Основы теории цепей. Часть 1
.pdf
B
+ |
I |
I&2 |
R2 |
|
II |
I&3 |
|
|
|||||
J& |
J3 |
C4 |
|
L5 |
|
& |
+ |
|
|
|
E |
||
R4 E |
|
D |
|
|
R5 |
I&4 |
III |
F |
|
|
A |
I&5 |
C |
||
|
||||
I&6 |
R6 |
|
|
|
Рис. 3.44 |
|
|
||
Составление системы уравнений Кирхгофа
Произвольно задавшись положительным направлением токов ветвей (рис. 3.44) и совокупностью независимых контуров запишем:
–уравнения по I закону Кирхгофа, число уравнений (n – 1) =
=4 – 1 = 3
узел А : I&6 − J& − I&4 = 0 ;
узел В: J& − I&2 + I&3 = 0 ;
узел С: I&5 − I&6 − I&3 = 0 .
– уравнения по второму закону Кирхгофа, число уравнений p = 3 I контур: I&2 R2 − I&4 (R4 − jX C ) =U&J ;
II контур: I&2 R2 + I&5 (R5 + jX L ) = E&3
III контур: I&4 (R4 − jX C ) + I&5 (R5 + jX L ) + I&5 R5 |
= 0 . |
В результате имеем систему, состоящую из 6 уравнений, раз- |
|
решимую относительно 6 неизвестных: I&2 , I&3 , I&4 , |
I&5 , I&6 , U&j . |
Решение методом контурных токов
Для рассматриваемой цепи (см. рис. 3.44) система уравнений относительно контурных токов I&11 , I&22 , I&33 , совпадающих по направ-
лению с обходом контуров, имеет вид:
131
Z |
|
I& |
+ Z |
|
I& |
+ Z |
|
I& |
= E& , |
|
11 |
11 |
|
12 |
22 |
|
13 |
33 |
11 |
Z |
21 I&11 + Z 22 I&22 + Z 23 I&33 = E&22 , |
||||||||
|
|
& |
+ Z |
|
& |
|
|
& |
& |
Z |
31 I11 |
32 I22 |
+ Z 33 I33 |
= E33 . |
|||||
В данной системе:
– собственные сопротивления контуров:
Z11 |
= R2 + R4 |
− jX C |
4 |
= 76 − j23, 405 = 79,522e− j17,177 |
Ом ; |
|||
Z 22 |
= R2 + R5 |
+ jX L |
=104 + j55, 292 =117, 785e j 27,998 Ом; |
|||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Z33 |
= R6 + R4 − jXC |
|
+ R5 + jXL =142 + j31,887 =145,536e j12,656 Ом; |
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
– общие сопротивления контуров: |
|
|||||||
Z12 |
= Z 21 = R2 = 38 Ом; |
|
||||||
Z13 |
= Z 31 = −(R4 − jX C |
) = −38 + j23, 405 = 44, 63e j 48,37 Ом; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Z 23 |
= Z 32 = R5 + jX L |
) = 66 + j55, 292 =86,1e j 39,955 Ом; |
||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
– контурные ЭДС: |
|
|
|
|
||||
E& |
=U& |
; E& |
= E& |
=150e j 30 =129,904 + j75 B; E& |
= 0. |
|||
11 |
J |
22 |
3 |
|
|
|
33 |
|
В выбранной совокупности контуров |
|
|||||||
I& = J& = 3e j 45 |
= 2,121 + j2,121 A . |
|
||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, первое уравнение в системе контурных уравнений может быть исключено из совместного рассмотрения при ее решении относительно неизвестных контурных токов I&22 и I&33 . После
подстановки численных значений система контурных уравнений, сокращенная на одно уравнение, примет вид:
(104 + j55, 292)I&22 + (66 + j55, 292)I&33 = 49,306 − j5,598, (66 + j55, 292)I&22 + (142 + j31,887)I&33 =130, 24 + j30,96.
Решать данную систему целесообразно с применением метода Крамера.
