энергетические процессы в индуктивно связанных катушках

Дифференциальные уравнения воздушного трансформатора

(рис. 5.15):

= Ri

+ L

di1

− M

di2

0 = R i

+ L

di2

− M

di1

2 2

2 dt

Умножим первое уравнение на i1 , а второе – на i2 :


	= R i2	+ L		di2		− Mi		di
u i				1					2		,
				dt
1 1	1 1	1					1 dt
			di2				di
0 = R i2 + L				2	− Mi		1			+u i .
							dt
	2 2	2 dt				2			2 2

(5.26)

(5.27)

Сложив эти уравнения, получим суммарную мгновенную мощность, которая потребляется от источника и расходуется в первичной и вторичной обмотках трансформатора и в нагрузке,

di2

p = ui = p2 + R1i12 + R2i22 + L1

+ L2

− M i1

+i2

(5.28)

dWмагн

= p + p

где p2

– мгновенная мощность на нагрузке,

= u2i2 ;

pт – мгновенная мощность, расходуемая на тепло в обмотках трансформатора, pт = R1i12 + R2i22 ;

175

Wмагн – энергия магнитного поля обмоток трансформатора,

Wмагн = L1i12 + L2i22 − Mi1i2 . 2 2

5.8. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: параметры обмоток трансформатора (рис. 5.16): первичной – R1 = 5 Ом, XL1 = 6 Ом; вторичной – R2 = 1 Ом, XL2 = 6 Ом.

	&	R	1	M &			R	2	2
1	I		1	I	2			2	2
1	1				2
			*	*
U&1			X L	X		L2		V	Rн
U&1			1			L2		V	Rн
	1’	A1					A2		2’
	1’			Рис. 5.16					2’
				Рис. 5.16

Взаимоиндуктивное сопротивление XM = ωM = 2 Ом, сопротивление нагрузки Rн = 8 Ом. Напряжение U&1 = 220 В.

Найти: показания измерительных приборов.

Решение

1. Зададим положительное направление токов (рис. 5.17).

	&	R	1	jXM &				R	2
1	I		1	I	2			2	2
1	1				2
			*	*
&			jX L	jX		L		V	Rн
&			1			L
U1							2
							2
	1’	A1		Рис. 5.17				A2	2’
	1’								2’

176

2.Заменим напряжения, токи и сопротивления их комплексными значениями, а также зададим направления обхода контуров.

3.Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для двух контуров (п. 5.5):

(R1 + jX L1 )I&1 − jX M I&2 =U&1						или (5 + j6)I&1 − j2I&2		= 220;
− jX	I&	+ (R + R + jX		L 2	)I&		= 0, − j2I& + (9 + j6)I&		= 0 .
	M 1	2	н			2	1	2
Решение системы уравнений дает:
			I&1 = 28e− j 47,5°			А; I&2 = 5, 2e j8,8° .

Напряжение на нагрузке

U&н = RнI&2 = 41,6e j8,8° В.

Большинство измерительных приборов реагируют на действующеезначение, следовательно, показанияамперметровивольтметра:

А1 = 28 А; А2 = 5,2 А; V = 41,6 В.

4. Убедимсявправильностирасчетапроверкойбалансамощности. Комплексная мощность источника:

* o

S%ист =U&1 I = 220 28e j 47,5 = 4162 + j4542 В·А;

Рист = 4162 Вт; Qист = 4542 вар.

Активная мощность потребителей:

P1 = R1I12 = 5 282	= 3920 Вт; P2 = R2 I22 =1 5, 22 = 27 Вт;
P = R I 2		=8 5, 22 = 216,32 Вт.
н	н 1
Суммарная активная мощность потребителей
P	= P + P + P = 4163,32 Вт.
потр	1	2	н

Найдем комплексные мощности обмоток трансформатора:

=U&

= ( jX

− jX

= 242 + j4542 В·А;

) I

=U&

= ( jX

− jX

= −242

+ j0

В·А.

I& ) I

177

Суммарная активная мощность обмоток PL1 + PL1 = 0 . Суммарная реактивнаямощностьобмотокQпотр = QL1 + QL1 = 4542 вар.

Активная мощность 242 Вт передается благодаря трансформаторной связи из первичной обмотки трансформатора во вторичную цепь, где она необратимо преобразуется в тепловую энергию на сопротивлении R2 (27) и сопротивлении нагрузки (216 Вт). Баланс мощности сходится, следовательно, решение верно.