Определители системы:
132
∆ = |
|
104 + j55, 292 |
66 + j55, 292 |
|
=11706,109 + j3869,168; |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
66 + j55, 292 |
142 + j31,887 |
|
|
|
|
|
|
|||||
∆22 |
= |
|
49,306 − j5,598 |
66 + j55, 292 |
|
|
|
= 295,96 − j8467, 29; |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
130, 24 + j30,96 |
142 + j31,887 |
|
|
|
|
|||
∆33 |
= |
|
|
104 + j55, 292 |
|
49,306 − j5,598 |
|
=8269, 4 + j8064, 24. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
66 + j55, 292 |
130, 24 + j30,96 |
|
|
|||||
Токи I&22 |
|
и I&33 определяются следующим образом: |
||||
I& |
= |
∆22 |
|
= −0,193 − j0,66 = 0,688e− j106,3o A |
||
∆ |
|
|||||
22 |
|
|
|
|
||
I& |
= |
∆33 |
|
= 0,842 + j0, 411 = 0,937e j 26o A . |
||
33 |
|
∆ |
|
|
|
|
В соответствии с условно принятыми положительными направ- |
||||||
лениями (см. рис. 3.44) вычислим токи ветвей: |
||||||
I& |
= I& |
+ I& |
=1,928 + j1, 461 = 2, 419e j 37,154oA, |
|||
2 |
|
11 |
|
22 |
|
|
I&3 |
= I&22 |
= −0,193 − j0, 66 = 0, 688e j106,3o A, |
||||
I& |
= I& |
− I& |
= −1, 279 − j1, 71 = 2,135e− j126,795o A, |
|||
4 |
|
33 |
|
11 |
|
|
I&5 |
= I&33 + I&22 |
= 0, 649 − j0, 249 = 0, 695e j 20,99o A, |
||||
I&6 |
= I&33 = 0,842 + j0, 411 = 0,937e j 26oA, |
|||||
U& |
= I& |
R + E& =161,9 + j90,618 =185,535e j 29,236o B. |
||||
J |
|
6 |
|
6 |
|
|
Мгновенные значения токов ветвей и напряжения на источнике тока
Поскольку угловая частота равна ω = 2π f, а амплитуда связана с действующим значением с помощью соотношения Im = 2I , следовательно,
i1 (t) = 3 2 sin(314t + (45o π) /180o ) A,
где ψi1 = (45o π) /180o − начальная радиан-фаза тока i1,
133
аналогично запишем:
i2 (t) = 2, 419 2 sin(314t + (37,154o π) /180o ) A, i3 (t) = 0,688 2 sin(314t + (−106,3o π) /180o ) A,
i4 (t) = 2,135 2 sin(314t + (−126,795o π) /180o ) A, i5 (t) = 0,695 2 sin(314t + (−20,99o π) /180o ) A,
i6 (t) = 0,937 2 sin(314t + (26o π) /180o ) A.
Баланс активных и реактивных мощностей
Комплексная мощность источников
* |
* |
|
S%ист =U&J J + E& |
I3 |
= 461,02 − j79,93 , |
**
где J и I3 – сопряженные комплексы тока. Комплексная мощность потребителей
S%потр = Pпотр + jQпотр ,
где активная мощность
Pпотр = I22 R2 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 = 460,814 Вт,
реактивная мощность
Qпотр = −X C4 I42 + X L5 I52 = −79,978 ВАр
(вформулахмощностипотребителей Ii – действующиезначениятоков). Относительная погрешность расчета:
εP |
= |
Pист − Pпотр |
100 % = 0,0447 %, εQ |
= |
Qист −Qпотр |
100 % = 0,06 %. |
|
|
|||||
|
|
Pист |
|
Qист |
||
Построение топографической диаграммы
На рис. 3.45 представлена векторная диаграмма токов ветвей рассматриваемой схемы в соответствии с масштабом по току МI: 1 деление – 0,5 А. Диаграмма токов позволяет проверить графическим путем выполнение соотношений по I закону Кирхгофа.
134
Im(I&), A
J&
I&2
1
I&6
–1 |
1 |
2 |
I&3 |
I&5 |
Re(I&), A |
|
–1
I&4
Рис. 3.45
В соответствии с принятыми на рис. 3.44 обозначениями рассчитываются значения потенциалов точек цепи. Потенциал точки А принимается равным нулю.
ϕ&A = 0,
ϕ&B = ϕ&A −U&J =161,9 + j90, 618 =185,535e j 29,236o B, ϕ&C = ϕ&B − E& = 31,996 + j15, 618 = 35, 6e j 26,018o B,
проверка 1: ϕ&A = ϕ&C − I&6 R6 = 0 + j0 B,
ϕ&D = ϕ&B − I&2 R2 =88,636 + j35,1 = 94, 27e j19,9o B,
ϕ&E = ϕ&D + I&4 (− jX C4 ) = 48,613 + j65,035 =83,196e j 54,25o B, проверка 2: ϕ&A = ϕ&E + I&4 R4 = 0,011 + j0,055 B,
ϕ&F = ϕ&D − I&5 jX L5 = 32,034 + j15,649 B, проверка 3: ϕ&C = ϕ&F + I&5 R5 = 32,034 + j15,649 B.
135
Выбираем масштаб по напряжению МU для построения диаграммы: 1 деление – 20 В.
На рис. 3.46 изображена топографическая диаграмма напряжений, позволяющая проверить графическим путем выполнение соотношений по II закону Кирхгофа.
На рис. 3.47 изображена совмещенная диаграмма токов и напряжений, позволяющая проверить выполнение соотношений по закону Ома в символической форме для всех пассивных элементов цепи.
Метод узловых потенциалов
Для рассматриваемой цепи (см. рис. 3.44), содержащей 4 узла, система, составленная в соответствии с методом узловых потенциалов, должна содержать 3 уравнения. Выберем в качестве опорного узел 4, приняв его потенциал равным нулю (рис. 3.48).
Имеем:
ϕ&1G11 + ϕ&2G12 + ϕ&3G13 = J&11 ,
ϕ&1G21 + ϕ&2G22 + ϕ&3G23 = J&22 ,
ϕ&1G31 + ϕ&2G32 + ϕ&3G33 = J&33 ,
136
1
+ |
|
I&2 |
R2 |
I&3 |
|
|
|||
J& |
J3 |
C4 |
L5 |
& |
+ |
|
E |
||
R4 |
|
2 |
R5 |
|
|
|
I&4 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
I&5 |
|
|
|
|
I&6 |
R6 |
Рис. 3.48 |
Поскольку в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, потенциал узла 1 известен и определяется как ϕ&1 = E& . Таким образом,
число неизвестных потенциалов сокращается до двух, и, соответственно, число совместно рассматриваемых уравнений в системе сократится до двух:
137
ϕ& |
2 |
G |
+ ϕ& |
|
G |
= J& |
|
−ϕ& G , |
|
||||||
|
|
22 |
|
3 |
23 |
|
22 |
|
1 |
21 |
|
|
|||
ϕ& |
G |
+ ϕ& |
2 |
G |
+ ϕ& |
3 |
G |
|
= J& |
33 |
−ϕ& |
G , |
|||
|
1 |
31 |
|
|
32 |
|
33 |
|
1 |
31 |
|||||
собственные узловые проводимости:
G |
= |
|
1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22 |
|
|
R2 |
|
|
R4 |
− jX C |
|
|
|
R5 + jX L |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
= |
1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
33 |
|
|
R6 |
|
|
R4 |
− jX C4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
общие узловые проводимости: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
G = G = − |
|
1 |
; G = G = 0 ; |
G = G = − |
|
1 |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12 |
21 |
|
|
|
R2 |
13 |
31 |
23 |
32 |
R4 |
− jX C4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
узловые токи: J&22 |
= 0; |
J&33 = −J& . |
|
|
|
ϕ2 |
и ϕ3 . |
||||||||||||||
Решив систему уравнений, определим неизвестные |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
Далее, используя обобщенный закон Ома, рассчитаем токи ветвей:
I&2 |
= |
ϕ&1 −ϕ&2 |
; I&4 |
= |
ϕ&3 −ϕ&2 |
; I&5 = |
|
ϕ&2 |
; I&6 |
= −ϕ&3 . |
||
|
|
R5 |
+ jX L |
|||||||||
|
|
R2 |
|
R4 |
− jX C |
4 |
|
|
R6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Ток I&3 определим по I закону Кирхгофа:
I&3 = I&5 − I&6 .
НапряжениенаисточникетокаопределимпоII законуКирхгофа:
U&J = I&6 R6 + E& .
Метод наложения
С использованием принципа суперпозиции рассчитывается ток I&2 . Поскольку в цепи два источника, для определения искомого
тока строятся две подсхемы, каждая из которых содержит только один из источников, а второй исключается в соответствии с правилом, изложенным в п. 3.4.7
138
Расчет составляющей I&2′ |
по схеме (рис. 3.49): |
||||||||||||||||
|
|
|
I&′ = J& |
|
|
|
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 (R5 + jX L ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
R6 + R4 − jX C4 |
|
+ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 + R5 |
+ jX L |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
I&2′ = I&4′ |
|
R5 + jX L5 |
|
|
= 0,315 + j0,731 А . |
||||||||||
|
R |
+ R + jX |
L |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет составляющей I&2′ |
(рис. 3.50): |
|
|
||||||||||||||
I&′ |
= |
|
|
|
|
|
E& |
|
|
|
|
|
|
|
=1, 605 + j0, 722 A . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
(R5 + jX L )(R4 |
− jX C + R6 ) |
|
|
||||||||||
|
|
R2 + |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R5 + jX L + R4 |
− jX C |
+ R6 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Искомый ток I&2 определяется как
I& |
= I&′ |
+ I&′ |
=1,9194 + j1, 4531 A . |
2 |
2 |
2 |
|
Метод эквивалентного генератора
С использованием теоремы об активном двухполюснике определяется ток I&2 .
139
Напряжение холостого хода на зажимах активного двухполюсника определяется по II закону Кирхгофа (рис. 3.51):
U&õõ − I&5x (R5 + jX L5 ) = E& , следовательно,
U&õõ = I&5x (R5 + jX L5 ) + E& .
Ток I&5x определяется по формуле
I&5x |
= J& |
|
|
|
R6 |
|
|
= 0,662 + j0, 419 A . |
R6 |
+ R4 |
+ R5 |
+ j( X L |
− X C |
) |
|||
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
Напряжение холостого хода:
U&xx =150, 429 + j139, 257 B .
Определение входного сопротивления пассивного двухполюс-
ника (рис. 3.52):
Z вх = |
(R5 + jX L5 |
)(R4 + R6 − jX C4 ) |
= 46,305 + j8,317 Ом. |
||||
|
|
||||||
|
R5 |
+ jX L |
+ R4 |
+ R6 |
− jX C |
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
C учетом Z 2 = R2 искомый ток определяется как
I&2 |
= |
U&xx |
=1,928 + j1, 462 A . |
|
|||
|
|
Zвх + Z 2 |
|
140