		X	I&		Задача 2.
		1	1		Дано: для схемы (рис. 5.18)
	I&	*	b	R	Дано: для схемы (рис. 5.18)
	I&	a	b	R	U = 100 В; R = 20 Ом;
		X2	I&2		X1 = 20 Ом; X2 = 10 Ом;
		*			X1 = 20 Ом; X2 = 10 Ом;
U&		V			XМ = 10 Ом.
		XC			Напряжение U& совпадает		по
		XC			фазе с током I&.
			A		фазе с током I&.
			A		Найти: сопротивление XC
					Найти: сопротивление XC
		Рис. 5.18			и показания измерительных	при-
		Решение			боров.
		Решение

При наличие двух индуктивно связанных элементов, сходящихся в общем узле, часто эффективным оказывается прием предварительного «развязывания» (устранения) индуктивной связи. Итоговая рекомендацияпоегоприменениювыглядитследующимобразом(рис. 5.19).

178

Все три схемы эквивалентны (см. рис. 5.19). Верхний знак справедлив для случая, когда в общем узле сходятся одноименные зажимы; нижний – когда разноименные.

Воспользуемся этой рекомендацией для решения задачи.

			X1-Xм
I&	+Xм	a	b	R
I&	+Xм	a	b
			X1-Xм
U&			V
			XC
			A
			Рис. 5.20

Поскольку Х2 – Хм = 0, участок ab (рис. 5.20) представляет собой идеальную индуктивность сопротивлением Хм = 10 Ом.

По условию задачи цепь работает в режиме резонанса, поэтому

ХС –Хм = 0. Входное сопротивление цепи Z вх = R = 20 Ом. Ток на входе цепи

= U = 100 =

I 5 А. Эту цифру и зафиксирует амперметр. На-

R 20

пряжение на участке ab: Uab = X мI = 10 5 = 50 В.

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.Может ли реактивная мощность в пассивной ветви, содержащей индуктивность, связанную с какой-либо катушкой другой ветви, принимать отрицательное значение?

2.Может ли напряжение на зажимах одной из двух индуктивно связанных катушек отставать по фазе от тока этой катушки?

3.Две последовательно соединенные индуктивно связанные катушки включены встречно, причем взаимная индуктивность равна половине собственной индуктивности первой катушки. Как изменится

179

напряжение на первой катушке, если в условиях режима заданного тока уменьшить до нуля коэффициент связи? Сопротивлением R в катушках

пренебречь.
4. Две индуктивные катушки	соединены последовательно
и подключены к сети с напряжением	u = 120 sin(ωt −18°) В. При

этом по катушкам течет ток, комплексное изображение которого


I& = 6e− j18° . Как соединены катушки – согласно или встречно?
5. Назовите порядковый номер ошибочного слагаемого													левой
части уравнения (например, первое и т.п.) для цепи (рис. 5.21).
− j		1	I& + jωL I& + jωL I& + R I& +
	ωC4
			22	2	22	3		22	5	22

+R		I& − jωM I& + j				1	I& − jωM I& = −E& + E& .

5		33		22		ωC4				11	3	4
						11

6. Выберите правильный ответ:

а) для двух индуктивно связанных катушек (рис. 5.22) заданы i1 = 7,5sin(ωt +90°) ; R2 = 6 Ом; ωM = 2 Ом. Комплексная амплитуда

второго тока I&2m = 5e− j 90° .

Найти мгновенное значение напряжения на зажимах второй катушки.

1) u2 = 31,65 sin(ωt + 71°35′) В;

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20223.76 Mб12Основы работоспособности технических систем..pdf
#
15.11.202224.13 Mб17Основы работы в Windows Microsoft Office 2007..pdf
#
15.11.20223.93 Mб21Основы разработки нефтяных и газовых месторождений..pdf
#
15.11.202222.59 Mб39Основы создания полимерных композитов..pdf
#
15.11.20225.84 Mб13Основы теории технологических процессов. Часть 2. Статический анализ г.pdf
#
15.11.20225.71 Mб26Основы теории цепей. Часть 1.pdf
#
15.11.20226.33 Mб20Основы теории цепей. Часть 2.pdf
#
15.11.20229.92 Mб87Основы технической диагностики нефтегазового оборудования..pdf
#
15.11.20221.41 Mб30Основы технической термодинамики и теплотехники..pdf
#
15.11.20228.24 Mб33Основы технологии машиностроения. Часть 2. Технологическая подготовка.pdf
#
15.11.20222 Mб12Основы технологии металлургического производства чугуна стали алюм..pdf